2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽周期數(shù)列試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$（$n\in\mathbb{N}^*$），則該數(shù)列的最小正周期為（）A.3B.4C.5D.6若周期數(shù)列${b_n}$的通項(xiàng)公式為$b_n=\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)$，則其最小正周期是（）A.3B.6C.9D.12已知周期數(shù)列${c_n}$滿足$c_1=2$，$c_2=3$，$c_3=4$，且$c_{n+3}=c_n$，則該數(shù)列前2025項(xiàng)的和為（）A.6075B.6072C.6069D.6066設(shè)數(shù)列${d_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_n$是周期為3的周期數(shù)列，且$S_1=1$，$S_2=2$，$S_3=3$，則$d_4+d_5+d_6$的值為（）A.0B.3C.6D.9已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$，若$a_1=1$，$a_2=2$，則該數(shù)列（）A.是周期為3的周期數(shù)列B.是周期為4的周期數(shù)列C.是周期為5的周期數(shù)列D.不是周期數(shù)列若周期數(shù)列${x_n}$的通項(xiàng)公式為$x_n=\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)$，則其最小正周期是（）A.12B.24C.36D.48二、填空題（每題5分，共30分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=3$，$a_2=5$，且$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n\in\mathbb{N}^*$），若將此數(shù)列中各項(xiàng)除以4后的余數(shù)構(gòu)成新數(shù)列${b_n}$，則${b_n}$的最小正周期為_(kāi)_______。設(shè)周期數(shù)列${c_n}$的前$n$項(xiàng)積為$T_n$，若$T_3=8$，$T_6=64$，$T_9=512$，則該數(shù)列的周期$T$的最小值為_(kāi)_______。已知數(shù)列${x_n}$滿足$x_1=1$，$x_2=2$，$x_{n+2}=(x_{n+1}+x_n)\mod3$，則$x_{2025}$的值為_(kāi)_______。若周期數(shù)列${y_n}$的圖像關(guān)于直線$n=5$對(duì)稱，且周期為4，則$y_1+y_2+y_3+y_4$的值為_(kāi)_______。設(shè)數(shù)列${a_n}$是由1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字循環(huán)排列而成，則數(shù)列${a_n}$的前100項(xiàng)中，數(shù)字3出現(xiàn)的次數(shù)為_(kāi)_______。已知周期數(shù)列${p_n}$滿足$p_n+p_{n+1}=2$（$n\in\mathbb{N}^*$），且$p_1=1$，則該數(shù)列的前2025項(xiàng)和為_(kāi)_______。三、解答題（共40分）（10分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=a_n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的最小正周期；（2）求該數(shù)列前$n$項(xiàng)和$S_n$的表達(dá)式。（10分）設(shè)數(shù)列${b_n}$滿足$b_1=1$，$b_2=2$，$b_{n+2}=b_{n+1}-b_n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明：數(shù)列${b_n}$是周期數(shù)列；（2）求$b_1+b_2+\cdots+b_{2025}$的值。（10分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1-x}$，定義數(shù)列${x_n}$為$x_1=2$，$x_{n+1}=f(x_n)$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求數(shù)列${x_n}$的前5項(xiàng)；（2）判斷數(shù)列${x_n}$是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由。（10分）設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=a$，$a_2=b$，且$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$（$n\in\mathbb{N}^*$），其中$a$，$b$為正整數(shù)。（1）若$a=3$，$b=5$，求數(shù)列${a_n}$的前20項(xiàng)；（2）求證：無(wú)論$a$，$b$取何正整數(shù)，數(shù)列${a_n}$都是周期數(shù)列。四、附加題（共20分）（10分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=(a_na_{n+1}+1)\mod3$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的前8項(xiàng)；（2）判斷數(shù)列${a_n}$是否為周期數(shù)列，并求出其最小正周期。（10分）設(shè)周期數(shù)列${x_n}$的周期為$T$，且滿足$x_{n+1}=x_n-x_{n-1}$（$n\geq2$，$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）若$T=6$，求$x_1$與$x_2$滿足的關(guān)系；（2）求證：該數(shù)列的周期$T$必為6的約數(shù)。參考答案與解析一、選擇題D解析：計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)：1，2，1，-1，-2，-1，1，2，…，周期為6。B解析：$\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)$的周期為$\frac{2\pi}{\pi/3}=6$。A解析：周期為3，每個(gè)周期和為2+3+4=9，2025=3×675，總和為9×675=6075。A解析：$d_4=S_4-S_3=S_1-S_3=1-3=-2$，同理$d_5=S_2-S_1=2-1=1$，$d_6=S_3-S_2=3-2=1$，故$d_4+d_5+d_6=-2+1+1=0$。A解析：數(shù)列前幾項(xiàng)為1，2，1，1，0，1，1，0，…，從第3項(xiàng)起周期為3。B解析：$\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)$的周期為8，$\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)$的周期為12，最小公倍數(shù)為24。二、填空題6解析：${b_n}$為3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，周期為6。3解析：$T_3=8=c_1c_2c_3$，$T_6=64=T_3c_4c_5c_6$，故$c_4c_5c_6=8$，同理$c_7c_8c_9=8$，周期最小為3。2解析：數(shù)列前幾項(xiàng)為1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，周期為8，2025=8×253+1，$x_{2025}=x_1=1$。（注：原答案有誤，修正為1）4y_5解析：由對(duì)稱性知$y_1=y_9$，$y_2=y_8$，$y_3=y_7$，$y_4=y_6$，又周期為4，$y_5=y_1$，$y_6=y_2$，$y_7=y_3$，$y_8=y_4$，故$y_1=y_5$，同理$y_2=y_6=y_2$，所以$y_1+y_2+y_3+y_4=4y_5$。（注：題目條件不足，此處按對(duì)稱性和周期性推導(dǎo)）20解析：周期為5，100=5×20，每個(gè)周期出現(xiàn)1次，共20次。2025解析：數(shù)列周期為2，各項(xiàng)為1，1，1，1，…，前2025項(xiàng)和為2025×1=2025。三、解答題（1）周期為2；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$S_n=\frac{3n}{2}$；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$S_n=\frac{3(n-1)}{2}+1=\frac{3n-1}{2}$。（1）證明：計(jì)算前幾項(xiàng)得1，2，1，-1，-2，-1，1，2，…，周期為6；（2）2025=6×337+3，和為337×0+1+2+1=4。（1）2，-1，$\frac{1}{2}$，2，-1，…；（2）是周期數(shù)列，周期為3。（1）3，5，2，3，1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…；（2）證明：由非負(fù)整數(shù)性質(zhì)，數(shù)列終將進(jìn)入周期循環(huán)。四、附加題（1）1，2，1，0，1，1，2，0，…；（2）周期為6