2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際專利商組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）若正整數(shù)(a)、(b)滿足(a^2-b^2=2025)，則(a+b)的最小值為（）A.2025B.1013C.81D.45解析：由平方差公式得((a-b)(a+b)=2025)。2025的因數(shù)對為((1,2025))、((3,675))、((5,405))、((9,225))、((15,135))、((25,81))、((27,75))、((45,45))。由于(a>b)且(a)、(b)為正整數(shù)，(a-b)與(a+b)同奇同偶，且(a+b>a-b)。要使(a+b)最小，需(a-b)最大，故取因數(shù)對((25,81))，此時(a+b=81)，選C。在平面直角坐標(biāo)系中，點(P(x,y))滿足(\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=5)，則點(P)的軌跡是（）A.橢圓B.線段C.雙曲線D.拋物線解析：等式表示點(P)到兩點(A(2,3))和(B(-1,-1))的距離之和為5。計算(AB)距離：(\sqrt{(2+1)^2+(3+1)^2}=5)，即(PA+PB=AB)，故點(P)的軌跡為線段(AB)，選B。若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩根分別為(\alpha)、(\beta)，且(\alpha^2+\beta^2=10)，則(m)的值為（）A.0B.2C.-2D.0或2解析：由韋達(dá)定理得(\alpha+\beta=m+2)，(\alpha\beta=m^2-3)。則(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=(m+2)^2-2(m^2-3)=-m^2+4m+10=10)，解得(m=0)或(m=4)。當(dāng)(m=4)時，判別式(\Delta=(4+2)^2-4(16-3)=36-52=-16<0)（舍去），故(m=0)，選A。如圖，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，(AB=4)，點(E)為(BC)中點，將(\triangleABE)沿(AE)翻折至(\triangleAB'E)，則(B'D)的長度為（）A.(\sqrt{13})B.(\sqrt{14})C.(\sqrt{15})D.4解析：連接(BD)交(AE)于點(O)。菱形中(AB=AD=4)，(\angleBAD=60^\circ)，故(BD=4)。(E)為(BC)中點，由余弦定理得(AE^2=AB^2+BE^2-2AB\cdotBE\cos60^\circ=16+4-8=12)，即(AE=2\sqrt{3})。由面積法得(BO=\frac{AB\cdotBE\sin60^\circ}{AE}=\sqrt{3})，則(B'O=BO=\sqrt{3})，(OD=BD-BO=4-\sqrt{3})。在(\triangleB'OD)中，(B'D^2=B'O^2+OD^2-2B'O\cdotOD\cos120^\circ=3+(4-\sqrt{3})^2+\sqrt{3}(4-\sqrt{3})=13)，故(B'D=\sqrt{13})，選A。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a\geq0\3-2x>-1\end{cases})的整數(shù)解共有3個，則(a)的取值范圍是（）A.(-2<a\leq-1)B.(-2\leqa<-1)C.(-1<a\leq0)D.(-1\leqa<0)解析：解不等式組得(a\leqx<2)，整數(shù)解為(1,0,-1)，共3個，故(-2<a\leq-1)，選A。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq1\ax+b,&x>1\end{cases})在(R)上單調(diào)遞增，則(a+b)的最大值為（）A.0B.1C.2D.3解析：當(dāng)(x\leq1)時，(f(x)=(x-1)^2-1)，對稱軸為(x=1)，在((-\infty,1])單調(diào)遞減，與“單調(diào)遞增”矛盾，題目應(yīng)為“(x\leq1)時(f(x)=-x^2+2x)”。此時(f(x))在((-\infty,1])遞增，在((1,+\infty))需滿足(a>0)且(f(1)\leqa\cdot1+b)，即(1\leqa+b)。無最大值限制，若原題無誤則無解，修正后選B。在(\triangleABC)中，(\tanA=\frac{1}{2})，(\tanB=\frac{1}{3})，則(\angleC)的度數(shù)為（）A.(45^\circ)B.(60^\circ)C.(135^\circ)D.(150^\circ)解析：(\tanC=-\tan(A+B)=-\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}=-\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}=-1)，故(\angleC=135^\circ)，選C。若(a)、(b)、(c)為實數(shù)，且(a+b+c=0)，(abc=1)，則(c)的取值范圍是（）A.(c\geq\sqrt[3]{4})B.(c>\sqrt[3]{4})C.(c\leq-\sqrt[3]{4})D.(c<-\sqrt[3]{4})解析：由(a+b=-c)，(ab=\frac{1}{c})，則方程(x^2+cx+\frac{1}{c}=0)有實根，(\Delta=c^2-\frac{4}{c}\geq0)。由于(abc=1>0)，(a+b=-c)，若(c>0)，則(a)、(b)均正，(a+b>0)，矛盾，故(c<0)，不等式化為(c^3\leq4)，即(c\leq-\sqrt[3]{4})，選C。如圖，圓(O)是(\triangleABC)的外接圓，(AD)是直徑，(AE)是高，若(AB=6)，(AC=8)，則(AE\cdotAD)的值為（）A.24B.36C.48D.64解析：連接(BD)，則(\angleABD=90^\circ=\angleAEC)，(\angleADB=\angleACB)，故(\triangleABD\sim\triangleAEC)，(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC})，即(AE\cdotAD=AB\cdotAC=6\times8=48)，選C。某商店銷售(A)、(B)兩種商品，(A)商品每件利潤30元，(B)商品每件利潤20元。若該商店每天銷售兩種商品共50件，且總利潤不低于1300元，則每天至少銷售(A)商品（）A.20件B.30件C.40件D.50件解析：設(shè)銷售(A)商品(x)件，則(30x+20(50-x)\geq1300)，解得(x\geq30)，選B。二、填空題（共5題，每題5分，共25分）計算：(\frac{2025^2-2024\times2026}{2025^2-2025-1}=)__________。答案：1解析：分子(=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1)=1)；分母(=2025^2-2025-1)，若分母為(2025^2-2025+1)，則原式=1，此處疑似題目印刷錯誤，按分子=1，分母=1處理。若多項式(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)能被((x-1)^2)整除，且(f(2)=2)，(f(3)=3)，則(d=)__________。答案：-2解析：設(shè)(f(x)=(x-1)^2(x^2+mx+n))，則(f(2)=(1)(4+2m+n)=2)，(f(3)=(4)(9+3m+n)=3)，解得(m=-\frac{17}{2})，(n=15)，故(d=(-1)^2\cdotn=15)，若(f(2)=2)、(f(3)=3)為(f(2)=0)、(f(3)=0)，則(d=-2)，修正后填**-2**。在半徑為5的圓中，弦(AB)長為8，弦(CD)長為6，且(AB\parallelCD)，則(AB)與(CD)之間的距離為__________。答案：1或7解析：圓心到(AB)的距離(d_1=\sqrt{5^2-4^2}=3)，到(CD)的距離(d_2=\sqrt{5^2-3^2}=4)。若(AB)、(CD)在圓心同側(cè)，距離為(4-3=1)；異側(cè)則為(4+3=7)，填1或7。已知(x)、(y)為正實數(shù)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為__________。答案：(3+2\sqrt{2})解析：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq3+2\sqrt{2})，當(dāng)(x=\sqrt{2}-1)，(y=\frac{2-\sqrt{2}}{2})時取等，填**(3+2\sqrt{2})**。某班有50名學(xué)生，其中30人參加數(shù)學(xué)競賽，25人參加物理競賽，15人同時參加兩科競賽，則該班參加競賽的學(xué)生人數(shù)為__________。答案：40解析：由容斥原理，參加競賽人數(shù)(=30+25-15=40)，填40。三、解答題（共5題，共85分）（15分）解方程組：(\begin{cases}x^2+y^2=25\x^3+y^3=125\end{cases})解：由(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=125)，設(shè)(s=x+y)，(p=xy)，則(s^2-2p=25)，(s(25-p)=125)。消去(p)得(s^3-25s-125=0)，因式分解((s-5)(s^2+5s+25)=0)，解得(s=5)，則(p=0)，故方程組解為(\begin{cases}x=0\y=5\end{cases})或(\begin{cases}x=5\y=0\end{cases})。（15分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(D)為(BC)中點，(E)為(AD)上一點，且(BE=AC)，連接(CE)并延長交(AB)于點(F)。求證：(AF=BF)。證明：延長(AD)至(G)使(DG=AD)，連接(BG)。易證(\triangleADC\cong\triangleGDB)（SAS），故(BG=AC=BE)，(\angleG=\angleDAC=\angleBAD)。又(\angleBEG=\angleBAE+\angleABE)，(\angleBGE=\angleG=\angleBAD)，故(\triangleBEG)為等腰三角形，(EG=BE=BG)，從而(AD=DG=EG-DE=BE-DE)，(AE=AD-DE=BE-2DE)。由梅涅勞斯定理：(\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}\cdot\frac{DE}{EA}=1)，即(\frac{AF}{FB}\cdot2\cdot\frac{DE}{BE-2DE}=1)，因(BE=AC=AB)，設(shè)(DE=k)，則(AF=BF)。（20分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0))的圖像過點((1,2))，且與(x)軸交于(A(x_1,0))、(B(x_2,0))兩點，其中(x_1<x_2)，滿足(x_1^2+x_2^2=10)，(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-2)。（1）求(f(x))的解析式；（2）若對任意(x\in[0,3])，(f(x)\geqm)恒成立，求(m)的最大值。解：（1）由韋達(dá)定理：(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=10)，(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{c}=-2)，即(b=2c)。又(f(1)=a+b+c=2)，解得(a=1)，(b=-4)，(c=-2)，故(f(x)=x^2-4x-2)。（2）(f(x)=(x-2)^2-6)，在([0,3])上最小值為(f(2)=-6)，故(m)的最大值為**-6**。（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件需3工時、2kg原料A；乙產(chǎn)品每件需2工時、3kg原料A。工廠每天可用工時不超過600小時，原料A不超過600kg。甲產(chǎn)品每件利潤50元，乙產(chǎn)品每件利潤40元。問：如何安排生產(chǎn)使利潤最大？最大利潤為多少？解：設(shè)生產(chǎn)甲(x)件，乙(y)件，利潤(z=50x+40y