2025年下學期高中數(shù)學競賽水平測試試卷一試（時間：80分鐘滿分：120分）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}\sin2x-2\cos^2x+1$，則$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值為________。設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$|z|=1$，且$\text{Re}(z^3)=\frac{1}{2}$，則$\text{Im}(z)$的值為________。已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=2$，$S_3=14$，則公比$q=$________。在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則該三棱錐外接球的表面積為________。若實數(shù)$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\0\leqy\leq3\end{cases}$，則$z=x+2y$的最小值為________。從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學競賽，要求至少有1名女生，且男生甲與女生乙不能同時入選，則不同的選法共有________種。已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases}$，則方程$f(f(x))=1$的解的個數(shù)為________。在平面直角坐標系中，拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$與拋物線交于$A,B$兩點，若$|AF|=3|BF|$，則直線$l$的斜率為________。二、解答題（本大題共3小題，共56分）（本題滿分16分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明：數(shù)列${a_n+n+2}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$。（本題滿分20分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$P(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）過點$Q(1,0)$的直線$l$與橢圓$C$交于$A,B$兩點，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$（$O$為坐標原點），求直線$l$的方程。（本題滿分20分）已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2+x$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$a=1$，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上有兩個極值點$x_1,x_2$（$x_1<x_2$），證明：$x_1+x_2>\frac{2}{a}$。二試（時間：170分鐘滿分：180分）一、（本題滿分40分）如圖，在銳角$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$為$BC$的中點，以$AD$為直徑的圓$\Gamma$與$AB,AC$分別交于點$E,F$（異于點$A$）。過點$E$作圓$\Gamma$的切線，與$BC$交于點$G$；過點$F$作圓$\Gamma$的切線，與$BC$交于點$H$。證明：$DG=DH$。（注：請在答題紙指定位置作圖并寫出詳細證明過程）二、（本題滿分40分）設(shè)正實數(shù)$a,b,c$滿足$a+b+c=1$，證明：$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq\frac{15}{2}$$三、（本題滿分50分）求所有正整數(shù)$n$，使得存在正整數(shù)$a,b,c$，滿足以下條件：（1）$a+b+c=n$；（2）$a^2+b^2+c^2=2025$；（3）$a,b,c$中任意兩個數(shù)的差的絕對值不大于2。四、（本題滿分50分）在一個$8\times8$的方格表中，每個格子內(nèi)填入$0$或$1$。定義一次“操作”為：選擇一個$2\times2$的子方格表，將其中的四個數(shù)同時取反（$0$變?yōu)?1$，$1$變?yōu)?0$）。證明：（1）任意一個初始狀態(tài)都可以通過有限次操作變?yōu)槿?0$狀態(tài)或全$1$狀態(tài)；（2）不存在初始狀態(tài)需要超過$16$次操作才能變?yōu)槿?0$狀態(tài)。（試卷結(jié)束）說明：一試側(cè)重高中數(shù)學核心知識的綜合應(yīng)用，覆蓋函數(shù)、幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計等板塊，題型與高考銜接，強調(diào)解題速度與準確性；二試聚焦競賽四大核心板塊：平面幾何（圓冪定理、切線性質(zhì)）、代數(shù)不等式（柯西不等式、均值不等式）、數(shù)論（不定方程、整數(shù)性質(zhì)）、組合