2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)多題一解歸納試卷一、代數(shù)模塊：一元二次方程根的判別式應(yīng)用題型1：方程解的存在性問題例題1：已知關(guān)于x的一元二次方程(x^2-(k+3)x+2k+2=0)，求證：無論k為何值，方程總有兩個實數(shù)根。解析：計算判別式(\Delta=[-(k+3)]^2-4\times1\times(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2\geq0)，因此方程總有兩個實數(shù)根。變式訓(xùn)練1：若關(guān)于x的方程(mx^2-2x+1=0)有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍。提示：需同時滿足(m\neq0)且(\Delta=4-4m>0)，解得(m<1)且(m\neq0)。題型2：幾何圖形中的方程建模例題2：一個直角三角形的斜邊長為5，兩條直角邊的差為1，求兩條直角邊的長。解析：設(shè)較短直角邊為x，則較長直角邊為x+1，由勾股定理得(x^2+(x+1)^2=5^2)，整理得(2x^2+2x-24=0)，即(x^2+x-12=0)。判別式(\Delta=1+48=49)，解得(x=3)（負值舍去），因此兩條直角邊分別為3和4。變式訓(xùn)練2：用長為20cm的鐵絲圍成一個矩形，若面積為24cm2，求矩形的長和寬。提示：設(shè)長為xcm，則寬為(10-x)cm，方程為(x(10-x)=24)，即(x^2-10x+24=0)，解得x=6或4，因此長為6cm，寬為4cm。二、幾何模塊：全等三角形判定的輔助線構(gòu)造題型3：倍長中線法例題3：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，求AD的取值范圍。解析：延長AD至點E，使DE=AD，連接BE。易證△ADC≌△EDB（SAS），則BE=AC=3。在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即(5-3<2AD<5+3)，因此(1<AD<4)。變式訓(xùn)練3：在△ABC中，D是BC中點，DE⊥DF，E在AB上，F(xiàn)在AC上，求證：BE+CF>EF。提示：延長FD至點G，使DG=DF，連接BG、EG?？勺C△CDF≌△BDG（SAS），得CF=BG；再證△EDF≌△EDG（SAS），得EF=EG。在△BEG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF。題型4：截長補短法例題4：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD=AC。解析：在AC上截取AE=AB，連接DE。由AD平分∠BAC，可證△ABD≌△AED（SAS），得BD=DE，∠B=∠AED?！摺螦ED=∠C+∠EDC，且∠B=2∠C，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，因此AC=AE+EC=AB+BD。變式訓(xùn)練4：如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，AF平分∠DAE交CD于F，求證：AE=BE+DF。提示：延長CB至點G，使BG=DF，連接AG。證△ADF≌△ABG（SAS），得∠DAF=∠BAG，∠AFD=∠G?！逜F平分∠DAE，∴∠DAE=2∠DAF=2∠BAG，∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=∠AFD=∠G，∴AE=GE=BE+BG=BE+DF。三、函數(shù)模塊：一次函數(shù)與幾何圖形的綜合題型5：動點問題中的函數(shù)關(guān)系例題5：如圖，直線l：y=-x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P(m,n)是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過點P作PD⊥x軸于D，PE⊥y軸于E。（1）求矩形PDOE的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式；（2）當m為何值時，S有最大值？最大值是多少？解析：（1）由點P(m,n)在直線y=-x+6上，得n=-m+6，其中0<m<6。S=PD×PE=m×n=m(-m+6)=-m2+6m。（2）S=-m2+6m=-(m-3)2+9，∵a=-1<0，∴當m=3時，S最大值=9。變式訓(xùn)練5：在平面直角坐標系中，點A(0,4)，B(3,0)，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于C，求△OPC面積的最大值。提示：先求直線AB的解析式為y=-(\frac{4}{3})x+4，設(shè)P(m,-(\frac{4}{3})m+4)（0<m<3），則S△OPC=(\frac{1}{2})×m×(-(\frac{4}{3})m+4)=-(\frac{2}{3})m2+2m，當m=(\frac{3}{2})時，S最大值=(\frac{3}{2})。四、統(tǒng)計與概率：數(shù)據(jù)分析的圖表應(yīng)用題型6：條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的綜合例題6：某校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時間，隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)及m的值；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計每周鍛煉時間不少于6小時的學(xué)生人數(shù)。解析：（1）由“4小時”對應(yīng)30人，占比20%，得總?cè)藬?shù)=30÷20%=150人?！?小時”人數(shù)=150-30-50-40=30人，m=30÷150×100=20。（2）補全“8小時”條形高度為30。（3）鍛煉時間不少于6小時的人數(shù)占比=(40+30)/150=70/150=7/15，估計總?cè)藬?shù)=1200×7/15=560人。變式訓(xùn)練6：某班50名學(xué)生參加“垃圾分類知識競賽”，成績分為A（90-100分）、B（80-89分）、C（70-79分）、D（60-69分）四個等級，其中A等級人數(shù)占20%，B等級人數(shù)是D等級的3倍，C等級有18人。求B、D等級的人數(shù)，并繪制扇形統(tǒng)計圖。提示：A等級人數(shù)=50×20%=10人，設(shè)D等級人數(shù)為x，則B等級人數(shù)為3x，得10+3x+18+x=50，解得x=5，因此B等級15人，D等級5人。扇形統(tǒng)計圖中各等級占比：A=20%，B=30%，C=36%，D=10%。五、綜合應(yīng)用題：方程與函數(shù)的實際應(yīng)用題型7：利潤最大化問題例題7：某商店銷售一種進價為每件20元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足y=-10x+500（20≤x≤50）。（1）設(shè)每天的銷售利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000。（2）w=-10(x2-70x)-10000=-10(x-35)2+2250，∵a=-10<0，∴當x=35時，w最大值=2250元。變式訓(xùn)練7：某旅行社推出“一日游”活動，收費標準如下：如果人數(shù)不超過25人，人均費用為100元；如果超過25人，每增加1人，人均費用降低2元，但人均費用不得低于70元。某單位組織員工參加該活動，共支付費用2700元，求該單位參加活動的人數(shù)。提示：設(shè)參加人數(shù)為x（x>25），人均費用為100-2(x-25)=150-2x。由題意得x(150-2x)=2700，整理得x2-75x+1350=0，解得x=30或45。當x=45時，人均費用=150-90=60<70（舍去），因此參加人數(shù)為30人。六、多題一解核心方法總結(jié)代數(shù)問題：通過“判別式”“求根公式”或“因式分解”將方程與幾何、函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，關(guān)鍵在于建立等量關(guān)系。幾何證明：輔助線構(gòu)造是核心，“倍長中線”“截長補短”“作垂線”等方法可將分散條件集中，利用全等或等腰三角形性質(zhì)解題。函數(shù)應(yīng)用：明確自變量取值范圍，通過“配方”或“頂點坐標公式”求最值，結(jié)合圖像分析增減性。實際問題：先審題建立數(shù)學(xué)模型（方程、函數(shù)等），再根據(jù)變量取值范圍驗證解的合理性，避免漏解