高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題.（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，所以，故選C．2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.2i C.-2 D.2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閙，n在平面內(nèi)，，根據(jù)線面垂直的定義，可得且，所以“”是“且”的充分條件，當(dāng)時(shí)，由m，n在平面，且，得不出，所以“”是“且”的不必要條件，所以“”是“且”的充分不必要條件.故選：A.4.，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以.故選：B.5.若，則事件與事件的關(guān)系是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件對(duì)立C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件互斥又獨(dú)立【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以事件與事件相互獨(dú)立、事件與事件不互斥，故不對(duì)立.故選：C.6.為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以.故選：C.7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】若是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，設(shè)飲馬點(diǎn)為，如下圖示，由圖知：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.8.如圖，正四面體的長為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.二、選擇題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.若在上的投影向量為【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；由已知可得，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D正確.故選：AD.10.已知圓，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱 B.直線與圓相交所得弦長為C.若，則距離的最大值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，選項(xiàng)A：因?yàn)閳A心在直線上，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱，說法正確；選項(xiàng)B：圓心到直線的距離，所以由垂徑定理可得弦長為，說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，又因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在第三象限時(shí)等號(hào)成立，所以距離的最大值為，說法正確；選項(xiàng)D：因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在軸正方向上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，說法錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)（異于、），則下列結(jié)論正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.若，則面積為D.點(diǎn)到、兩點(diǎn)的連線斜率乘積為【答案】BC【解析】在雙曲線中，，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，該雙曲線的離心率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，該雙曲線的漸近線方程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，其中，且，可得，易知點(diǎn)、，則，D錯(cuò).故選：BC.12.在棱長為2的正方體中為CD的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（不包含四個(gè)頂點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是：（）A.點(diǎn)到平面的距離為 B.三棱錐體積是定值，定值為1C.存在點(diǎn)，使得平面 D.存在點(diǎn)，使得且【答案】ACD【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以點(diǎn)到平面距離為，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，，則，，則設(shè)平面的法向量，則，取，得，當(dāng)，即時(shí)，平面,C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，則，，則所以，當(dāng)時(shí)滿足得且，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則________.【答案】【解析】由題意可知，所以可得.14.若直線與圓相切，則________________.【答案】9【解析】圓，即的圓心，半徑，依題意，，解得.15.若，且，則的最小值等于________________.【答案】8【解析】由可得，因此；又，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值等于8.16.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為________________.【答案】【解析】由斐波那契數(shù)可知，從第3項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和，所以接下來的一段圓弧所在圓的半徑是，對(duì)應(yīng)的弧長是，設(shè)圓錐的底面半徑是，，解得：.四、解答題.（本題共6個(gè)小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最大值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，，，即，所以，，所以，.（2），故當(dāng)時(shí)，故有最大值.18.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．解：（1）由題意可知：，，解得，；（2）由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，則估計(jì)第分位數(shù)為；（3）根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和則在這5人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有共10個(gè)，即，記事件“兩人來自不同組”，則事件包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，即，所以.19.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，且的面積為3，求．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，為外接圓的半徑，∴．∵，∴．又，∴．（2）由（1）知，又∵，由余弦定理，得①，由題意知，即②，聯(lián)立①②得，所以，故．20.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：四邊形為矩形，，為中點(diǎn)，，又，，；平面，平面，；，平面，平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一個(gè)法向量為，，即平面與平面夾角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①②得，所以，即，即，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）解：因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，則，所以，，所以，，則，令③，所以，④，③④得，所以，，故.22.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA與直線PB的斜率之和為-2，求證：l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：由題意得：，所以的方程為：.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，直線方程為：，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理得：，，，或者，當(dāng)時(shí)，直線方程為：，過定點(diǎn)，與題意矛盾，當(dāng)，直線方程為：，即：直線過定點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn).湖南省岳陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題.（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，所以，故選C．2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.2i C.-2 D.2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閙，n在平面內(nèi)，，根據(jù)線面垂直的定義，可得且，所以“”是“且”的充分條件，當(dāng)時(shí)，由m，n在平面，且，得不出，所以“”是“且”的不必要條件，所以“”是“且”的充分不必要條件.故選：A.4.，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以.故選：B.5.若，則事件與事件的關(guān)系是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件對(duì)立C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件互斥又獨(dú)立【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以事件與事件相互獨(dú)立、事件與事件不互斥，故不對(duì)立.故選：C.6.為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以.故選：C.7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】若是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，設(shè)飲馬點(diǎn)為，如下圖示，由圖知：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.8.如圖，正四面體的長為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.二、選擇題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.若在上的投影向量為【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；由已知可得，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D正確.故選：AD.10.已知圓，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱 B.直線與圓相交所得弦長為C.若，則距離的最大值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，選項(xiàng)A：因?yàn)閳A心在直線上，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱，說法正確；選項(xiàng)B：圓心到直線的距離，所以由垂徑定理可得弦長為，說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，又因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在第三象限時(shí)等號(hào)成立，所以距離的最大值為，說法正確；選項(xiàng)D：因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在軸正方向上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，說法錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)（異于、），則下列結(jié)論正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.若，則面積為D.點(diǎn)到、兩點(diǎn)的連線斜率乘積為【答案】BC【解析】在雙曲線中，，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，該雙曲線的離心率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，該雙曲線的漸近線方程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，其中，且，可得，易知點(diǎn)、，則，D錯(cuò).故選：BC.12.在棱長為2的正方體中為CD的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（不包含四個(gè)頂點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是：（）A.點(diǎn)到平面的距離為 B.三棱錐體積是定值，定值為1C.存在點(diǎn)，使得平面 D.存在點(diǎn)，使得且【答案】ACD【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以點(diǎn)到平面距離為，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，，則，，則設(shè)平面的法向量，則，取，得，當(dāng)，即時(shí)，平面,C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，則，，則所以，當(dāng)時(shí)滿足得且，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則________.【答案】【解析】由題意可知，所以可得.14.若直線與圓相切，則________________.【答案】9【解析】圓，即的圓心，半徑，依題意，，解得.15.若，且，則的最小值等于________________.【答案】8【解析】由可得，因此；又，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值等于8.16.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為________________.【答案】【解析】由斐波那契數(shù)可知，從第3項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和，所以接下來的一段圓弧所在圓的半徑是，對(duì)應(yīng)的弧長是，設(shè)圓錐的底面半徑是，，解得：.四、解答題.（本題共6個(gè)小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最大值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，，，即，所以，，所以，.（2），故當(dāng)時(shí)，故有最大值.18.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．解：（1）由題意可知：，，解得，；（2）由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，則估計(jì)第分位數(shù)為；（3）根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和則在這5人