2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽九點(diǎn)圓定理試卷一、選擇題（本題共6小題，每小題7分，滿分42分）九點(diǎn)圓的基本性質(zhì)：在任意三角形中，九點(diǎn)圓不經(jīng)過的點(diǎn)是（）A.三邊中點(diǎn)B.三條高的垂足C.頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn)D.內(nèi)心與外心連線的中點(diǎn)九點(diǎn)圓與外接圓的關(guān)系：已知△ABC的外接圓半徑為8，則其九點(diǎn)圓的半徑為（）A.2B.4C.6D.8四點(diǎn)共圓判定：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD、BE為兩條高，若AB=10，AC=8，則九點(diǎn)圓上任意兩點(diǎn)間的最大距離為（）A.5B.6C.8D.10歐拉線與九點(diǎn)圓圓心：△ABC的外心為O，垂心為H，九點(diǎn)圓圓心為N。若OH=6，則ON的長度為（）A.2B.3C.4D.6費(fèi)爾巴哈定理應(yīng)用：已知△ABC的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓相切，若內(nèi)切圓半徑r=2，外接圓半徑R=5，則九點(diǎn)圓半徑與r的比值為（）A.1.5B.2C.2.5D.3動(dòng)態(tài)幾何中的九點(diǎn)圓：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(4,0)、C(0,3)，當(dāng)點(diǎn)C沿y軸向上移動(dòng)2個(gè)單位時(shí)，九點(diǎn)圓圓心的坐標(biāo)變化為（）A.向上移動(dòng)1個(gè)單位B.向右移動(dòng)1個(gè)單位C.向上移動(dòng)2個(gè)單位D.坐標(biāo)不變二、填空題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）九點(diǎn)圓方程：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)，則其九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________。垂心與九點(diǎn)圓：在銳角△ABC中，H為垂心，若九點(diǎn)圓經(jīng)過點(diǎn)H，則△ABC的形狀為__________。多點(diǎn)共圓證明：已知△ABC的三條高交于點(diǎn)H，D、E、F分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD，若∠EDF=45°，則九點(diǎn)圓中∠EHF的度數(shù)為__________。綜合計(jì)算：△ABC的外接圓半徑R=6，九點(diǎn)圓與AB邊相切，若AB=8，則△ABC的面積為__________。三、解答題（本題共3小題，滿分50分）1.九點(diǎn)圓的存在性證明（15分）如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，G、H、I分別為三條高的垂足，J、K、L分別為AH、BH、CH的中點(diǎn)（H為垂心）。求證：D、E、F、G、H、I、J、K、L九點(diǎn)共圓。證明思路提示：（1）連接DE、EF、FD，證明△DEF為△ABC的中點(diǎn)三角形；（2）通過SAS相似證明∠DGF=∠DEF，進(jìn)而得到D、E、F、G四點(diǎn)共圓；（3）同理可證其他點(diǎn)均在同一圓上。2.九點(diǎn)圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用（15分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，H為垂心，O為外心，N為九點(diǎn)圓圓心。（1）求△ABC的外接圓半徑R；（2）求OH的長度；（3）求九點(diǎn)圓的面積。解答步驟：（1）利用余弦定理求∠BAC的余弦值，再通過正弦定理R=AB/(2sin∠ACB)計(jì)算R；（2）根據(jù)外心、垂心坐標(biāo)公式或歐拉定理OH2=9R2-(a2+b2+c2)求解；（3）九點(diǎn)圓半徑r=R/2，進(jìn)而計(jì)算面積。3.費(fèi)爾巴哈定理的拓展探究（20分）費(fèi)爾巴哈定理指出：“三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓及三個(gè)旁切圓均相切”。（1）已知△ABC的內(nèi)切圓半徑r=1，九點(diǎn)圓半徑R_九點(diǎn)=2，且內(nèi)切圓與九點(diǎn)圓的圓心距d=1，驗(yàn)證兩圓相切；（2）若△ABC為正三角形，邊長為a，分別求出其內(nèi)切圓、九點(diǎn)圓、旁切圓的半徑，并證明九點(diǎn)圓與旁切圓相切。附加思考：若△ABC為鈍角三角形，費(fèi)爾巴哈定理是否仍然成立？請(qǐng)說明理由。四、附加題（本題滿分20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)挑戰(zhàn)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(t,0)、B(-t,0)、C(0,t)（t>0），動(dòng)點(diǎn)P在△ABC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，Q為P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。（1）證明：Q的軌跡為△ABC九點(diǎn)圓的等圓；（2）當(dāng)t=2時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程，并判斷該軌跡與九點(diǎn)圓的位置關(guān)系。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（另附詳解）：一、選擇題：1.D2.B3.A4.B5.C6.A二、填空題：1.(x-0.5)2+(y-0.5)2=0.52.等邊三角形3.90°4.24三、解答題：證明過程需體現(xiàn)中點(diǎn)三角形性質(zhì)、四點(diǎn)共圓判定及對(duì)稱性應(yīng)用（15分）；（1）R=25/8（2）OH=7/8（3）面積=π(25/16)2（15分）；（1）d=R_九點(diǎn)-r=1，故相切（2）內(nèi)切圓半徑r=a/(2√3)，九點(diǎn)圓半徑R_九點(diǎn)=a/(2√3)，旁切圓半徑r_旁=a/√3，圓心距d=r_旁-R_九點(diǎn)=r_旁-r=R_九點(diǎn)，故相切（20分）。命題說明：試卷立足九點(diǎn)圓定理的核心概念，覆蓋存在性證明、性質(zhì)應(yīng)用、拓展探究三個(gè)層次；結(jié)合初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽考綱，融入坐標(biāo)系、動(dòng)態(tài)幾何、綜合計(jì)算等題型，強(qiáng)調(diào)邏輯推理與空間想象能力；附加