2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)表達(dá)展示能力測試試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）數(shù)學(xué)符號表達(dá)：下列關(guān)于“平方根”的符號表示中，正確的是（）A.$\sqrt{16}=\pm4$B.$\pm\sqrt{16}=4$C.$\sqrt{-16}=-4$D.$-\sqrt{16}=-4$幾何語言理解：如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中不能用“∵D是BC中點(diǎn)”直接推出的是（）A.BD=DCB.AD是△ABC的中線C.$\triangleABD$的面積=$\triangleADC$的面積D.AD⊥BC函數(shù)關(guān)系描述：某商店銷售一種文具，單價(jià)為5元/件，每天可銷售100件.若單價(jià)每降低0.5元，銷量增加10件.設(shè)單價(jià)降低x元，每天的銷售額為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為（）A.$y=(5-x)(100+10x)$B.$y=(5-x)(100+20x)$C.$y=(5-0.5x)(100+10x)$D.$y=(5-0.5x)(100+20x)$統(tǒng)計(jì)圖表分析：某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分布直方圖如圖2所示，下列關(guān)于成績的描述中，錯誤的是（）A.成績在80~90分的學(xué)生人數(shù)最多B.成績在70~80分的學(xué)生占比為20%C.中位數(shù)可能落在80~90分區(qū)間D.平均數(shù)一定高于80分邏輯推理表達(dá)：下列命題中，逆命題為真命題的是（）A.若a>b，則a2>b2B.若兩個(gè)角是直角，則它們相等C.若x=1，則x2-1=0D.若三角形的三邊相等，則它是等邊三角形代數(shù)運(yùn)算規(guī)范：計(jì)算$\frac{x^2-4}{x}\div\frac{x-2}{x^2}$的結(jié)果為（）A.$x(x+2)$B.$x(x-2)$C.$\frac{x+2}{x}$D.$\frac{x-2}{x}$幾何證明思路：如圖3，在□ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列條件中不能判定□ABCD是菱形的是（）A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.AC平分∠BAD概率模型構(gòu)建：一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別.從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用列表法或樹狀圖表示所有可能結(jié)果時(shí)，下列描述正確的是（）A.共有10種等可能結(jié)果B.摸到“1紅1白”的概率為$\frac{1}{2}$C.摸到“2紅”的概率為$\frac{3}{5}$D.摸到“2白”的概率為$\frac{2}{5}$方程應(yīng)用場景：某工程隊(duì)計(jì)劃修一條長1200米的公路，原計(jì)劃每天修x米，實(shí)際每天多修了20米，結(jié)果提前5天完成任務(wù).下列方程中符合題意的是（）A.$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+20}=5$B.$\frac{1200}{x+20}-\frac{1200}{x}=5$C.$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x-20}=5$D.$\frac{1200}{x-20}-\frac{1200}{x}=5$數(shù)學(xué)思想方法：在解決“求一元二次方程$x^2-2x-3=0$的解”時(shí)，下列方法中未體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化思想”的是（）A.配方法：將方程化為$(x-1)^2=4$B.公式法：直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$C.因式分解法：將方程化為$(x-3)(x+1)=0$D.圖像法：畫出函數(shù)$y=x^2-2x-3$的圖像，觀察與x軸的交點(diǎn)二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案直接填寫在橫線上）符號表達(dá)：用“>”“<”或“=”填空：若a<0，則$a^3$______$a^2$（填“>”“<”或“=”）.幾何性質(zhì)描述：如圖4，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑為______cm.函數(shù)圖像分析：已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,5)和(4,9)，則該函數(shù)的表達(dá)式為______.統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：一組數(shù)據(jù)：3，5，7，x，9的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為______.代數(shù)推理填空：若$a+b=3$，$ab=2$，則$a^2+b^2=$______（用含a+b和ab的式子表示并計(jì)算）.動態(tài)幾何表達(dá)：如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2cm/s.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤2），則PQ的長度表達(dá)式為______（用含t的代數(shù)式表示）.三、解答題（本大題共8小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分8分）代數(shù)運(yùn)算與表達(dá)計(jì)算：（1）$(-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{12}+(π-3.14)^0$；（2）先化簡，再求值：$(x+2)(x-2)-(x-1)^2$，其中$x=-\frac{1}{2}$.18.（本小題滿分8分）幾何證明與語言表達(dá)如圖6，已知：在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE.求證：△ABE≌△ACD.（要求：寫出“已知”“求證”，并完整書寫證明過程，注明推理依據(jù)）19.（本小題滿分10分）方程應(yīng)用與過程表達(dá)某學(xué)校計(jì)劃購買A、B兩種品牌的足球共50個(gè)，已知A品牌足球的單價(jià)為80元/個(gè)，B品牌足球的單價(jià)為100元/個(gè).若購買總費(fèi)用不超過4500元，且A品牌足球數(shù)量不少于B品牌足球數(shù)量的2倍，求共有幾種購買方案？（要求：設(shè)未知數(shù)，列出不等式組并求解，寫出所有符合條件的方案）20.（本小題滿分10分）函數(shù)圖像與性質(zhì)分析已知二次函數(shù)$y=x^2-4x+3$.（1）將函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像（要求：列表、描點(diǎn)、連線，并標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)）；（3）結(jié)合圖像，直接寫出當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍.21.（本小題滿分10分）統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析為了解學(xué)生“居家學(xué)習(xí)”期間的體育鍛煉情況，某校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們每天的鍛煉時(shí)間（單位：分鐘），并繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（如圖7）.鍛煉時(shí)間x（分鐘）頻數(shù)（人數(shù)）頻率0≤x<2040.0820≤x<40120.2440≤x<60a0.3260≤x<8010b80≤x<10060.12（1）求樣本容量和表中a、b的值；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）若該校共有1500名學(xué)生，估計(jì)每天鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的學(xué)生人數(shù).22.（本小題滿分10分）幾何綜合與動態(tài)表達(dá)如圖8，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，速度為2cm/s.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤3）.（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰直角三角形？（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.23.（本小題滿分12分）代數(shù)綜合與推理表達(dá)已知關(guān)于x的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$x_1$，$x_2$（$x_1<x_2$），且$x_1^2+x_2^2=13$，求k的值；（3）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值.24.（本小題滿分14分）數(shù)學(xué)建模與綜合表達(dá)某公司計(jì)劃生產(chǎn)一種新型節(jié)能臺燈，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺臺燈需增加投入100元，已知臺燈的售價(jià)P（元）與月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系為$P=500-\frac{1}