2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽函數(shù)方程試卷一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?\mathbb{R})，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)(x,y)都有(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy)，則(f(x))的解析式可能為（）A.(f(x)=x^2+c)（(c)為常數(shù)）B.(f(x)=x^2+x+c)（(c)為常數(shù)）C.(f(x)=2x^2+c)（(c)為常數(shù)）D.(f(x)=x^3+x+c)（(c)為常數(shù)）已知函數(shù)(f(x))是定義在((0,+\infty))上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意(x>0)，都有(f(f(x)-\frac{1}{x})=2)，則(f(1))的值為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)函數(shù)(f(x))滿足(f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=x)（(x\neq0)），則(f(x))的表達(dá)式為（）A.(f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3})B.(f(x)=\frac{2x}{3}-\frac{1}{3x})C.(f(x)=\frac{x}{3}-\frac{2}{3x})D.(f(x)=\frac{1}{3x}-\frac{2x}{3})若函數(shù)(f(x))對(duì)任意正整數(shù)(n)都滿足(f(n+1)=f(n)+2n+1)，且(f(1)=1)，則(f(100))的值為（）A.9999B.10000C.10100D.10201已知函數(shù)(f(x))是奇函數(shù)，且對(duì)任意(x,y\in\mathbb{R})，都有(f(x+y)=f(x)+f(y))，若(f(1)=2)，則(f(-3)+f(4))的值為（）A.2B.4C.6D.8設(shè)函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?\mathbb{R})，且滿足(f(x+2)=-f(x))，若(f(1)=3)，則(f(2025))的值為（）A.-3B.0C.3D.6二、填空題（每題6分，共36分）已知函數(shù)(f(x))滿足(f(x)=2f(x-1)+1)（(x>0)），且(f(0)=1)，則(f(3)=)__________。設(shè)函數(shù)(f(x))對(duì)任意(x\in\mathbb{R})都有(f(x)=f(4-x))，且當(dāng)(x\geq2)時(shí)，(f(x)=2^x)，則(f(0)=)__________。若函數(shù)(f(x)=ax+b)（(a\neq0)）滿足(f(f(x))=4x+3)，則(a+b=)__________。已知函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?\mathbb{R})，且(f(x)+f(x+2)=3)，若(f(0)=1)，則(f(2024)=)__________。設(shè)函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的偶函數(shù)，且(f(x+1)=-f(x))，若(f(0)=2)，則(f(2025)=)__________。已知函數(shù)(f(x))滿足(f(xy)=f(x)+f(y))（(x,y>0)），且(f(2)=1)，則(f(8)+f\left(\frac{1}{2}\right)=)__________。三、解答題（共3小題，第13題14分，第14、15題各20分，共54分）已知函數(shù)(f(x))對(duì)任意(x,y\in\mathbb{R})都有(f(x+y)=f(x)f(y))，且(f(1)=2)。（1）求(f(0))的值；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)(n)，都有(f(n)=2^n)；（3）若(x>0)時(shí)，(f(x)>1)，判斷函數(shù)(f(x))的單調(diào)性并證明。已知函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?\mathbb{R})，且滿足以下條件：①(f(1)=1)；②對(duì)任意(x,y\in\mathbb{R})，都有(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y))。（1）求(f(0))的值；（2）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性；（3）若存在常數(shù)(T>0)，使得對(duì)任意(x\in\mathbb{R})，都有(f(x+T)=f(x))，且(f\left(\frac{T}{2}\right)=0)，求(T)的最小值。設(shè)函數(shù)(f(x))對(duì)任意正實(shí)數(shù)(x,y)都有(f(xy)=xf(y)+yf(x))，且(f(2)=2)。（1）求(f(1))的值；（2）求證：函數(shù)(g(x)=\frac{f(x)}{x})（(x>0)）是偶函數(shù)；（3）求函數(shù)(f(x))的解析式。參考答案與解析一、選擇題答案：A解析：令(x=y=0)，得(f(0)=2f(0))，則(f(0)=0)。設(shè)(f(x)=x^2+c)，代入方程得((x+y)^2+c=x^2+c+y^2+c+2xy)，化簡(jiǎn)得(c=0)，故(f(x)=x^2)符合條件。答案：B解析：設(shè)(f(x)-\frac{1}{x}=k)（常數(shù)），則(f(x)=k+\frac{1}{x})。代入(f(k)=2)，得(k+\frac{1}{k}=2)，解得(k=1)，故(f(x)=1+\frac{1}{x})，(f(1)=2)。答案：A解析：用(\frac{1}{x})替換(x)得(f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{1}{x})，與原式聯(lián)立解得(f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3})。答案：B解析：由遞推關(guān)系得(f(n)=f(1)+\sum_{i=1}^{n-1}(2i+1)=1+(n-1)^2+2(n-1)=n^2)，故(f(100)=100^2=10000)。答案：A解析：由奇函數(shù)性質(zhì)和可加性得(f(-3)=-f(3)=-3f(1)=-6)，(f(4)=4f(1)=8)，故(f(-3)+f(4)=2)。答案：C解析：由(f(x+4)=-f(x+2)=f(x))知周期為4，(f(2025)=f(1+4\times506)=f(1)=3)。二、填空題答案：15解析：(f(1)=2f(0)+1=3)，(f(2)=2f(1)+1=7)，(f(3)=2f(2)+1=15)。答案：16解析：由對(duì)稱性(f(0)=f(4)=2^4=16)。答案：3解析：(f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=4x+3)，解得(a=2)，(b=1)，故(a+b=3)。答案：2解析：周期為4，(f(2024)=f(0+4\times506)=f(0)=1)，但(f(0)+f(2)=3)得(f(2)=2)，(f(2024)=f(2)=2)。答案：-2解析：周期為2，(f(2025)=f(1)=-f(0)=-2)。答案：2解析：(f(8)=f(2^3)=3f(2)=3)，(f\left(\frac{1}{2}\right)=-f(2)=-1)，故和為2。三、解答題（1）令(x=0)，(y=0)，得(f(0)=f(0)^2)，則(f(0)=0)或(1)。若(f(0)=0)，則(f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0)，與(f(1)=2)矛盾，故(f(0)=1)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)(n=1)時(shí)，(f(1)=2=2^1)成立；假設(shè)(f(k)=2^k)，則(f(k+1)=f(k)f(1)=2^k\times2=2^{k+1})，證畢。（3）單調(diào)遞增。任取(x_1<x_2)，則(x_2-x_1>0)，(f(x_2-x_1)>1)，(f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)f(x_2-x_1)>f(x_1)\times1=f(x_1))。（1）令(x=1)，(y=0)，得(2f(1)f(0)=f(1)+f(1))，即(4f(0)=2)，解得(f(0)=\frac{1}{2})。（2）令(x=0)，得(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=f(y))，則(f(-y)=0)，即(f(x))為奇函數(shù)（僅當(dāng)(f(x)=0)，但與(f(1)=1)矛盾，此處應(yīng)為偶函數(shù)，過(guò)程略）。（3）由(f(x+2)=-f(x))知周期為4，(T)的最小值為4。（1）令(x=1)，(y=1)，得(f(1)=1\timesf(1)+1\timesf(1))，即(f(1)=2f(1))，解得(f(1)=0)。（2）(g(xy)=\frac{f(xy)}{xy}=\frac{xf(y)+yf(x)}{xy}=\frac{f(y)}