2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽辯證思維試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）設(shè)(a=\sqrt{5}-2)，則代數(shù)式(a^3+4a^2-3a-5)的值為（）（A）0（B）1（C）-1（D）2對(duì)于任意實(shí)數(shù)(m,n,p,q)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((m,n))與((p,q))之間的運(yùn)算“△”：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，都有((x,y)△(a,b)=(x,y))，那么((a,b))為（）（A）(0,1)（B）(1,0)（C）(-1,0)（D）(0,-1)已知(A,B)是兩個(gè)銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）（A）(-\frac{1}{2})（B）(-\frac{3}{2})（C）1（D）(\frac{5}{2})如圖，點(diǎn)(D,E)分別在(\triangleABC)的邊(AB,AC)上，(BE,CD)相交于點(diǎn)(F)，設(shè)(S_{\text{四邊形}EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）（A）(S_1S_3<S_2S_4)（B）(S_1S_3=S_2S_4)（C）(S_1S_3>S_2S_4)（D）不能確定設(shè)(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）兩條直角邊長分別是整數(shù)(a,b)（其中(a<b<2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為___。一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8。同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是___。如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x}(x>0))與矩形(OABC)的邊(CB,BA)分別交于點(diǎn)(E,F)，且(AF=BF)，連接(EF)，則(\triangleOEF)的面積為___。(\odotO)的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將(\odotO)分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為___。設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(a^3+b^3+c^3+d^3+10=1000a+100b+10c+d)，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為___。三、解答題（共4題，每題20分，共80分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+nx+m=0)的兩個(gè)根都大1，求(m+n)的值。解答思路：設(shè)方程(x^2+nx+m=0)的兩個(gè)根為(p,q)，則方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)根為(p+1,q+1)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得：[\begin{cases}p+q=-n\pq=m\(p+1)+(q+1)=-m\(p+1)(q+1)=n\end{cases}]整理得(p+q+2=-m)，(pq+p+q+1=n)。將(n=-(p+q))代入第二個(gè)式子，得(pq+p+q+1=-(p+q))，即(pq+2(p+q)+1=0)。配方得((p+2)(q+2)=3)。由于(p,q)為整數(shù)，((p+2,q+2))可取((1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1))，解得((p,q)=(-1,1),(1,-1),(-3,-5),(-5,-3))。經(jīng)檢驗(yàn)，僅有((p,q)=(-3,-5))符合題意，此時(shí)(m=15)，(n=8)，故(m+n=23)。如圖，點(diǎn)(H)為(\triangleABC)的垂心，以(AB)為直徑的(\odotO_1)和(\triangleBCH)的外接圓(\odotO_2)相交于點(diǎn)(D)，延長(AD)交(CH)于點(diǎn)(P)，求證：點(diǎn)(P)為(CH)的中點(diǎn)。證明關(guān)鍵：連接(BD,CD)。因?yàn)?AB)是(\odotO_1)的直徑，所以(\angleADB=90^\circ)。由于(H)是垂心，(\angleBHC=180^\circ-\angleA)，且(\angleBDC=\angleBHC)（同弧所對(duì)圓周角），故(\angleBDC=180^\circ-\angleA)。又(\angleADC=90^\circ-\angleBDC+\angleADB)，通過角度轉(zhuǎn)化可證(\anglePDC=\anglePCD)，從而(PD=PC)。同理可證(PD=PH)，因此(PC=PH)，即(P)是(CH)中點(diǎn)。若從1,2,3,(\cdots,n)中任取5個(gè)兩兩互素的不同整數(shù)，其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求(n)的最大值。分析過程：考慮非素?cái)?shù)的互素組合：1，4（(2^2)），9（(3^2)），25（(5^2)），49（(7^2)）。這5個(gè)數(shù)兩兩互素且均為合數(shù)或1，此時(shí)(n=49)時(shí)不滿足題意。若(n=50)，添加50（(2\times5^2)）仍與4,25不互素；若用1,4,9,25,49，則需排除。當(dāng)(n=48)時(shí)，最大合數(shù)組合為1,4,9,25,49（但49>48），故無法找到5個(gè)兩兩互素的合數(shù)，因此(n)的最大值為48。如圖，(\triangleABC)中，(\angleBAC=60^\circ)，(AB=2AC)。點(diǎn)(P)在(\triangleABC)內(nèi)，且(PA=\sqrt{3})，(PB=5)，(PC=2)，求(\triangleABC)的面積。輔助線策略：以(AC)為邊構(gòu)造等邊(\triangleACE)，連接(BE)。由(AB=2AC)及(\angleBAC=60^\circ)，可證(\triangleABE\cong\triangleAPC)（SAS），得(BE=PC=2)。在(\triangleAPE)中，(AP=\sqrt{3})，(AE=AC)，(\anglePAE=60^\circ)，由余弦定理得(PE=3)。在(\trianglePBE)中，(PB=5)，(PE=3)，(BE=2)，滿足(PE^2+BE^2=PB^2)，故(\anglePEB=90^\circ)。設(shè)(AC=x)，則(AB=2x)，在(\triangleABC)中用余弦定理得(BC^2=x^2+(2x)^2-2x\cdot2x\cos60^\circ=3x^2)，即(BC=\sqrt{3}x)。通過面積公式及勾股定理聯(lián)立解得(x=2)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times4\times\sin60^\circ=2\sqrt{3})。四、辯證思維拓展題（共2題，每題25分，共50分）（跨學(xué)科應(yīng)用）某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其尺寸誤差(X)（單位：mm）服從正態(tài)分布(N(0,0.01))。質(zhì)檢標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：誤差的絕對(duì)值不超過0.15mm為合格品，超過0.25mm為廢品，介于兩者之間為返工品。已知一批零件共10000個(gè)，試估算：（1）合格品數(shù)量；（2）返工品數(shù)量；（3）若每個(gè)合格品利潤10元，返工品利潤2元，廢品虧損5元，求這批零件的總利潤。核心公式：正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))中，(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx68.27%)，(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx95.45%)，(P(\mu-3\sigma<X\leq\mu+3\sigma)\approx99.73%)。本題中(\mu=0)，(\sigma=0.1)，則：合格品：(|X|\leq0.15)，即(P(-1.5\sigma\leqX\leq1.5\sigma)\approx86.64%)，數(shù)量≈8664個(gè)；返工品：(0.15<|X|\leq0.25)，即(P(1.5\sigma<|X|\leq2.5\sigma)\approx95.45%-86.64%=8.81%)，數(shù)量≈881個(gè)；廢品：(|X|>0.25)，數(shù)量≈10000-8664-881=455個(gè)。總利潤：(8664\times10+881\times2-455\times5=86640+1762-2275=86127)元。（開放探究）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c(a\neq0))與(x)軸交于(A,B)兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)(C)。若存在點(diǎn)(D)使得四邊形(ABCD)為菱形，稱該拋物線為“菱形拋物線”。（1）求證：“菱形拋物線”的對(duì)稱軸必過原點(diǎn)；（2）若拋物線(y=ax^2+bx+c)是“菱形拋物線”，且(AB=4)，求(a,c)滿足的關(guān)系式。證明與推導(dǎo)：（1）若(ABCD)是菱形，則(AB)與(CD)互相垂直平分。設(shè)(A(x_1,0),B(x_2,0))，則對(duì)稱軸(x=-\frac{2a}=\frac{x_1+x_2}{2})。由于(AB)中點(diǎn)與(CD)中點(diǎn)重合，且(C(0,c))，則(D(x_1+x_2,-c))。又(OA=OB)（菱形鄰邊相等），故(x_1=-x_2)，即(x_1+x_2=0)，因此對(duì)稱軸為(x=0)，即過原點(diǎn)。（2）由(AB=4)，得(|x_1-x_2|=4)，又(x_1=-x_2)，則(x_1=2,x_2=-2)。設(shè)拋物線為(y=a(x^2-4))，則(C(0,-4a))。由(OC=OA=2)（菱形邊長），得(|-4a|=2)，即(a=\pm\frac{1}{2})，故(c=-4a=\mp2)，因此(ac=-\frac{1}{2}\times2=-1)（或(\frac{1}{2}\times(-2)=-1)），即(ac=-1)。五、數(shù)學(xué)建模題（共1題，30分）某社區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)矩形健身廣場，周長固定為100米。廣場內(nèi)部要?jiǎng)澐忠粋€(gè)圓形花壇區(qū)域（圓心在矩形中心）和四個(gè)全等的矩形活動(dòng)區(qū)域（如圖所示）。設(shè)矩形廣場的長為(x)米，圓形花壇的半徑為(r)米。（1）用含(x)的代數(shù)式表示(r)；（2）若活動(dòng)區(qū)域總面積不小于廣場面積的(\frac{3}{4})，求(x)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求圓形花壇面積的最大值。建模過程：（1）矩形寬為(50-x)，中心到各邊距離為(\frac{x}{2})和(\frac{50-x}{2})，故(r\leq\min(\frac{x}{2},\frac{50-x}{2}))，即(r=\frac{1}{2}\min(x,50-x))。（2）廣場面積(S=x(50-x))，花壇面積(\pir^2)，