第27課時相似圖形

內容標準：

（1）了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解分割。

（2）通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。

（3）掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相

等的兩個三角形相似：三邊成比例的兩個三角形相似。*了解相似三角形判定定理的證明。

（5）了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應戌段的比等于相似比：面積比等于相似

比的平方。

（6）了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。

（7）會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。

（8）在直角坐標系中，拱索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點、有一條

邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的。

數學思想、方法

在研究相似圖形性質、判定的過程中，進一步發(fā)展空間觀念；經歷借助圖形思考問題的

過程，初步建立幾何直觀。體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明的過程,

在多種形式的數學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。

十大核心概念在本節(jié)課中突出培養(yǎng)的是幾何直觀、空間觀念、符號意識、推理能力、模型思

想、應用意識。

一、基礎知識梳理（課前完成）

1.比例線段

對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長

度的比相等，即，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線

段.

2.比例的性質

3.分割

4.相似多邊形

⑴定義：各角對應、各邊對應的兩個多邊形叫做相似多邊

形（定義也是判別）.相似多邊形叫做相似比.

⑵性質：①對應角,對應邊；

②周長比等于；面積比等于.

5.相似三角形

⑴性質：①對應角,對應邊；

②相似三角形的比、對應角平分線的比和的比

都等于的比；周長比等于；面積比等于.

⑵判別：①兩角對應_________的兩個三角形相似；

②兩邊對應且夾角的兩個三角形相似；

③三邊對應_________的兩個三角形相似.

注意：⑴全等是蔣殊由相彳以，即相似比為1：1

（2）相似三角形分類：

①A型斜A型

(DE〃BC)(DE不平行于BC)

②X型斜X型

（AB〃CD）（AB不平行于CD）

（3）當條件中出現(xiàn)“某三角形與某三角形相似”往往要進行分類討論；當出現(xiàn)

“某三角形?某三角形”時是唯一確定的.

6.位似圖形

⑴定義：如果兩個圖形不僅是,而且每組對應點所在的直線都經過

那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.這個點叫做_________，這時

的相砧訕又稱為.

⑵性質：①位似圖形上任意一對對應點到的距離之比等于

②對應線段的比等于；

③周長比等于；面積比等于.

注意：⑴相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；

⑵位似圖形的放大或縮小要考慮兩種情況：同方向和反方向各做一個.

7.相似三角形的應用

相似三角形的知識在實際生產和生活中有著廣泛的應用，這一應用建立在數

學建模和數形結合的思想的基礎上，把實際問題轉化為問題，通過求

解數學問題達到解決問題的目的.

注意：⑴分割的應用：如舞臺主持人的位置、媽媽穿高跟鞋的高度等問題；

⑵利用相似測量物體的高度：如旗桿的高度、物體的影長等問題.

二、基礎診斷題

1.（2014?牡丹江）若x：v=l：3,2y=3z,則空空的值是（）

z-y

A.-5B.__10C._10D.5

~3

2.（2014年山東省濱州市）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分

面積相等，則旦=.

AB—

3.（2013?宜昌）如圖，點A,B,C,D的坐標分別是（1,7）,（1,1）,（4,1）,(6,1),

以C,D,E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（）

A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)z)

4.如圖，NDAB二NCAE,請補充一個條件:

使△ABCs/iADE.

5.（2014?天津）如圖，在uABCD中,點E是邊AD的中點，EC交對角線BD

于點E則EF：FC等于（）

A.3：2B.3：1C.1：1D.1：2

B

【精典例題】

例1.（2014?貴陽）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點均在格點上，要使

△ABC-△EPD,則點P所在的格點為（）

B.P2C.P3D.P4

本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似.

例2.（2014?隨州）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O,

則SADOE：SACOB=（）

A.1：4B.2：3C.1：3D.

考點：相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理.

D

例3（2014?荷澤）如圖，RlZXABO中，NA0B=90°,點A在第一象限、點B

且AO：B0=l：V2，若點A（xo,yD）的坐標xo,y?滿足y0=—,則點B（x,y）的坐標x,

x0

y所滿足的關系式為y=___________

A.BC=2DEB.AADE^AABC

5.（2014沈陽）如圖,在△ABC中，點D在邊AB上,BD=2AD,

DE〃BC交AC于點E,若線段DE二5,則線段BC的長為（）

A.7.5B.10C.15D.20

二、填空題

1.（2014?本溪）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相

交于點F,AB=9,BD=3,則CF等于。

2.如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,對角線AC、BD相交于點O,若AD=1,BC=3,△

AOD的面積為3,WilABOC的面積為.

3.（2013安順）在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2,

則BF：BE=

4.在邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的

頂點上，AB、CD相交于點P,則tan/APD的值是

5.（2012湖北隨州）如圖，點D,E分別在AB、AC上，旦

ZABC=ZAEDo若DE=4;AE=5,BC=8,則AB的長為

三、解答題

1.（2014?南寧）如圖10,AB"FC,〃是44上一點，DF交AC千點、E,DE=FE,分別

延長人〃和6交于點G.

（1）求證：XADEmXCFE、

（2）若G廬2,灰＞4,B21,求月臺的長.

2.（2013?徐州）如圖，在RSABC中，ZC=90%翻折NC,使點C落在斜邊AB上某一

點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）

⑴若△這尸與^ABC相似.

①當AC=BC=2時，AD的長為；

②當AC=3,BC=4時，AD的長為；

（2）當點D是AB的中點時，aCEF與△ABC相似嗎？請說明理由.

3、（2014?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點0.M為AD中點,，連

接CM交BD于點N,且0N=l.

（1）求BD的長：

（2）若ADCN的面積為2,求四邊形ABCM的面積.

4.（2014年山東省濱州市）如圖,矩形ABCD中，AB=20>BC=I0,點P為AB邊上一動點,

OP交AC于點Q.

（I）求證：△APQs△CDQ；

（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒.

①當t為何值時，DP_LAC?

②設S^APQ+SADCQ=y,寫出y與t之間的函數解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒

D

PB

上

B組一提升訓練

一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.）

1.（2014?萊蕪，第10題3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且

DEIIAC,若SABDE：SACDE=I:4,則SaBDE：SAACD=（）

A.1：16B.1：18C.1：20D.1：24

2.（2014年江蘇南京，第6題，2分）如圖，在矩形4。8c中，點A的坐標是（-2,1）,

點C的縱坐標是4,

A.（,3）、（-,4）B.（,3）、（-,4）

C.（,）、（-,4）I）.（,）、（-1，4）

~2

3.下列4X4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1,三角形的頂點都在格點

上，則與4ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）

4.在菱形力筋中，碌比邊上的點，

連接4/放于點F,若Q2必則"的值是（

FD

5.（2014?湖北黃岡，第8題3分）已知：在△ANC中，BC=\0,8c邊上的高〃=5,點E在

邊AB上,過點七作?,交AC邊于點F.點。為BC上一點，連接所八尸鉛占"

到8c的距離為1,則△￡）￡：戶的面積S關于x的函數圖象大致為（

O55555

-X-X

一

72一22

二、填空題

I.（2014?泰州，第15題,3分）如圖，&B、C、D依次為一直線上4個點，BC=2,〉BCE

為等邊三角形，過4、。、￡3點，且NAOD=I20。.設人CD=y,則y與x的函數

關系式為八（x>0）.

2.如圖，LJABCD中,￡是切的延長線上一點，旗與力〃交于點凡自若△

戚的面積為&則5四中的面積為.（用a的代數式表示）

3.（2014?遵義17.（4分））“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里

有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術》，意思是說：如圖，矩形ABCD,

東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB,AD的中點,

EG±AB,FE±AD,EG=15里，HG經過A點，則FH=1.05一里.

4.（2014年湖北咸寧16.（3分））如圖，在△ABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點

（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,DE交AC于點E,且cosa=.下列結論：

@AADE-△ACD；

②當BD=6時，z\ABD與^DCE全等；

③△DCE為直角三角形時，BD為8或&；

2

@0<CE<6.4.

其中正確的結論是一①②③④.（把你認為正確結論的序號都填上）

5（2013?黔東南州）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則池的值是

EC

三、解答題

I、（（2014年山東泰安，第28題）如圖，在四邊形A8CO中，AB=AD,AC與8。交于點E,

ZADB=ZACB.

（I）求證:AB-AC.

ATAD,

（2）若AB_LAC,AE-.EC=l：2,廠是中點，求證：四邊形48尸。是菱形.

2、（2014?四川自貢，第23題12分）閱讀理解：

如圖①，在四邊形ABCO的邊/W上任取一點三（點E不與人、B重合），分別連接ED、EC,

可以把四邊形A8CO分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把石叫做四邊

形ABCD的邊A8上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形力BC。

的邊AB上的“強相似點”.解決問題：

（1）如圖①，/A=/B=NDEC=45。,試判斷點石是否是四邊形/WCD的邊A3上的相以點,

并說明理由；

（2）如圖②，在矩形48C。中，A、B、C、D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形

的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形4BC。的邊48上

的強相似點；

（3）如圖③，將矩形A8C。沿CM折疊，使點。落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四

邊形ABCM的邊A8上的一個強相似點，試探究AB與BC的數量關系.

3、（2014?包頭）如圖，已知NMON=90。，A是NMON內部的一點，過點A作AB_LON,

垂足為點B,AB=3厘米，OB=4厘米，動點E,F同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的

速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C,連接

AE,當點E到達點B時，點F隨之停止運動.設運動時間為t秒（t>0）.

（1）當t二l秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；

（2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EFJLOA.為什么？

（3）連接AF,在運動過程中，是否存在某一時刻3使得S.AE尸S四邊形ABOF?若存在，請

求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

課后反饋

L（本小題滿分9分）已知：是任意三角形.

⑴如圖1所示，點以P、N分別是邊力反BC、。的中點.求證：N股券=/力.

2.(2011)28.(9分)如圖，點C為線段四上任意一點(不與點48重合)，分別

以47、8c為一腰在彳8的同側作等腰△4?Z?和CA=CD,CB=CE、N

彳切與N8維都是銳角，旦.匕ACD=4BCE、連接/交于點K連接初交

CE于息N,AE與BD交于點、P,連接C2

(1)求證：△4G&ZX0G8；

(2)請你判斷△4C漱與△力物的形狀有何關系并說明理由；

(3)求證：/APg/BPC.I)