2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知非零實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a+b=5)，(ab=3)，則(\frac{a^2+b^2}{a^3+b^3})的值為（）A.(\frac{19}{110})B.(\frac{25}{110})C.(\frac{31}{110})D.(\frac{37}{110})若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩個(gè)根為一正一負(fù)，且正根的絕對(duì)值大于負(fù)根的絕對(duì)值，則(m)的取值范圍是（）A.(-\sqrt{3}<m<\sqrt{3})B.(-1<m<\sqrt{3})C.(-\sqrt{3}<m<2)D.(-1<m<2)如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(D)為(BC)中點(diǎn)，以(D)為圓心作圓與(AB)相切，則該圓的半徑為（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{18}{5})C.(\frac{6\sqrt{5}}{5})D.(\frac{12\sqrt{5}}{5})已知(a=2025^{2024})，(b=2024^{2025})，(c=2023^{2026})，則(a,b,c)的大小關(guān)系為（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(c>b>a)D.(b>c>a)若正整數(shù)(n)滿足(n+2025)與(n-2025)均為完全平方數(shù)，則(n)的最小值為（）A.(2025^2+2025)B.(2025^2-2025)C.(\left(\frac{2025+1}{2}\right)^2)D.(\left(\frac{2025}{2}\right)^2+2025)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動(dòng)點(diǎn)(P)滿足(PA+PC=4)，則(PB+PD)的最大值為（）A.(2\sqrt{5})B.(4\sqrt{2})C.(2\sqrt{10})D.(6\sqrt{2})如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=6)，點(diǎn)(E,F)分別在(BC,CD)上，且(BE=CF=x)，將(\triangleABE)和(\triangleADF)分別沿(AE,AF)折疊，點(diǎn)(B,D)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為(B',D')。若(B')與(D')重合，則(x)的值為（）A.1B.(\frac{3}{2})C.2D.(\frac{5}{2})定義函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x-[x],&x\geq0\x+[-x],&x<0\end{cases})，其中([x])表示不超過(guò)(x)的最大整數(shù)。若方程(f(x)=kx+1)有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則(k)的取值范圍是（）A.(-1\leqk<-\frac{1}{2})B.(-\frac{1}{2}<k\leq0)C.(0<k\leq\frac{1}{2})D.(\frac{1}{2}<k\leq1)二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）計(jì)算：(\frac{2025^3-2\times2025^2-2023}{2025^3+2025^2-2026})的值為________。已知(x,y)為正整數(shù)，且(x^2+y^2+xy=2025)，則(x+y)的最小值為________。如圖，在(\triangleABC)中，(\angleBAC=120^\circ)，(AB=2)，(AC=3)，點(diǎn)(D,E)分別在(AB,AC)上，且(DE\parallelBC)，將(\triangleADE)沿(DE)折疊得到(\triangleA'DE)，若(A')恰好落在(BC)上，則(DE)的長(zhǎng)度為________。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x^2-4x+3<0\x^2-(m+1)x+m<0\end{cases})的解集為((1,3))，則(m)的取值范圍是________。從1,2,3,...,2025這2025個(gè)正整數(shù)中，隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，該數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方差的概率為________。已知平面直角坐標(biāo)系中有6個(gè)點(diǎn)：(A(0,0))，(B(2,0))，(C(4,0))，(D(0,2))，(E(2,2))，(F(4,2))。若以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，則這樣的三角形共有________個(gè)。三、解答題（本大題共4小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分16分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A(-1,0))，(B(3,0))，且與(y)軸交于點(diǎn)(C(0,3))。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)(P)是該二次函數(shù)圖像上位于(x)軸上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸于點(diǎn)(D)，交線段(BC)于點(diǎn)(E)。若(PE=2ED)，求點(diǎn)(P)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接(PC)，點(diǎn)(Q)是線段(PC)上的動(dòng)點(diǎn)，連接(BQ)并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)(R)。若(\frac{BQ}{QR}=\frac{1}{2})，求點(diǎn)(R)的坐標(biāo)。（本小題滿分18分）如圖，在(\odotO)中，直徑(AB=10)，弦(CD\perpAB)于點(diǎn)(E)，點(diǎn)(F)在(CD)延長(zhǎng)線上，連接(AF)交(\odotO)于點(diǎn)(G)，連接(BG)交(CD)于點(diǎn)(H)。（1）求證：(EG\cdotEH=EC^2)；（2）若(AE=2)，求(EG)的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連接(OD)，過(guò)點(diǎn)(G)作(OD)的平行線交(AB)于點(diǎn)(M)，求(OM)的長(zhǎng)。（本小題滿分20分）已知正整數(shù)(n\geq2)，記(S(n))為(n)的所有正因數(shù)之和，例如(S(6)=1+2+3+6=12)。（1）若(n)為素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)），求證：(S(n)=n+1)；（2）若(n)為完全平方數(shù)，求證：(S(n))為奇數(shù)；（3）若(n)滿足(S(n)=2n)，則稱(n)為“完全數(shù)”（如(6=1+2+3)，故6是完全數(shù)）。已知偶完全數(shù)的形式為(n=2^{p-1}(2^p-1))，其中(2^p-1)為素?cái)?shù)（即梅森素?cái)?shù)）。若(n)是不超過(guò)1000的偶完全數(shù)，求(n)的所有可能值，并證明：所有偶完全數(shù)都能表示為連續(xù)正整數(shù)之和。（本小題滿分20分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n^2+4}{a_n+1})（(n)為正整數(shù)）。（1）求(a_2,a_3,a_4)的值，并猜想數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想；（3）設(shè)(b_n=\frac{a_n+2}{a_n-2})（(n\geq2)），數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和為(T_n)。若對(duì)任意(