2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與分層抽樣設(shè)計(jì)真題模擬考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，為了使樣本能較好地代表總體，應(yīng)遵循的基本原則是（）。A.隨機(jī)原則B.代表原則C.準(zhǔn)確原則D.經(jīng)濟(jì)原則2.從一個(gè)包含N個(gè)單元的總體中，抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，每個(gè)單元被抽中的概率相等，且每次抽取后不放回，這種抽樣方式稱為（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.整群抽樣D.不等概率抽樣3.在分層抽樣中，確定各層樣本量時(shí)，如果希望精度最高，應(yīng)優(yōu)先考慮（）。A.按比例分配B.按最優(yōu)分配C.按經(jīng)濟(jì)性分配D.均等分配4.衡量抽樣估計(jì)量?jī)?yōu)良性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是（）。A.變異系數(shù)小B.抽樣誤差大C.無偏性D.抽樣框不完整5.在其他條件不變的情況下，樣本量增大，抽樣平均誤差（）。A.增加B.減少C.不變D.先增后減6.分層抽樣的主要目的是（）。A.減少抽樣框的偏差B.提高抽樣效率C.便于組織實(shí)施D.減少非抽樣誤差7.當(dāng)總體各單位標(biāo)志值變異程度較大時(shí)，采用分層抽樣通常比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣能夠（）。A.減小抽樣誤差B.增大抽樣誤差C.不影響抽樣誤差D.可能增大也可能減小抽樣誤差8.若某層樣本量為n_h，層內(nèi)單位數(shù)為N_h，則該層的樣本比例p_h的計(jì)算公式是（）。A.p_h=∑(x_h/n_h)B.p_h=∑(x_h/N_h)C.p_h=x_h/n_hD.p_h=x_h/N_h（其中x_h為該層具有某特征的單位數(shù)）9.計(jì)算分層抽樣樣本均值估計(jì)量時(shí)，需要用到各層的（）。A.樣本方差B.總體比例C.樣本比例D.層權(quán)10.在重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，若其他條件不變，總體方差增大，則抽樣平均誤差（）。A.不變B.減小C.增加D.影響不確定二、填空題（每空1分，共15分。請(qǐng)將答案填在題中的橫線上）1.抽樣調(diào)查是利用______的樣本信息來推斷總體特征的一種非全面調(diào)查方法。2.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量與______之間存在的隨機(jī)差異。3.系統(tǒng)抽樣是將總體單元按一定規(guī)則排列后，每隔k個(gè)抽取一個(gè)單元構(gòu)成樣本，k稱為______。4.分層抽樣首先是將總體按某個(gè)或某些標(biāo)志劃分為不同的組，這些組稱為______。5.當(dāng)總體單位很多，且分布廣泛時(shí)，______抽樣是一種常用的方法。6.抽樣框是抽樣調(diào)查中包含所有總體單元的名單或地圖，它是進(jìn)行抽樣抽取樣本的______。7.抽樣平均誤差是在重復(fù)抽樣條件下，樣本統(tǒng)計(jì)量的______的標(biāo)準(zhǔn)差。8.分層抽樣的估計(jì)量通常比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量______（填“更”或“更不”）精確。9.若總體由H層組成，第h層的權(quán)重h的計(jì)算公式為h=N_h/N，其中N_h為第h層的單位數(shù)，N為總體單位總數(shù)，h也稱為______。10.在分層抽樣中，若層內(nèi)方差較小而層間方差較大，則按比例分配樣本量可能不如______分配效率高。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.假設(shè)某大學(xué)共有學(xué)生10000人，現(xiàn)欲采用重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為200的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，以估計(jì)學(xué)生的平均身高。已知學(xué)生身高的總體標(biāo)準(zhǔn)差為6.5厘米，試計(jì)算樣本平均身高的抽樣平均誤差。2.某地區(qū)有農(nóng)村居民5000戶，城市居民3000戶。現(xiàn)欲采用分層比例抽樣方法抽取樣本，樣本總量為800戶。已知農(nóng)村居民戶某特征的總體比例為15%，城市居民戶該特征的總體比例為25%。試計(jì)算：(1)各層應(yīng)抽取的樣本量；(2)若抽中的農(nóng)村樣本戶中該特征有200戶，城市樣本戶中有180戶，則該特征的總樣本比例及抽樣平均誤差（假設(shè)層內(nèi)方差相等，可用合并方差）。3.假定一個(gè)總體分為三層，各層單位數(shù)和方差如下：*第一層：N?=100,σ?2=4*第二層：N?=200,σ?2=9*第三層：N?=300,σ?2=16總體單位數(shù)N=600。現(xiàn)計(jì)劃采用最優(yōu)分配方法抽取樣本總量n=150。試計(jì)算：(1)各層的樣本量；(2)最優(yōu)分配下分層抽樣估計(jì)量的方差。四、分析題（15分）某市場(chǎng)研究公司欲調(diào)查某城市居民對(duì)某新型飲料的偏好度。該城市分為老城區(qū)和新建區(qū)兩部分，老城區(qū)居民消費(fèi)習(xí)慣相對(duì)傳統(tǒng)，新建區(qū)居民更樂于嘗試新產(chǎn)品。公司認(rèn)為兩個(gè)區(qū)域的居民對(duì)飲料的偏好可能存在顯著差異?，F(xiàn)有兩個(gè)抽樣框：一個(gè)是按戶籍劃分的全體居民名單（包含老城和新城），另一個(gè)是按便利店會(huì)員劃分的名單（新城會(huì)員多于老城）。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案，用于抽取樣本進(jìn)行這項(xiàng)調(diào)查。在設(shè)計(jì)中，需要說明：(1)總體界定；(2)分層依據(jù)與劃分；(3)抽樣框選擇與處理；(4)層內(nèi)抽樣方法與樣本量分配；(5)如何進(jìn)行數(shù)據(jù)收集和保證樣本代表性。試卷答案一、選擇題1.A2.D3.B4.C5.B6.B7.A8.C9.D10.C二、填空題1.隨機(jī)2.總體參數(shù)3.抽樣間隔4.層（或?qū)咏M）5.多階段6.依據(jù)7.數(shù)學(xué)期望8.更9.層權(quán)（或?qū)訖?quán)重）10.最優(yōu)（或按層內(nèi)方差比例）三、計(jì)算題1.解：*樣本平均身高的抽樣平均誤差計(jì)算公式（重復(fù)抽樣）為：σ_?=σ/√n*已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=6.5厘米，樣本量n=200*σ_?=6.5/√200≈6.5/14.14≈0.459厘米*答：樣本平均身高的抽樣平均誤差約為0.459厘米。2.解：*總體單位數(shù)：N_農(nóng)村=5000,N_城市=3000,N=8000*總樣本量：n=800*(1)各層樣本量按比例分配：*農(nóng)村樣本量n_農(nóng)村=(N_農(nóng)村/N)*n=(5000/8000)*800=0.625*800=500戶*城市樣本量n_城市=(N_城市/N)*n=(3000/8000)*800=0.375*800=300戶*(2)總樣本比例及抽樣平均誤差：*總樣本比例p?=(n_農(nóng)村*p?_農(nóng)村+n_城市*p?_城市)/n*其中p?_農(nóng)村=200/500=0.4,p?_城市=180/300=0.6*p?=(500*0.4+300*0.6)/800=(200+180)/800=380/800=0.475*假設(shè)層內(nèi)方差相等，合并方差s_p2=[(n_農(nóng)村-1)s??_農(nóng)村+(n_城市-1)s??_城市]/(n_農(nóng)村+n_城市-2)*其中s??_農(nóng)村=(p?_農(nóng)村*(1-p?_農(nóng)村))=0.4*(1-0.4)=0.24*s??_城市=(p?_城市*(1-p?_城市))=0.6*(1-0.6)=0.24*s_p2=[(500-1)*0.24+(300-1)*0.24]/(500+300-2)=[499*0.24+299*0.24]/798*s_p2=(119.76+71.76)/798=191.52/798≈0.2395*抽樣平均誤差σ_p?=√[s_p2*(1-n/N)]*σ_p?=√[0.2395*(1-800/8000)]≈√[0.2395*0.9]≈√0.21555≈0.464*答：(1)農(nóng)村應(yīng)抽500戶，城市應(yīng)抽300戶。(2)總樣本比例為0.475，抽樣平均誤差約為0.464。3.解：*總體單位數(shù)：N?=100,N?=200,N?=300,N=600*總樣本量：n=150*各層方差：σ?2=4,σ?2=9,σ?2=16*各層單位數(shù)占比：w?=N?/N=100/600=1/6,w?=N?/N=200/600=1/3,w?=N?/N=300/600=1/2*(1)最優(yōu)分配下各層樣本量n_h=n*w_h*σ_h/√σ??，其中σ??是合并方差，σ??=w?σ?2+w?σ?2+w?σ?2*σ??=(1/6)*4+(1/3)*9+(1/2)*16=2/3+3+8=35/3*n?=150*(1/6)*√4/√(35/3)=25*2/√(35/3)=50/√(35/3)=50*√3/√35*n?=150*(1/3)*√9/√(35/3)=50*3/√(35/3)=150*√3/√35*n?=150*(1/2)*√16/√(35/3)=75*4/√(35/3)=300*√3/√35*計(jì)算近似值：√35≈5.92,√3≈1.73*n?≈50*1.73/5.92≈14.875，取15*n?≈150*1.73/5.92≈43.625，取44*n?≈300*1.73/5.92≈86.25，取86*檢查：n?+n?+n?=15+44+86=145，與n=150接近，需微調(diào)使總和為150。例如，可調(diào)整為n?=15,n?=43,n?=92。*(2)最優(yōu)分配下估計(jì)量的方差Var(??_h)=σ??/n=35/3/150=35/(3*150)=35/450=7/90*答：(1)各層樣本量近似為：農(nóng)村15戶，城市43戶，城區(qū)92戶。(注：實(shí)際取整后總和為150，可能略有偏差，需微調(diào))。(2)最優(yōu)分配下估計(jì)量的方差為7/90。四、分析題某市場(chǎng)研究公司欲調(diào)查某城市居民對(duì)某新型飲料的偏好度。該城市分為老城區(qū)和新建區(qū)兩部分，老城區(qū)居民消費(fèi)習(xí)慣相對(duì)傳統(tǒng)，新建區(qū)居民更樂于嘗試新產(chǎn)品。公司認(rèn)為兩個(gè)區(qū)域的居民對(duì)飲料的偏好可能存在顯著差異?，F(xiàn)有兩個(gè)抽樣框：一個(gè)是按戶籍劃分的全體居民名單（包含老城和新城），另一個(gè)是按便利店會(huì)員劃分的名單（新城會(huì)員多于老城）。設(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案：1.總體界定：總體為某城市所有常住居民。2.分層依據(jù)與劃分：按居住區(qū)域?qū)⒖傮w劃分為兩層：老城區(qū)居民層和新建區(qū)居民層。分層依據(jù)是該城市現(xiàn)有的行政區(qū)域劃分和居民消費(fèi)習(xí)慣的顯著差異。此分層能有效控制因區(qū)域差異帶來的偏好度不同，提高估計(jì)精度。3.抽樣框選擇與處理：*選擇按戶籍劃分的全體居民名單作為主要抽樣框，因?yàn)樗碚撋习怂芯用?，覆蓋全面。*需要確認(rèn)此名單的現(xiàn)勢(shì)性，如有大量人口流動(dòng)，需進(jìn)行必要的更新或說明抽樣框可能存在的偏差（如遺漏流動(dòng)人口）。*檢查名單中是否區(qū)分了老城和新城，若未明確區(qū)分，則需在抽樣前按區(qū)域?qū)γ麊芜M(jìn)行整理，確保每個(gè)區(qū)域內(nèi)的單元都在同一個(gè)層內(nèi)。4.層內(nèi)抽樣方法與樣本量分配：*層內(nèi)抽樣方法：考慮到戶籍名單可能存在難以直接聯(lián)系的問題，可在各層內(nèi)采用多階段抽樣或系統(tǒng)抽樣。例如，先抽取各區(qū)域內(nèi)的若干社區(qū)/街道，再從選中的社區(qū)/街道中抽取住戶，最后從住戶中抽取居民。或者，若能獲取各區(qū)域住戶的列表，可采用系統(tǒng)抽樣抽取樣本住戶。*樣本量分配：建議采用按比例分配方法，即根據(jù)老城區(qū)和新建區(qū)的常住人口比例來確定各層的樣本量。這簡(jiǎn)單易行，且能保證兩層在樣本中的代表性。樣本總量根據(jù)研究精度要求和總成本預(yù)算確定。若希望更精確地利用信息，可考慮按層內(nèi)方差的倒數(shù)比例分配樣本量，但需有各層方差的估計(jì)值。5.數(shù)據(jù)收集和保證樣本代表性：*數(shù)據(jù)收集：設(shè)計(jì)統(tǒng)一的調(diào)查問卷，通過電話訪問、上門