重難點專訓03原函數與導函數的混合構造

解題方法及技巧提煉............................1

題型通法及變式提升............................................................3

題型一：構造/(x)±g(x)型..................................................3

題型二：構造/(x)?g(x)或.............................................3

題型三：構造.......................................................5

題型四：構造..........................................................7

X

題型五：構造/(工)6小.......................................................9

題型六：構造綽....................................................................11

題型七：構造了(X)與能......................................................13

題型八：構造/(X)與Inx.............................................................................................................................15

題型九：構造/(x)與三角函數................................................17

題型十：由等式構造函數................................................................20

重難專題分層過關練............................27

鞏固過關...............................................................................27

創(chuàng)新提升...............................................................................32

解題方法及技巧提煉<?、

1、借助函數的奇偶性與單調性解抽象函數不等式

關鍵在于把隱性的抽象關系轉化為顯性的具體不等式，具體方法如下：

(1)先將原不等式變形為(x)]>y[/?(x)]的形式；

(2)先判斷函數/(X)的單調性，再依據單調性去掉不等式中的函數符號“/”，從而得到具體的不等

式(組)，同時需結合函數奇偶性的不同特征加以區(qū)分考量。

2、常見的導函數與原函數混合構造類型

(1)對于不等式/'(x)>g'(x),構造"(X)-g(x)]'=r(x)-g'(x)

(2)對于不等式廣(式)>4kwO),構造"(幻一(丘+如'=/'(力一攵

(3)對于不等式r(x)>ox+〃(awO),構造"(x)-(or2+〃x+c)]'=/'(x)-ar-〃

(4)對于不等式/'(x)g(戈)+/(戈)g'(x),構造"Cv)g(x)]'=f'(x)g*)+f(x)g'(x)

⑸對于不等式r(x)g*)-/(x)g'a),構造[用1'=/(]皿(：)一點工漢*)

g(x)[gMY

(6)對于不等式4(%)+。(幻之0,構造，/(%)]'=%"fa)+nr〃T/a)=x〃T[#'(x)+Qa)]

(注意人的符號)

特別的：對于不等式"(x)+/(x)NO,構造="*)+.f(x)

(7)對于不等式"(x)一歹(x)NO,構造［華j=X八工)江⑴一叭x)

(注意X

X(X)xw+,

的符號)

特別的：對于不等式"(x)-/(x)20,構造［這1二也竺必D

Xx~

(8)對于不等式廣(力+叭勸，構造"(力產］'=八幻*+"。)/=—"'(幻+叭刈

特別的：/'(x)+/(x)>0,構造/⑺］

(9)對于不等式r(力一哄幻，構造［綽］'=八秘；：?“)泮二.⑴二叭X)

eIeJe

蛀即的的通J(x)Tf(x)ex-f(x)ex

特別的：構造I——］=--------7-7;--------=----------;-------

e(eYe

(10)對于不等式，尸(元)+ln/(x)>0,構

[優(yōu)/(X)]'=優(yōu)r(x)+a'In4(x)=優(yōu)"'(x)+In叭創(chuàng)

(11)對于不等式r(x)lnx+1K2>0,構造"(x)ln燈=r(x)lnx+/(x),

XX

(12)對于不等式sinx-f(x)+cosx-f(x)>0,構造[f(x)-sinx]f=/r(x)-sinx+/(%)?cosx

(13)對于不等式sinx?7'(x)—cosx"(x)>0,構造[四了=7'(x)?smx：](x>cosx

sin工sin'x

(14)對于不等式/'(4)>/(x)tanx,即r(x>cosx-/(x)?sinx>0,構造

I/(x)-cos=/'(x>cosx-/(x)-sinx

(15)對于不等式r("-cosx+/(x>sinx>0,構造[①丫=''(?4"a

COSXCOS'X

題型通法及變式提升<<<、

題型一：構造/(X)土g(x)型

典例皿.函數/W的定義域為RJ⑴=4,若DxeR，ra)>2,則/'(x)>2x+2的解集為()

A.(-1,1)B.(1,-KO)C.(fl)D.R

【答案】B

【詳解】構造函數網對=/⑴"]—2,滿足/(1)=〃1)—4=0/'(x)=r(x)—2>0,

所以產(工)在R上是增函數，又因為尸⑴二。，

所以〃x)>2x+2的解集為(1,+8).

故選:B.

典例12已知定義在R上的函數/(力的導函數為/'(力，若"1)=1,且VxeR,則

,f(x+l)V/X~+X+1的解集為()

A.(一8,0)B.(0,-KO)C.(-oo,l)D.(I,+oo)

【答案】A

【詳解】設雇不卜八另一q,xeR,則g'(x)=r(x)-x.

因為/'(x)>x在R上恒成立，所以，(X)>。在R上恒成立.

即g(x)在(YO,KO)上單調遞增.

乂〃X+1)vg/+X+l=/(X+1)-g(x+l)<3="1)-品巴

所以g(x+l)vg⑴=x+lvl=xvO.

即不等式/(X+1)<*2+X+1的解集為(70,0).

故選：A

變式1-1.定義在(。,口)上的函數/(“滿足礦(x)>x+l,且“。)=1“一)，則不等式

的解集為()

A.(0,+oo)B.(1,-HX>)C.(2,-KO)D.(e,+cc)

【答案】B

【詳解】設g(x)=/(x)—Ini,x>0,

題型二：構造/(x>g(x)或黑

典例2-1.設函數外)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數.當x<0時，

ra)g(x)+/(x)g'a)>o,且g⑶=(),則不等式/u)ga)>o的解集是()

A.(-3,0)53,同B.(-3,0)U(0,3)

C.(y,T)u(3,+o))D.(—,-3)u(U,3)

【答案】A

【詳解】構造函數尸(x)=/(x)N。).由題意可知，當水0時，”8)>。，

所以月(x)在(F,0)上單調遞塢.

又因為凡I)，飄幻分別是定義在R上的奇函數和偶函數，

尸(一x)=/(-x)g(—x)=-/(x)g(x)=-/(x),所以尸(、)是定義在R上的奇函數，

從而戶(丫)在(0.*)上單調.遞增.

而尸(3)=/(3)g(3)=O,所以月-3)=一尸(3)=0,

當x>0時，./U)g(x)〉0的解為x>3；

當x<0時，j(x)g(x)>0的解為一3<x<0；

綜上可知不等式?r)g(x)>0的解集為(-3,0)。(3,e).

故選:A.

典例2-2.設/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當Q0時，

/(x).^(x)+/(x)g(x)<0,且g(2)=0,則不等式/(x)g(x)<0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+00)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)U(0,2)D.(-00,-2)U(2,+oo)

【答案】A

【詳解】令—(x)=/(x)g(),

由r/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，

所以「(T)=/(-x)-g(-x)=-f(x)?g(x)=-F(x),

所以萬(x)是R上的奇函數,圖象關于原點對稱,尸⑵=〃2>g⑵=0,尸(-2)=-產⑵=0.

當彳>0時F'(x)=/(x)W(M+/(x)?g'(x)<0,

所以F(A)在(0,+8)上遞減，故F(.x)在(Y,0)遞減,

所以尸(力=/(力超(力<0的解集為(-2,0)U(2,4oo).

故選：A

變式2-1.已知函數/(耳、雇工)是定義域為R的可導函數，且VxeR,都有/(力>0,g(x)>。，若

../\/'(X)g'(x)

/X、gX滿足甘/<5,則當時下列選項一定成立的是()

f(x)g(x)

A.——(%)>/(西屈七)B.”x)g(xj>/a)g(x)

—g(%)g(w)/(?)/(小/⑸

,/(xj-g(xjg(N),g(w)g(xj+g(w)

【答案】D

【詳解】由題意：Hvg)]n/'(x)g(x)—/(x)g〈x)<0,

Jv'Jg㈤

設F(x)=瑞則如"皿"，

rh/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<0得尸'(X)<0,

訴國/(占)/(x)/(%)

因為X<x<x2,所以河,西〈布y

乂“X)、g(x)是定義域為R的恒大于0的可導函數,

故r(x)g(xj</a)g(x)，B錯誤，f(r)g(x)v<a)g(x2),A錯誤;

/㈤</(N)=〃/)1<.fM1n/㈤一4&)</⑺一)百)

g(4)g(xjg(W)g&Jg(9)g(%)

因為/伍)一晨赴)，/(X)-義(X)不知道正負，所以C不一定成立;

/(占)</"Jng&)?/(%)=用仁)+8&)</(W)+/(不)

江引g(X)g(%)f(X2)g(X2)f(Xl)

'g(s)g/xj+g㈤D正確.

故選：D.

【點睛】函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問

題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單

調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用

的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一

種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

變式22已知〃x),g(x)都是定義在R上的函數，且/(x)=g(。優(yōu)(。＞0,

的"(小C)喘+著=1，

則〃的值為()

A.5B.2

【答案】D

f(x\

【詳解】當g(6*o時，二”=。構造函數”(%)=

~~~~~~L~~|2~~?:~~<。,

H\x)所以0<"1,

|>(力］

犯+止!)”+/

g⑴g(T

解得"；或。=2(舍去).

故選：D

題型三：構造/(X)-Z

典例3-1.已知/(x)為定義在(e,O)U(O，E)上的奇函數，.“1)=0,且當x>0時，有

/(x)+,yf(x)>0,則使/(x)>0成立的x的取值范圍為()

A.(-<o,-l)u(0,l)B.(-l,0)kj(l,+oo)

C.(y,-l)D(l,+oo)D.(-1,0)11(0,1)

【答案】B

【詳解】令g(x)=4(x)，當x>0時,g'(6=/(x)+#'(x)>。，

所以，函數g(x)在(。，?)上為增函數，且g(l)=〃l)=0,

故當0<%<1時,g(x)=?(x)v0,得/(x)<0,

當x>l時，g(x)=xf'(x)>0,得/'(x)>0,

又/'(力為定義在(YO,0)U(0,y)上的奇函數，

故由可解得一1vxvO或x>l,

故選：B

典例3-2.已知函數/("是定義域為R的奇函數，/'(K)是/(x)的導函數，/(1)=0,當x<0時,

.4'(x)+3〃x)>0,則不等式/(力<。的解集為()

A.(701)5。/)B.(-1,O)U(O,1)

C.(-oo,-l)U(l,-Ko)D.(-1,0)<J(1,-HX)

【答案】D

【詳解】令g(x)=x?(x),則，(力=3//3+丁廣(力=/[3/3+/(力],

由題意知當“<0時，g'(x)>0,故g(x)在(-oc,0)上單調遞增，

因為函數人力是定義域為R的奇函數，

所以/(T)=-〃X),

所以g(-X)=(T)'/(T)=^f(x)=g(x),

所以g(x)是定義域為R的偶函數，

所以g(x)在(0,+。)上單調遞減，

又因為/(】)=0,所以/(T)=_/(l)=0,

所以g(l)=g(-l)=0,

所以當xe(Yo,-l)時,=<0,則/(x)>0：

當1,0)時，S(A)=AV(A)>0,WIJ/(A)<0；

當xe(0,l)時，g(x)=V/(x)>0,則/(x)>0；

當xe(l,+o。)時,g(x)R(x)vO,則/(x)<。.

則不等式/(“<。的解集為(-1,0)51，”).

故選：D.

變式3-1.已知可導函數/(力的定義域為(-*0),其導函數/'")滿足MXr)+2/(x)>0,則不等式

(X+2024)L/(X+2024)-/(T)〈。的解集為()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,-2023)C.(-oo,-2024)D.(-x,-2023)

【答案】A

【詳解】令以#=0),則以外=*礦(工)+2/(切<0,

故g(x)在(YO,0)上單調遞減，

不等式(x+2024)2?/(1+2024)-〃-1)<0可變形為

(X+2024)Z./(X+2024)<(-1)2-/(-1),

即g(x+2024)<g(-l),

所以x+2024>T且x+2024<0,解得-2025<x<-2024.

故選：A

變式3-2.定義在R上的函數)=/"+2)的圖像關于直線刀=-2對稱，其導函數為/'(》)，當x>0時,

恒有2r(x)+/(r)v。，若坐〈華，則下列一定成立的是()

2ba'

A.a>bB.a<bC.\a\<\b\D.\a\>|/?|

【答案】D

【詳解】??,y=/(x+2)的圖象關于x=-2對稱，.?.〉=/a)為圖象關于x=0對稱，/(幻是偶函數,

.??不等式］r(x)+/(-x)<0U>0)可化為x2ff(x)+2xf(x)<0(x>0),

令g(x)=x2f(x),g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x)，：.以乃是偶函數，

g'M-2xf(x)+x2f\x),

則g(x)在(0,y)上單調遞減，從而在(TO,0)上單調遞增，

22

:.喀<粵得af(a)<bf(b),即g(〃)<g(b)t

b~6r

???14>14.

故選：D.

題型四：構造Y

典例4-1.已知定義在R上的奇函數“力滿足〃-3)=0,當%>0時,xf\x)-f(x)<Of則〃x)>0

的解集為()

A.3)U(3,+8)B.(-20,-3)<J(0,3)C.(―3,O)|J(O,3)

D.(-3,0)5")

【答案】B

【詳解】設g(X)=KD，(X>0)，則其導數g'(x)=)’*)："*)，

XX

而當x〉()時才(力-/(力<0,所以g'(x)<0,即g(x)在(0,y)上為減函數，

又由〃-3)=0,為定義在R上的奇函數，則〃3)=-"-3)=0,

則g(3)=牛=0，

所以g(x)=Y區(qū)間(0,3)上，g(x)>。，在區(qū)間(3,+8)上，g(x)<0,

則在區(qū)間(0,3)上，/(x)>0.在區(qū)間(3,+8)上，/(x)<0.

又由./(X)是定義在R上的奇函數，則/(。)=0,

且在區(qū)間(-8,-3)上，/(x)>0,在區(qū)間(一3,0)上，/(x)<0,

綜合可得：不等式/(X)>0的解集為(t,-3)5。,3).

故選：B.

典例42已知函數的定義域為(一雙0),=其導函數/'(X)滿足才(耳―2/(力>0,

則不等式/(x-2025)+(x-2025f〈。的解集為()

A.(2024,+a))B.(2024,2025)

C.(0,2024)D.(32025)

【答案】B

【詳解】令8(耳=寫"<0),則g，(力二礦"2/(“)<0,

/(x-2025)

所以g(x)=坐2在(-8,0)上單調遞減，則原不等式等價于；'丫<T，

因為/(T)=T，所以g(T)=T,

/\/(x-2025),、

所以gCx-ZOZS)：";———r<-l=^(-l),所以0>,丫-2025>-1,解得2024Vx<2025,

(x-2025)

所以不等式/(X-2025)+(X-20251<。的解集為xG(2024,2025).

故選：B

變式4-式已知函數f(x)的定義域為(0,+8),/(1)=-1,其導函數r("滿足‘礦’(x)-2/(x)〉0,則

不等式〃x+2026)+a+2026『<0的解集為()

A.(-2027,-2026)B.(-2026,-2025)

C.(-2026,+8)D.(-2025,+oo)

【答案】B

［詳解】根據題意可令g(x)=>0)=g'(x)=>o,

f(\/'(x+2026)

所以g(3*x在(。叱)上單調遞增，則原不等式等價于

/、/(X+2026)/、

由g(x+2026)=:，<-l=j?(l)=>O<x+2026<1.解之得xG(-2026,-2025).

(x+2026)

故選:B.

變式42已知定義在(0,+8)上的函數f(x),/'(X)是/⑴的導函數，滿足4(x)-2/(x)v0,且

"3)=9,則不等式/(3')-9'<0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(fl)D.(1,-Ko)

【答案】D

=2，則g'(x)=~=^3>'

【詳解】令g(x)

XA

則當x>0時，g'(x)<o,即g(x)在(0,+8)上單調遞減,

由/(3)=9,貝Ijg(3)=攀=1,又/(3、)=94(3,)，

即不等式/(3')-9、<。等價于9&(3，)一9'<0,

即g(3')<l=g(3),即有1jo,解得轉).

故選：D.

題型五：構造/(x)d

典例5?1.定義在R上的函數/(",且/⑴=3,對TxeR,2/("+/'(x)<0,則不等式寫<白

的解集是()

A.(-oo,l)B.(1,-KO)C.(c,+co)D.(f,e)

【答案】B

【詳解】VxeR，2/(x)+r(x)<0,

構造尸(力"(力/一,

所以尸'(x)=/'(耳?e2A-2+f(x)-2e2x-2=e2x-2[尸(x)+2/(x)]<0,

所以F。)在R上單調遞減，且尸(l)=/(l)-e”i=3,

不等式以可化為/(力看1<3,即F(x)<"),所以4>1,

所以原不等式的解集為(1,一).

故選：B.

典例52已知函數/(力及其導函數r(x)的定義域均為R,/(o)=。且〃x)+r(x)>0,則不等式

/(/+4工一5)>0的解集為()

A.(-CO,-5)U(L-H?)B.(F,T)U(5,M)

C.(-5,1)D.(-1>5)

【答案】A

【詳解】設g(.r)=e"(x),則g'(x)=e”(>)+故g(x)單調遞增.

又g(O)=e°/(O)=(),故/(命+4工-5)>0可轉化為/加-5/(/2+4工一5)：>0,即

g，+4x-5)>g(。)，

由g")單調遞增可得V+4］一5>0,解得x<-5或%>1,

2

即不等式f(x+4x—5)>。的解集為(YO,-5)Ud,”).

故選：A.

變式5-1.已知定義在R上的函數〃力的導函數為尸(工)，且3/(x)+r(x)<0J(ln2)=l,則不等式

/(x)e3、>8的解集為()

A.(-oo,2)B.(-oo,ln2)C.(ln2,+oo)D.

【答案】B

【詳解】令g(x)=/Cr)e3*,xwR,

v3/(.r)+r(A)<0,

.?.g(x)=r(x)e3*+3/(x)e￡=e3、(3/(M+r(x))<0,

..8(力=/(0/"在區(qū)上單調遞減,

又〃ln2)=l,

3,n2

/.5(ln2)=/(ln2)e=8,

???不等式”句小>8可化為g(x)>g(ln2),

.".x<In2，

故選：B.

變式5-2.設函數/(幻的定義域為R,7'a)是其導函數，若3/(人)+/'。)>(),/(0)=1,則不等式

的解集是()

A.(0,+8)B.(1,-KO)C.(-oo,0)D.(0,1)

【答案】A

【解析】構造函數g(x)=e"/(x)，求出身(x)，利用條件知g'a)>0,所以g。)單調遞增,將

/。)>廠"轉化為由人)>冢0),利用函數單調性即可得到答案.

【詳解】令g(x)=*/*),則g'(x)=3e3"*)+/廣@),

因為3/(幻+/'*)>0,所以31"(.丫)+丁/")>0,所以反為>0,

所以函數月。)=""(幻在R二單調遞增，

而f(x)>e-yx可化為旨/“)>1,又g(o)=e3x0/(0)=1

即g(x)>g(O),解得x>0,

所以不等式/(X)>ef的解集是(0,+00).

故選：A

【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，并利用函數的單調性解不等式，注意構造函數的

應用，考查學生的分析轉化能力，屬于中檔題.

題型六：構造不口

e

典例6L已知尸(外是定義域為R的函數/(幻的導函數,滿足+且.y=/。)-2023為

奇函數，則不等式/(x)-2。2婚<2的解集為().

T)

A.S,0)B.(0,+oo)C.

【答案】B

【詳解】令心)=竽’則g‘a))⑴一會記

因為J"。)—，。)+2<0,所以g'(x)<0,g(x)在R上單調遞減.

欲解/")—202盾<2，即解"""<2021,又因為)，=/(幻一2023為奇函數，可得/(0)=2023,而

e

g(())=/i^=2021,

e

所以解,,一<2021,即解g(x)<g(0).因為g(x)單調遞減，所以可得x>0,

e

故選:B.

典例62已知r(”)是定義域為R的函數/(x)的導函數，滿足，'例-〃力>0,且/⑴=2e,則不等式

/(1)一2e、>0的解集為().

1

C.(1,+8)D.一，+8

【答案】C

【詳解】令8*)=/學，則g'(幻二)(?：〃?'?).因為八月―/(外>0,所以燈外>0,以工)在R上單

ee

調遞增，

而g6=&=2,又/。)一2d>0,即華>2,從而g(《)>g⑴，根據g(x)的單調性可得x>l,

ee

故選：C.

變式6-1.已知定義在R上的函數y=/(x),其導函數為八力，滿足

c2V'(-x)+f(x)=e2V(-x)+/(x),/(1)=0,當x>0時，:(“一/(行<0,則不等式/(司>0的解集

為()

A.(-a>,-l)B.(-1,1)C.(l,+oo)D.(-oo,-l)u(l,+oc)

【答案】B

【詳解】令由幻=華，^g(x)=f(X)~fW,

ec

當x>0時，r(x)-/(x)<0,

所以當x>0時，g'(x)=1(x)_/*)<0,

ex

即函數g(X)=竽在(0,+8)上單調遞減，

又g(r)==e"(T),則/(一力=一:(2止刈=e"S)_e『(r),

ee

，(x)=/")："")=尸尸(心-0/(外)

e

由e27r(-x)+/(x)=e2v/(-x)+/(工),

得e/(—)+e-T(x)=ey(-x)+e-V(x),

即e-了(x)Y-"(X)=e"(r)-e""(r),

則g'(r)=-g'a),即g'(x)是奇函數,所以以刈是偶函數,

則當XV0時，函數儀外=”2在(-8,0)上單調遞增，

e

因為/(l)=o,所以g(l)=，=O，g(—l)=g(l)=O,

又e、>0,所以/(x)>0即g(x)>0,則-1VXV1,

所以不等式〃”>0的解集為

故選:B.

變式6-2.設函數y=/(x),xeR的導函數為/'*),且/(t)=/(H/(x)</*),則下列不等式成立

的是()

2

A./(0)<e-'/(l)<e7(2)B.e/(2)</(O)<e-7(0

C.e2/(2)<e-'/(l)</(0)D.e-'f(l)</(0)<e2/(2)

【答案】D

【詳解】根據題意,構造函數g(x)=ef〃x),

可得g'(x)=(eT)?/“)+//3=-?-"(》)+?7/"(力=「(/'(4)-/(外)，

因為fW<f(x),所以g'(X)=eT(/'(x)-/3))<0,

所以函數g(x)為R上的單調遞減函數，所以g(-2)>g(0)>g(l),

又因為g(0)=e°-〃0)=〃()),g(—2)=e2.〃—2),^l)=eT?〃l),

因為J'(T)=fW,可得^(-2)=e2-/(-2)=e2-/(2),

所以屋-〃1)</(。)<仁/(2).

故選：D.

題型七：構造/(工)與優(yōu)

典例7-1.已知定義在R上的函數/("的導函數為r(x)，且/("+/(-"=0.對于任意的實數盯均

有f(x)〈蟲成立，若/(一3)=—16,則不等式的解集為()

ln2

A.(-oo,-3)B.(-oo,3)C.(-3,-KO)D.(3,+OO)

【答案】D

【詳解】/(x)<^H?/tv)-/(x)ln2>0,令g(x)=半I,

，/、f(x)-2x-2x/Mln2r(x)-f(x)ln2

則g(力=7-2=y>0,則在(F,*O)上單調遞增.

由/(一3)=-16,/(x)為奇函數，得"3)=16,則g(3)=g=2,

從而原不等式f(x)>2"可化為坐>2,即坐>/單，此即為8(司>?(3).

222

由于x(x)在(Y，”)上單調遞增，故這等價于x>3,所以不等式的解集為(3,位).

故選：D.

【點睛】關鍵點點暗；本題的關鍵點在「構造新的函數并利用己知條件.

典例7-2.設定義在R上的函數/(“的導函數為廣(力，且滿足彳號>/(x)，/(1)=4,則不等式

“X)22川的解集為()

A.[1,2]B.[1,-KX))C.(…』D.(0,1]

【答案】B

【詳解】由《工D>/(x)得：r(x)—ln2〃x)>0：

ln2

令產("=*1,則尸("=尸(”4切也〉。,.?1(”在R上單調遞增，

不等式/(“N2冏可化為$N1,又飛1)=斐=1,

/.F(x)>F(l),解得:x>l,即不等式/(x)22川的解集為［1,+8).

故選：B.

變式7-1.已知函數〃力是R上的奇函數，對任意的xeR均有成立.若〃T)=T,則

In3

不等式/(x)<3i的解集為()

A.{x\x>1}B.{x\x<l}C.x>-l}D.{Xxv-1}

【答案】B

【詳解】由得ra)—/“)ln3>0,

設履外=§，則，(力=絲與口迦>().

JJ

，g(x)在R上單調遞增.

又“T)=—lJ(x)為奇函數，

???/(-1)=-/(1)=-1.二八1)=1*。)=*=；?

/(x)<3~o<l<：og(.r)<g(l)o工<1.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的應用，考查利用導數判斷函數的單調性，考查利用單調性解不

等式，解題的關鍵是根據己知條件合理構造函數，然后利用導數判斷其單調性，再利用函數的單調性解不

等式，考查數學轉化思想，屬于較難題.

變式7-2.已知定義在??上的函數/(處的導函數為/'(幻、/"+1)的圖象關于點(-1,0)對稱，且對于

任意的實數孫均有學成立，若/(-2)=2,則不等式的解集為()

In2

A.(-2,-KO)B.(2,+x)C.(-co,-2)D.(一8⑵

【答案】D

【詳解】???/(x+1)的圖象關于點(TO)對稱，

fM為奇函數，則有/(x)>普。fXx)-f(x)In2<0,令g(x)=第,

111乙乙

，/、r(x)?2'-2、?f(x)In2fXx)-f(x)In2八

則且⑴=-------所-------="-----y------<°，則以幻在(-00,+8)上單調遞減，由/(-2)=2,得

/⑵=-2，所以g(2)=;)=――.

I乙

所以/(x)>—2'To牛>一；=*(">8(2),所以匯<2.

故選:。.

【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性以及抽象不等式的解法,其中利用已知合理構造函數，正

確利用函數單調性和導數的關系是解決本題的關鍵，難度較難.

題型A：構造〃力與In工

典例8-1.己知函數八司是定義在R上的奇函數，/(力的圖象連續(xù)，且/(1)=0,記/⑴的導函數

為f'(x)，若Mnx.r(x)+/(x)vO在(O,+e)上恒成立，則使(F—X—6)/(r)>0成立的x的取值范圍是

()

A.(-2-l)U(-hO)U(O,l)U(h3)B.(-oo,-2)u(3,4oo)

C.(-2,-l)U(-l,0)U(3,+oo)D.(9,-2)U(0,l)U(l，3)

【答案】D

【詳解】設g(x)=hw〃x)(x>0),

則g，(x)=h"r(x)+'/(x)=Mnkr(x)+/(x),

XX

由題意g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(0,+e)上單調遞減,又g(l)=lnl〃l)=0,

故當Ovx<l時，g(x)>0,InxvO,故/(x)<0,

當x>l時，g(x)<0,lnx>0,故/(x)<0,

又函數/("是定義在R上的奇函數，

故當］=0或±1時，/(r)=0,

當0<x<l或x>l時，/(X)<O,

當工<一1或一1vxv()時，/(.r)>0,

由f_工_6>0得x<—2或x>3,由V-x-6v()的一2<x<3,

故由(x2-x-6).f(x)>0得x<-2或0cx<1或1vxv3,

故選：D

典例82已知函數/("的導函數為r(x),當x>0時，/'(x)?Rnx+/(x)>0,則下列結論一定正

確的是()

A./(1)=0B./(2)<0

C./(x)在(0,1)上單調遞減D.當x>0時，/(x)>0

【答案】D

【詳解】在/'(x)jlnx+/(">0中令x=l得/⑴>0,故A錯；

令g(x)=/(x)lnx,則/a)=r(x)lnx+&=ra)8nx+/(x),

X

因為當x>0時，/'(x>xlnx+f(x)>0,

所以g[x)>0,g(x)在(0,物)上單調遞增,

因為g(l)=0,所以當x?0,l)時,g(x)<0,x€(l,+oo)時,g(x)>0,

因為在xe(01)時，lnx<0,xe(l,+cc)時，lnx>0,

所以x>0時，/(x)>0,故D正確；

2/(2)ln2+/(2)>0,則/(2)>嗎^,嗎?<。，故尸⑵的正負不確定，故B錯；

當x?0,l)時,尸(力<二乂乜3>0,故“同在(0,1)的單調性不確定,故C錯.

-vlnAxlnx

故選：D.

【點睛】方法點睛：構造函數的常見類型：

①乘積形式:例如g(x)=MV),g(x)=e"(x)；

②商的形式：例如&")=斗0，g(x)=竽.

變式8-1.已知函數/(幻的定義域為(-1,內)，導函數為/lx),不等式幺2+ln(x+lA/(x)N

x+\

ln(x+1)?/3)恒成立，且/(4)=二，則不等式ln(x+3)?f(x+2)2ez的解集為()

In5

A.[2,+oo)B.(-1,2]C.[0,+c?)D.(0,2]

【答案】A

【詳解】設g(x)=ln(x+l)?/[x),x>-l,不等式△2+ln[x+l)?/'*)Zln(x+l)J(x)恒成立，可知

x+\

g'a)Ng(x),

設h(x)=e~x?g(x),x>-\,則人(x)=e~v-ln(x+1)-f(x),x>-\,

且，3+ln(x+l)-/*(x)-ln(x+l)/(x)>0,

產是力(x)在(T收)上單調遞增，注意到4(4)=廠?h)5?f(4)=1,

不等式ln(x+3)/*+2)Ne'+2,等價于等(川).]n(x+3)f(x+2)21,

即，(x+2)之〃(4),得x+224,解出xN2.

故選：A.

【點睛】方法點睛：證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性講行解題，是?一種常用技巧.

許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

變式82已知/("是定義在R上的奇函數，/'")是/⑴的導函數，當x>0時，

/'(x)ln(2x)+犯>0,且/()，則不等式(工一2)/(力<0的解集是()

XI4

A.(-oo,0)50,2)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(-oo,0)J(2,+8)

【答案】B

【詳解】令g(x)=〃x)ln(2x),

則g'(x)=/'(x)ln(2x)+組>0,

Xt

所以函數g(x)在(0,*)上遞增，

又因g(￡|=o.

所以當xjo.j)時,g(x)<0.

當xe；,+8)時

g(x)>0.

又因當xe0,g時，ln(2x)<0,當工e,+勺時，ln(2x)>0,

所以當工€(0.1時，/(%)>(),當xe(；,+oo)時，/(x)>D,

乂因為工0,所以當x>0時，/(力>0,

因為/(X)是定義在R上的奇函數，

所以/(0)=0，當xvO時，/(x)<0,

由不等式(x-2)/(x)<0,

,x—2>0x—2<0

得仇力<0或伍力〉0，

解得0vxv2,

所以不等式(x-2)/(x)<0的解集是(0,2).

故選:B.

題型九：構造/")與三角函數

典例9-1.已知r(x)是定義域為口?的函數“X)的導函數，且r(x)siw+/(x)cosx>0,則不等式

8sx的解集為()

I2J2<6；

A.卜K)B.C.(一/。)D..0)

【答案】D

【詳解】設g(x)=f(x)sinx,^(x)=f(x)siiu-+/(A)COSA>0,

所以函數g(M單調遞增，

花n

x+->—

即gx+得，，所以<x<0,

7t7t3

0A<x+—<—

22

所以不等式的解集為-g，o

\1

故選：