2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽共贏思維試卷一、試卷整體結(jié)構(gòu)與題型特點2025年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽延續(xù)了"一試基礎(chǔ)+二試拔高"的雙層架構(gòu)，試題在保持傳統(tǒng)命題風(fēng)格的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)化了對數(shù)學(xué)思維深度與應(yīng)用能力的考查。一試（A卷）共11題，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），總分120分，側(cè)重基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用；二試（A卷）共4道解答題，分別涉及幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)四大模塊，每題40-50分，總分180分，著重考查創(chuàng)新思維與邏輯推理能力。從題型分布來看，一試填空題覆蓋集合運算、函數(shù)性質(zhì)、數(shù)列極限、立體幾何體積計算等基礎(chǔ)模塊，解答題則呈現(xiàn)"函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題+數(shù)列不等式+解析幾何"的經(jīng)典組合。值得注意的是第5題將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)模長結(jié)合，要求考生計算滿足(\frac{\sin20^\circ}{\cos25^\circ}+\frac{\sin25^\circ}{\cos20^\circ}=k)的最小正整數(shù)k，這類跨模塊融合題型在近年競賽中出現(xiàn)頻率顯著提升。二試幾何題（第1題）以三角形外接圓與圓冪定理為載體，要求證明三線共點，延續(xù)了"平面幾何+圓性質(zhì)"的命題傳統(tǒng)；代數(shù)題（第2題）通過構(gòu)造不等式鏈考查極端原理的應(yīng)用，體現(xiàn)了對抽象代數(shù)思維的深度要求。二、核心解題策略與思維方法（一）一試解題策略填空題速解技巧對于集合運算類題目（如第2題：已知A={1,2,...,100}，B={a2+2|a∈A}，求A∪B的元素個數(shù)），可采用"枚舉+排除"法：先計算B中元素范圍（當(dāng)a=1時，a2+2=3；a=100時，a2+2=10002），再通過平方數(shù)模4的性質(zhì)（平方數(shù)模4余0或1）推知B中元素模4余2或3，與A中模4余0或1的元素形成互補(bǔ)，最終確定并集元素個數(shù)為100+99-8=191個（其中8為A∩B的元素個數(shù)）。解答題分步得分策略函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題（第9題）通常需要"求導(dǎo)分析+分類討論"的組合策略。例如已知g(x)=(x-1)f(x)為奇函數(shù)，h(x)=f(x)+x為偶函數(shù)，求f(x)的最大值。可先通過奇偶性定義建立方程組：由g(-x)=-g(x)得(-x-1)f(-x)=-(x-1)f(x)由h(-x)=h(x)得f(-x)-x=f(x)+x聯(lián)立解得f(x)=(x2-1)/2(x+1)，化簡后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題，需注意定義域x≠-1的限制。（二）二試解題策略幾何題輔助線構(gòu)造第1題幾何證明需靈活運用"塞瓦定理+圓冪定理"的組合策略。延長CP交AB于X，延長BP交AC于Y，通過圓冪定理得到AF2=FP·FC=FA·FB，進(jìn)而推導(dǎo)出AF/FB=XA/XB，同理可得AE/EC=YA/YC，最后對△ABC及點P應(yīng)用塞瓦定理完成三線共點的證明。此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助線建立比例關(guān)系，通?？蓮娜切雾旤c引平行線或延長線形成相似三角形。數(shù)論題極端原理應(yīng)用第3題"不含數(shù)碼0的倍數(shù)N"問題，可采用"構(gòu)造法+抽屜原理"：先證明n≤9時存在滿足條件的N（如n=1時N=123456789），再對n>9的情況，通過分析N刪去數(shù)碼i后的數(shù)模n的余數(shù)變化，證明當(dāng)n含有素因子11時不存在滿足條件的N，最終確定所有可能的n為1,2,...,9。三、典型例題深度解析例題1：一試第5題（三角函數(shù)與復(fù)數(shù)綜合）題目：若正整數(shù)k滿足(\frac{\sin20^\circ}{\cos25^\circ}+\frac{\sin25^\circ}{\cos20^\circ}=k)，求k的最小值。解析：原式通分得(\frac{\sin20^\circ\cos20^\circ+\sin25^\circ\cos25^\circ}{\cos20^\circ\cos25^\circ})，分子利用二倍角公式化為(\frac{1}{2}(\sin40^\circ+\sin50^\circ))，分母用積化和差公式得(\frac{1}{2}[\cos45^\circ+\cos5^\circ])。注意到sin40°=cos50°，sin50°+cos50°=√2sin(50°+45°)=√2sin95°≈√2×0.996≈1.408，分母≈(0.707+0.996)/2≈0.851，計算得原式≈1.408/0.851≈1.65，故k的最小值為2。例題2：二試第2題（不等式證明）題目：設(shè)m,n,k為正整數(shù)(m≥2,n≥k≥2)，實數(shù)x?≥x?≥...≥x?≥0滿足x??+x??+...+x??≥1且x?+x?+...+x?≤k，證明x?+x?+...+x?≥1。證明：采用反證法，假設(shè)x?+...+x?<1。由排序不等式知x??+...+x??≤x?(x???1+...+x???1)，又因x?≥...≥x?≥x???≥...≥x?≥0，故x???1≤x???1(i=1,...,k)，從而x??+...+x??≤x?·kx???1=kx??。結(jié)合已知條件得kx??≥1，而x?≤x?+...+x?<1，故x??<x?，從而kx?>kx??≥1，即x?>1/k。同理可得x?>1/k(i=1,...,k)，則x?+...+x?>k·(1/k)=1，與假設(shè)矛盾，原命題得證。例題3：二試第4題（組合游戲問題）題目：給定t>10000，甲乙兩人猜滿足τ(N)≤2^t+1+100的正整數(shù)N（τ(N)為正約數(shù)個數(shù)），甲確定k后乙給出τ(N)及k個約數(shù)，求最小k使甲能確定N。分析：關(guān)鍵在于約數(shù)集的信息量。由約數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，τ(N)≤2^t+1+100的N最多有t+1個素因子。乙需提供包含所有素因子的約數(shù)組合，當(dāng)k=t+2時，通過素因子分解唯一性定理，甲可由k個約數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)確定N的素因子及指數(shù)，故最小k為t+2。四、命題趨勢與備考建議從2025年試題可看出，競賽命題呈現(xiàn)"基礎(chǔ)知識點深度挖潛+跨學(xué)科思維融合"的趨勢。一試中橢圓綜合題（第3題）將橢圓定義（|PF?|+|PF?|=2a）與三角形周長結(jié)合，需通過設(shè)|PF?|=m，|QF?|=n，利用△PF?F?周長=2a+2c=8（其中c=√(2025-914)=√1111≈33.33），解得a=2025，最終求得|F?Q|=n=8-2a=8-4050=-3992（此處需注意題目可能存在的印刷錯誤，實際應(yīng)為橢圓方程參數(shù)設(shè)置問題）。備考建議：基礎(chǔ)模塊強(qiáng)化：重點掌握函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、周期性）、數(shù)列遞推公式、解析幾何中的韋達(dá)定理應(yīng)用等核心知識點；思維方法訓(xùn)練：每天進(jìn)行1-2道二試難度的證明題訓(xùn)練，注重反證法、數(shù)學(xué)歸納法、極端原理等思想的應(yīng)用；跨模塊綜合題練習(xí)：每周完成3-5道一試解答題，培養(yǎng)不同