2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)建模能力測評試卷一、選擇題（共5小題，每小題4分，共20分）某社區(qū)計(jì)劃在一塊矩形空地上建設(shè)健身區(qū)域，空地長50米、寬30米，擬劃分出一個(gè)半徑為5米的圓形器械區(qū)和一個(gè)長方形跑道區(qū)（跑道寬2米）。若要求剩余區(qū)域面積不小于空地總面積的60%，則長方形跑道區(qū)的最小長度應(yīng)為（）A.20米B.25米C.30米D.35米某網(wǎng)店銷售一種成本為40元/件的T恤，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)為60元/件時(shí)，日均銷量為100件；售價(jià)每降低1元，日均銷量增加10件。為實(shí)現(xiàn)日均利潤最大化，售價(jià)應(yīng)定為（）A.55元B.58元C.62元D.65元某校為優(yōu)化課程表，統(tǒng)計(jì)了學(xué)生對“數(shù)學(xué)建?！薄叭斯ぶ悄堋薄吧囊?guī)劃”三門選修課的選課意向（每人限選一門），繪制了扇形統(tǒng)計(jì)圖。已知“數(shù)學(xué)建?！睂?yīng)扇形圓心角為120°，且比“人工智能”選課人數(shù)多20人，全校共800名學(xué)生，則“生涯規(guī)劃”選課人數(shù)為（）A.240人B.280人C.320人D.360人某水庫的水位在暴雨期間持續(xù)上漲，初始水位為10米，上漲速度v（米/小時(shí)）與時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系滿足v=0.5t+1（0≤t≤6）。若水庫警戒水位為25米，則開始降雨后幾小時(shí)需啟動(dòng)泄洪措施？（）A.4小時(shí)B.5小時(shí)C.6小時(shí)D.7小時(shí)某快遞公司使用無人機(jī)配送，無人機(jī)攜帶包裹時(shí)的飛行速度為40km/h，空載返回速度為60km/h。若某次配送往返總路程為12km，且要求單程飛行時(shí)間不超過20分鐘，則包裹最遠(yuǎn)可配送至距離出發(fā)點(diǎn)（）A.4kmB.5kmC.6kmD.8km二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）6.某農(nóng)場種植甲、乙兩種作物，甲作物每畝收益500元，乙作物每畝收益800元。若農(nóng)場有100畝地，且甲作物種植面積不少于乙作物的2倍，則總收益的最大值為________元。某手機(jī)品牌推出以舊換新活動(dòng)：舊機(jī)折價(jià)金額y（元）與使用時(shí)長x（月）的關(guān)系為y=-10x+1200（0≤x≤12）。若小明用使用了8個(gè)月的舊機(jī)換新，新機(jī)售價(jià)3000元，他實(shí)際支付了________元。某城市地鐵3號線全長30公里，共設(shè)20個(gè)站點(diǎn)，相鄰站點(diǎn)間的平均距離為________公里（精確到0.1）。某工廠生產(chǎn)一種零件，合格率為95%，每個(gè)合格零件盈利10元，不合格零件虧損5元。若某天生產(chǎn)了200個(gè)零件，則該天的最大可能利潤為________元。某中學(xué)舉辦校園歌手大賽，10名評委為選手打分（滿分10分），評分規(guī)則為：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后取平均分。若某選手得分（單位：分）為：8.5，9.2，8.8，9.0，9.5，8.6，9.3，8.9，9.1，8.7，則該選手最終得分為________分。三、解答題（共5小題，共60分）11.（12分）某商場計(jì)劃在“雙11”期間開展促銷活動(dòng)，方案如下：-方案A：全場商品打8折；-方案B：消費(fèi)滿300元減60元（不滿300元不減）。設(shè)某顧客購物金額為x元，分別寫出兩種方案下顧客實(shí)際支付金額yA、yB與x的函數(shù)關(guān)系，并計(jì)算當(dāng)x為何值時(shí)兩種方案支付金額相同？若顧客購物金額為500元，哪種方案更優(yōu)惠？（12分）某中學(xué)為改善教學(xué)條件，計(jì)劃購買A、B兩種型號的電腦。已知購買1臺A型電腦和2臺B型電腦需花費(fèi)1.1萬元；購買2臺A型電腦和3臺B型電腦需花費(fèi)1.8萬元。（1）求A、B兩種型號電腦的單價(jià)；（2）若學(xué)校計(jì)劃購買電腦總數(shù)不超過30臺，且A型電腦數(shù)量不少于B型電腦的一半，預(yù)算資金不超過10萬元，有多少種購買方案？（12分）某小區(qū)為提升綠化水平，計(jì)劃在一塊直角三角形空地（兩直角邊分別為6米、8米）上種植草坪和花卉。如圖所示，擬在三角形內(nèi)劃分一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉，矩形一邊在斜邊AB上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在直角邊AC、BC上。設(shè)矩形與AB邊平行的邊長為x米，面積為S平方米。（1）求斜邊AB的長度及AB邊上的高；（2）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出花卉區(qū)域的最大面積。（12分）某物流公司用貨車運(yùn)輸一批貨物，行駛路程s（公里）與耗油量Q（升）的關(guān)系如下表：|路程s（公里）|10|20|30|40|50||--------------|----|----|----|----|----||耗油量Q（升）|2.5|4.5|6.5|8.5|10.5|（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷Q與s是否為線性關(guān)系，并求出Q關(guān)于s的函數(shù)表達(dá)式；（2）若貨車油箱容量為50升，出發(fā)時(shí)油箱滿油，且運(yùn)輸途中不再加油，求貨車最遠(yuǎn)能行駛多少公里？（12分）某社區(qū)為老年人開設(shè)智能設(shè)備培訓(xùn)班，分為“基礎(chǔ)操作”和“進(jìn)階應(yīng)用”兩個(gè)階段。報(bào)名情況統(tǒng)計(jì)如下：報(bào)名“基礎(chǔ)操作”的有60人，其中男性占40%；報(bào)名“進(jìn)階應(yīng)用”的有40人，其中男性占60%；兩個(gè)階段都報(bào)名的學(xué)員中，女性有8人。（1）完成以下2×2列聯(lián)表：||只報(bào)基礎(chǔ)|只報(bào)進(jìn)階|兩階段都報(bào)|總計(jì)||--------------|----------|----------|------------|------||男性||||||女性||||||總計(jì)||||100|（2）若從所有報(bào)名學(xué)員中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)員為“只報(bào)進(jìn)階應(yīng)用的女性”的概率。四、建模應(yīng)用題（共2小題，共50分）16.（24分）“共享電動(dòng)車”已成為城市短途出行的重要方式，某公司擬在某區(qū)域投放一批電動(dòng)車，需解決以下問題：（1）需求預(yù)測：通過問卷調(diào)查收集了1000名居民的日均短途出行距離（單位：公里），數(shù)據(jù)如下表：|距離區(qū)間|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||----------|-------|-------|-------|-------|--------||人數(shù)|150|350|300|150|50|①計(jì)算居民日均短途出行距離的平均數(shù)；②若電動(dòng)車?yán)m(xù)航里程為50公里，且每輛車日均被騎行6次，估算該區(qū)域每萬輛電動(dòng)車能否滿足日均出行需求。（2）**投放優(yōu)化**：該區(qū)域劃分為A、B、C三個(gè)片區(qū)，各片區(qū)人口比例為3:5:2，電動(dòng)車投放量需滿足：-A片區(qū)投放量不超過B片區(qū)的60%；-C片區(qū)投放量不少于總投放量的15%。設(shè)總投放量為1000輛，求B片區(qū)投放量的取值范圍。（26分）某中學(xué)開展“數(shù)學(xué)建模與校園規(guī)劃”項(xiàng)目活動(dòng)，要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花壇，具體要求如下：（1）花壇周長固定為40米，其中一邊靠墻（墻長25米），另三邊用柵欄圍成，柵欄造價(jià)為50元/米。設(shè)花壇靠墻一邊長為x米，總造價(jià)為y元，求y的最小值及對應(yīng)的x值。（2）在（1）的條件下，若在花壇內(nèi)種植兩種花卉：月季和牡丹。月季每平方米需投入80元，牡丹每平方米需投入60元，且月季種植面積不超過牡丹面積的2倍。如何分配兩種花卉的種植面積，可使總投入最低？最低總投入是多少？（3）為提升觀賞性，計(jì)劃在花壇中心區(qū)域設(shè)計(jì)一個(gè)菱形圖案，菱形對角線長度之和為12米，求菱形圖案的最大面積。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷需附詳細(xì)解析）命題說明：試卷立足初中數(shù)學(xué)核心知識，涵蓋函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等模塊，突出建模思想在實(shí)際問題中的