2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練拓展試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.基礎(chǔ)題若二次函數(shù)$y=x^2-2x+m$的圖像與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是（）A.$m>1$B.$m<1$C.$m=1$D.$m\geq1$2.變式題已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖像如圖所示，對稱軸為直線$x=1$，與x軸交于點$(-1,0)$，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.$abc<0$B.$2a+b=0$C.$a+b+c=0$D.方程$ax^2+bx+c=0$的另一個根為33.基礎(chǔ)題下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形4.變式題在平面直角坐標(biāo)系中，將點$A(2,3)$繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點$A'$，則點$A'$的坐標(biāo)是（）A.$(3,-2)$B.$(-3,2)$C.$(-2,-3)$D.$(2,-3)$5.基礎(chǔ)題若分式$\frac{x^2-4}{x+2}$的值為0，則x的值是（）A.2B.-2C.±2D.46.變式題若關(guān)于x的分式方程$\frac{2}{x-3}+\frac{x+m}{3-x}=2$有增根，則m的值為（）A.-1B.0C.1D.37.基礎(chǔ)題已知$\triangleABC\sim\triangleDEF$，且相似比為2:3，則$\triangleABC$與$\triangleDEF$的面積比為（）A.2:3B.3:2C.4:9D.9:48.變式題如圖，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90°$，$AC=6$，$BC=8$，點D在BC上，以AD為直徑的圓與AB交于點E，則BE的長為（）A.3.6B.4.8C.5.2D.6.49.基礎(chǔ)題一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個球，摸到紅球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$10.變式題在一個不透明的盒子中裝有4個紅球、3個白球和2個黃球，這些球除顏色外完全相同，從中隨機(jī)摸出兩個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{5}{18}$C.$\frac{7}{36}$D.$\frac{11}{36}$二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.基礎(chǔ)題分解因式：$x^3-4x=$_________．12.變式題若$x^2+mx+16$是一個完全平方式，則m的值為_________．13.基礎(chǔ)題已知點$P(a,b)$在反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖像上，則$ab=$_________．14.變式題如圖，點A在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}(x>0)$的圖像上，過點A作$AB\perpx$軸于點B，連接OA，若$\triangleOAB$的面積為3，則k的值為_________．15.基礎(chǔ)題圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積為_________$cm^2$（結(jié)果保留π）．16.變式題如圖，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以點C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與斜邊AB相切，則r的值為_________．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（8分）基礎(chǔ)計算題（1）計算：$\sqrt{12}-3\tan30°+|1-\sqrt{3}|+(\pi-2025)^0$；（2）解不等式組：$\begin{cases}2x-1<5\\frac{x+1}{2}\geq1\end{cases}$18.（8分）變式計算題先化簡，再求值：$\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+2}{x-2}$，其中$x=\sqrt{2}-2$．19.（8分）基礎(chǔ)幾何證明題如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE=DF．20.（8分）變式幾何探究題如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點O是對角線AC的中點，點P在AD上，連接PO并延長交BC于點Q．（1）求證：$\triangleAPO\cong\triangleCQO$；（2）當(dāng)點P在什么位置時，四邊形AQCP是菱形？并求出此時菱形的面積．21.（9分）基礎(chǔ)函數(shù)應(yīng)用題某商店銷售一種進(jìn)價為每件20元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足$y=-10x+400$（$20\leqx\leq40$）．設(shè)銷售這種商品每天的利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？22.（9分）變式函數(shù)綜合題如圖，一次函數(shù)$y=kx+b$的圖像與反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖像交于點$A(2,3)$和點$B(-3,n)$．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直接寫出不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集；（3）點P是x軸上一動點，當(dāng)$PA+PB$的值最小時，求點P的坐標(biāo)．23.（10分）基礎(chǔ)統(tǒng)計與概率題為了解學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每天的睡眠時間進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為A（$t<6h$）、B（$6h\leqt<7h$）、C（$7h\leqt<8h$）、D（$t\geq8h$）四個等級，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計該校睡眠時間不足7小時的學(xué)生有多少名？24.（12分）變式幾何綜合題如圖，AB是$\odotO$的直徑，C是$\odotO$上一點，過點C作$\odotO$的切線CD，交AB的延長線于點D，連接AC、BC．（1）求證：$\angleACD=\angleB$；（2）若$OA=2$，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，求BD的長；（3）在（2）的條件下，點E是$\odotO$上一點，連接CE交AB于點F，若$CF=2EF$，求AF的長．參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷使用）一、選擇題B2.C3.C4.A5.A6.C7.C8.A9.C10.B二、填空題$x(x+2)(x-2)$12.±813.614.615.15π16.$\frac{12}{5}$三、解答題17.（1）原式$=2\sqrt{3}-3\times\frac{\sqrt{3}}{3}+(\sqrt{3}-1)+1=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+1=2\sqrt{3}$；（2）解不等式①得$x<3$，解不等式②得$x\geq1$，∴不等式組的解集為$1\leqx<3$．原式$=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x}{x-2}\right]\times\frac{x-2}{x+2}=\left(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}\right)\times\frac{x-2}{x+2}=\frac{2}{x-2}\times\frac{x-2}{x+2}=\frac{2}{x+2}$，當(dāng)$x=\sqrt{2}-2$時，原式$=\frac{2}{\sqrt{2}-2+2}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AE=CF，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE=DF．20.（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，∵點O是AC的中點，∴AO=CO，在△APO和△CQO中，$\begin{cases}\anglePAO=\angleQCO\AO=CO\\angleAOP=\angleCOQ\end{cases}$，∴△APO≌△CQO（ASA）；（2）當(dāng)AP=CP時，四邊形AQCP是菱形，設(shè)AP=CP=x，則PD=8-x，在Rt△CDP中，$CD^2+PD^2=CP^2$，即$6^2+(8-x)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{4}$，∴AP=$\frac{25}{4}$，此時菱形AQCP的面積=AP×CD=$\frac{25}{4}\times6=\frac{75}{2}$．21.（1）$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+400)=-10x^2+600x-8000$；（2）$w=-10(x-30)^2+1000$，∵$-10<0$，∴當(dāng)$x=30$時，w有最大值，最大值為1000元．22.（1）將點A(2,3)代入$y=\frac{m}{x}$得$m=6$，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為$y=\frac{6}{x}$，將點B(-3,n)代入得$n=-2$，∴B(-3,-2)，將A(2,3)、B(-3,-2)代入$y=kx+b$得$\begin{cases}2k+b=3\-3k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\b=1\end{cases}$，∴一次函數(shù)表達(dá)式為$y=x+1$；（2）$-3<x<0$或$x>2$；（3）作點B關(guān)于x軸的對稱點B'(-3,2)，連接AB'交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，設(shè)直線AB'的表達(dá)式為$y=mx+n$，將A(2,3)、B'(-3,2)代入得$\begin{cases}2m+n=3\-3m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{5}\n=\frac{13}{5}\end{cases}$，∴直線AB'的表達(dá)式為$y=\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}$，令$y=0$得$x=-13$，∴點P的坐標(biāo)為(-13,0)．23.（1）本次調(diào)查共抽取學(xué)生$12\div20%=60$名；（2）C等級人數(shù)為$60-4-12-18=26$名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖（略）；（3）睡眠時間不足7小時的學(xué)生有$1200\times\frac{4+12}{60}=320$名．24.（1）證明：連接OC，∵CD是$\odotO$的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AB是$\odotO$的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ACO=∠B+∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠ACD=∠B；（2）∵OA=2，∴AB=4，∵∠ACD=∠B，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，∴$\tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，設(shè)AC=x，則BC=2x，在Rt△ABC中，$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+(2x)^2=4^2$，解得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，∴AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∵∠ACD=∠B，∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，設(shè)BD=y，則AD=AB+BD=4+y，CD=2y，∵$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{4+y}{2y}=\frac{1}{2}$，解得$y=4$，∴BD=4；（3）過點E作EG⊥AB于點G，∵CF=2EF，設(shè)EF=k，則CF=2k，CE=3k，∵∠ACD=∠B，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，∴$\tanB=\frac{1}{2}$，∵∠EFG=∠CFD，∠EGF=∠CDF=90°，∴△EFG∽△CFD，∴$\frac{EG}{CD}=\frac{FG}{FD}=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$，∵CD=2y=8，∴EG=4，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}FD$，設(shè)FD=m，則FG=$\frac{m}{2}$，OD=OB+BD=2+4=6，∴OF=OD-FD=6-m，OG=OF+FG