2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽興趣小組試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知非零實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a+\frac{1}=b+\frac{1}{a})，則((a-b)^2+\frac{1}{ab})的值為（）A.1B.2C.(-1)D.0如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(diǎn)(E)為邊(BC)上一動點(diǎn)，連接(AE)，將(\triangleABE)沿(AE)折疊，點(diǎn)(B)的對應(yīng)點(diǎn)為(B')。若(\triangleCEB')為直角三角形，則(BE)的長度為（）A.3B.6C.3或6D.4或6設(shè)(x,y)為正整數(shù)，且滿足(x^2-4y^2=2025)，則這樣的((x,y))共有（）組A.3B.4C.5D.6在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c(a\neq0))與(x)軸交于(A(-1,0))，(B(3,0))兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)(C(0,3))。點(diǎn)(P)為拋物線上一動點(diǎn)，若(\trianglePAB)的面積為(8)，則點(diǎn)(P)的坐標(biāo)有（）個A.1B.2C.3D.4甲、乙兩人分別從(A,B)兩地同時出發(fā)，相向而行，勻速前進(jìn)。出發(fā)時他們的速度比為(3:2)，相遇后甲的速度提高(20%)，乙的速度提高(50%)。這樣當(dāng)甲到達(dá)(B)地時，乙離(A)地還有(4)千米。則(A,B)兩地相距（）千米A.20B.25C.30D.35二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）計算：(\frac{2025^3-2\times2025^2-2023}{2025^3+2025^2-2026})的結(jié)果為________。如圖，(\odotO)是正六邊形(ABCDEF)的外接圓，點(diǎn)(P)為劣弧(AB)上一點(diǎn)，若正六邊形邊長為2，則(PA+PB)的最大值為________。已知(a,b,c)為實(shí)數(shù)，且滿足(a+b+c=0)，(a^2+b^2+c^2=12)，則(a)的最大值為________。在不透明的袋子中裝有編號為1至10的10個球，這些球除編號外完全相同。從中隨機(jī)摸出3個球，則這3個球編號的中位數(shù)為5的概率是________。定義：對于任意實(shí)數(shù)(x)，符號([x])表示不超過(x)的最大整數(shù)，例如([3.14]=3)，([-2.5]=-3)。則滿足([x]^2-5[x]+6\leq0)的(x)的取值范圍是________。三、解答題（共4小題，第11-13題每題15分，第14題20分，滿分65分）11.（本題滿分15分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2-(m+2)x+2m=0)的兩個根為(x_1,x_2)，且滿足(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{5}{4})。（1）求(m)的值；（2）若拋物線(y=x^2-(m+2)x+2m)與(x)軸交于(A,B)兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)(C)，點(diǎn)(D)為拋物線頂點(diǎn)，求四邊形(ACBD)的面積。12.（本題滿分15分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，點(diǎn)(D)為(BC)中點(diǎn)，點(diǎn)(E)在(AC)上，且(AE=2EC)，連接(BE)交(AD)于點(diǎn)(F)。（1）求證：(BF=2FE)；（2）若(AB=6)，求(\triangleAEF)的面積。13.（本題滿分15分）某商店銷售一種成本為每件30元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(x)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：銷售單價(x)（元）405060銷售量(y)（件）1008060（1）求(y)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店每天銷售該商品的利潤為(W)元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？（3）為響應(yīng)“惠民政策”，商店決定每銷售1件商品，捐贈(a)元((a>0))給慈善機(jī)構(gòu)。若扣除捐贈后每天的利潤不低于800元，求(a)的最大值。14.（本題滿分20分）已知(\triangleABC)為等邊三角形，邊長為4，點(diǎn)(P)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且(PA=2)，以(PA)為邊作等邊三角形(PAD)（點(diǎn)(P,A,D)順時針排列）。（1）當(dāng)點(diǎn)(P)在(\triangleABC)內(nèi)部時，求(PB+PC)的最小值；（2）當(dāng)點(diǎn)(P)在直線(BC)上時，直接寫出(CD)的長度；（3）在點(diǎn)(P)的運(yùn)動過程中，求(CD)的取值范圍。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）(\frac{2023}{2026})(2\sqrt{3})4(\frac{2}{15})(2\leqx<4)三、解答題（共4小題，第11-13題每題15分，第14題20分，滿分65分）11.（1）由韋達(dá)定理得(x_1+x_2=m+2)，(x_1x_2=2m)，則(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{m+2}{2m}=\frac{5}{4})，解得(m=4)。（2）拋物線解析式為(y=x^2-6x+8)，與(x)軸交于(A(2,0))，(B(4,0))，與(y)軸交于(C(0,8))，頂點(diǎn)(D(3,-1))。四邊形(ACBD)的面積為(\frac{1}{2}\timesAB\times(OC+|y_D|)=\frac{1}{2}\times2\times(8+1)=9)。12.（1）過點(diǎn)(E)作(EG\parallelBC)交(AD)于點(diǎn)(G)，易證(\triangleAGE\sim\triangleADC)，得(EG=\frac{1}{3}DC=\frac{1}{6}BC)，再證(\triangleFGE\sim\triangleFDB)，得(\frac{FE}{BF}=\frac{EG}{BD}=\frac{1}{3})，即(BF=3FE)（注：原題中“(BF=2FE)”修正為“(BF=3FE)”）。（2）(AD=3)，(AF=\frac{3}{4}AD=\frac{9}{4})，(\triangleAEF)的面積為(\frac{1}{2}\timesAF\timesAE\times\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times\frac{9}{4}\times4\times\frac{1}{2}=\frac{9}{4})。13.（1）設(shè)(y=kx+b)，代入((40,100))，((50,80))得(y=-2x+180)。（2）(W=(x-30)(-2x+180)=-2(x-60)^2+1800)，當(dāng)(x=60)時，(W_{\text{max}}=1800)元。（3）(W=(x-30-a)(-2x+180)\geq800)，化簡得(x^2-(120+a)x+3100+90a\leq0)，由判別式(\Delta=(120+a)^2-4(3100+90a)\leq0)，解得(a\leq5)，即(a)的最大值為5。14.（1）將(\triangleABP)繞點(diǎn)(A)逆時針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)得(\triangleACQ)，則(PB=QC)，(PA=QA=2)，(\triangleAPQ)為等邊三角形，(PQ=2)，(PB+PC=QC+PC\geqPQ=2)，最