2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽模運(yùn)算試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知正整數(shù)n滿足n≡3mod4且n≡2mod5，則n的最小值為（）A.7B.13C.18D.23設(shè)p是大于3的素?cái)?shù)，則p2除以6的余數(shù)是（）A.1B.3C.5D.不確定若20252?2?≡xmod10，則x的值為（）A.1B.3C.5D.9在模11的完全剩余系中，二次剩余的個(gè)數(shù)是（）A.4B.5C.6D.10設(shè)a,b為整數(shù)，且a≡bmodm，則下列結(jié)論不正確的是（）A.a+c≡b+cmodmB.ac≡bcmodmC.a?≡b?modmD.gcd(a,m)=gcd(b,m)滿足φ(n)=12的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）A.6B.8C.10D.12二、填空題（每題5分，共30分）計(jì)算：2025÷7的余數(shù)是_________設(shè)m,n為正整數(shù)，若m≡1mod3，n≡2mod3，則m2+2n3≡_________mod3模13的乘法逆元中，2的逆元是_________同余方程3x≡5mod7的解是x≡_________mod7滿足x2≡4mod15的所有整數(shù)解是x≡_________mod15設(shè)p是素?cái)?shù)，且2?≡2modp2，則稱p為Wieferich素?cái)?shù)，已知最小的Wieferich素?cái)?shù)是_________三、解答題（共40分）（8分）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，n?-n能被5整除。（8分）解同余方程組：[\begin{cases}x\equiv2\mod3\x\equiv3\mod5\x\equiv4\mod7\end{cases}]（12分）設(shè)p是奇素?cái)?shù)，證明：（1）12·32·52·…·(p-2)2≡(-1)???1?/2modp（2）利用（1）的結(jié)論計(jì)算12·32·52·72mod11的值（12分）設(shè)m,n是互素的正整數(shù)，函數(shù)f(n)表示n的十進(jìn)制表示中各位數(shù)字之和。（1）證明：n≡f(n)mod9（2）若m+n=2025，且m,n>0，求f(m)+f(n)的最大值和最小值四、附加題（共20分）（10分）設(shè)p是素?cái)?shù)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)p≡1mod4時(shí)，-1是模p的二次剩余。（10分）設(shè)a,b,c是正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，證明：abc能被60整除。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.C4.B5.B6.B二、填空題2025÷7=289×7+2，余數(shù)是2m2+2n3≡12+2×23=1+16=17≡2mod32×7=14≡1mod13，故逆元是73×3=9≡2mod7，3×5=15≡1mod7，故x≡5×5=25≡4mod7x≡±2mod5且x≡±2mod3，解得x≡2,8,7,13mod151093三、解答題證明：由費(fèi)馬小定理知n?≡nmod5，故n?-n≡0mod5，即5|n?-n。（8分）解：設(shè)x=7k+4，代入第二個(gè)方程得7k+4≡3mod5?2k≡-1≡4mod5?k≡2mod5設(shè)k=5m+2，則x=7(5m+2)+4=35m+18代入第一個(gè)方程得35m+18≡2mod3?2m≡-16≡-1≡2mod3?m≡1mod3設(shè)m=3n+1，則x=35(3n+1)+18=105n+53故方程組的解為x≡53mod105（8分）（1）證明：由威爾遜定理知(p-1)!≡-1modp∵(p-k)≡-kmodp，∴(p-1)!=[1·3·5·…·(p-2)][2·4·6·…·(p-1)]=[1·3·5·…·(p-2)]·2^((p-1)/2)·[(p-1)/2]!≡[1·3·5·…·(p-2)]2·(-1)^((p-1)/2)modp結(jié)合威爾遜定理得[1·3·5·…·(p-2)]2≡(-1)^((p+1)/2)modp（8分）（2）解：取p=11，由（1）知12·32·52·72·92≡(-1)^6=1mod11∵9≡-2mod11，∴92≡4mod11∴12·32·52·72≡1·4?1≡3mod11（4分）（1）證明：設(shè)n=a?10?+…+a?10+a?，∵10≡1mod9，∴10?≡1?=1mod9∴n≡a?+…+a?+a?=f(n)mod9（4分）（2）解：∵m+n=2025，∴m≡2025-nmod9∴f(m)+f(n)≡f(2025-n)+f(n)≡(2025-n)+n=2025≡2+0+2+5=9mod9當(dāng)m=1999，n=26時(shí)，f(m)+f(n)=1+9+9+9+2+6=36當(dāng)m=1000，n=1025時(shí)，f(m)+f(n)=1+1+0+2+5=9故最大值為36，最小值為9（8分）四、附加題證明：由歐拉判別法知(-1)^((p-1)/2)≡-1modp當(dāng)p≡1mod4時(shí)，(p-1)/2為偶數(shù)，故-1是二次剩余當(dāng)p≡3mod4時(shí)，(p-1)/2為奇數(shù)，故-1不是二次剩余（10分）證明：不妨設(shè)a,b,c兩兩互素（否則可約去公因子）（1）能被3整除：若a,b均不被3整除，則a2,b2≡1mod3，c2=2mod3矛盾（2）能被4整除：勾股數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)，且不能是唯一偶數(shù)（3）能被5整除：平方數(shù)模5只能是0,1,4，若a,b均不被5整除，則c2=2或3或0mod5，只有c2≡0mod5可能綜上，abc能被3×4×5=60整除（10分）命題說明本試卷涵蓋模運(yùn)算的基本概念（同余、剩余系、逆元）、重要定理（費(fèi)馬小定理、歐拉定理、威爾遜定理）、同余方程與方程組求解、二次剩余等核心內(nèi)容，同時(shí)融入數(shù)論函數(shù)（歐拉函數(shù)