2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽梅涅勞斯定理試卷一、定理講解1.1基本內(nèi)容梅涅勞斯定理（Menelaus’theorem）的表述：如果一條直線和三角形ABC的三邊或其延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q、R，則有BP/PC·CQ/QA·AR/RB=1。此定理的逆命題也成立：若有三點(diǎn)分別在三角形的三邊或其延長(zhǎng)線上，且滿足上述比例關(guān)系，則這三點(diǎn)共線。1.2定理證明證明方法一（平行線法）：過點(diǎn)A作AG‖BC交DF的延長(zhǎng)線于G，則有AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG。三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1。證明方法二（面積法）：連接AD、BE，根據(jù)“兩個(gè)三角形等高時(shí)面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)有：S△AFE/S△BFE=AF/FB，S△BFD/S△CFD=BD/DC，S△CDE/S△ADE=CE/EA三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=11.3記憶方法為方便記憶，可采用"頂點(diǎn)到交點(diǎn)，交點(diǎn)回頂點(diǎn)"的口訣。也可將三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和截線與三邊的交點(diǎn)想象成六個(gè)旅游景點(diǎn)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)交點(diǎn)后返回起點(diǎn)，形成封閉路線，各段路程的比例乘積等于1。1.4逆定理應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理可用于判斷三點(diǎn)共線：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。二、基礎(chǔ)題型2.1填空題在△ABC中，直線DE交AB于D，交BC的延長(zhǎng)線于E，交AC于F。若AD/DB=2/3，AF/FC=1/2，則BE/EC=______。已知△ABC中，點(diǎn)D在BC上，BD/DC=3/2，點(diǎn)E在AC上，AE/EC=1/4，AD與BE交于點(diǎn)F，則AF/FD=______。設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB被同一直線所截，截點(diǎn)分別為D、E、F。若BD/DC=4/5，CE/EA=3/2，則AF/FB=______。2.2選擇題在△ABC中，直線l與AB交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F。若AD/DB=1/2，BC/CE=3/1，則AF/FC等于（）A.1/2B.2/3C.3/4D.4/5下列條件中，不能判定三點(diǎn)共線的是（）A.在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、CA上，且(AD/DB)×(BE/EC)×(CF/FA)=1B.直線AB與CD交于點(diǎn)O，且AO/OB=CO/ODC.點(diǎn)P在直線AB上，且AP/PB=2/3D.在△ABC中，點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在AB上，且(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1在△ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)，且滿足梅涅勞斯定理B.直線DE、EF、FD中任意兩條都不滿足梅涅勞斯定理C.點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線D.(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1三、解答題3.1基礎(chǔ)計(jì)算題在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，AE/ED=2/1，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，求AF/FC的值。已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，AD/DB=3/2，點(diǎn)E在BC上，BE/EC=1/3，連接DC、AE交于點(diǎn)F，求EF/FA的值。直線l與△ABC的三邊AB、BC、CA分別交于點(diǎn)D、E、F，且AD/DB=2/3，BE/EC=5/4，求AF/FC的值。3.2證明題證明：三角形的三條中線交于一點(diǎn)（重心）。在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE‖BC，求證：(AD/DB)×(BF/FC)×(CE/EA)=1，其中F為DE與BC上任意一點(diǎn)的連線與其他邊的交點(diǎn)。設(shè)△ABC的內(nèi)角平分線AD交BC于D，內(nèi)角平分線BE交AC于E，AD與BE交于點(diǎn)O，求證：CO平分∠ACB。三、提高題型3.1綜合應(yīng)用題在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，BD/DC=2/1，點(diǎn)E在AD上，AE/ED=1/2，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，CF的延長(zhǎng)線交AB于G。求AG/GB的值。已知△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于一點(diǎn)O。若AO/OD=3/2，BO/OE=4/3，求CO/OF的值。在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，求證：(AD/DC)×(BE/ED)×(CF/FA)=1，其中F為CE與AB的交點(diǎn)。3.2逆定理應(yīng)用題設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，內(nèi)切圓與邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F。求證：AD、BE、CF三線共點(diǎn)。在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，且BD/DC=CE/EA=AF/FB=k，求證：AD、BE、CF三線共點(diǎn)。已知四邊形ABCD中，AB與CD交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F，AC與BD交于點(diǎn)O，直線EO交BC于點(diǎn)G，直線FO交AB于點(diǎn)H。求證：G、H、F三點(diǎn)共線。四、競(jìng)賽題型4.1解答題在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，BD/DC=1/2，點(diǎn)E在AD上，AE/ED=3/4，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，CF的延長(zhǎng)線交AB于G。若△ABC的面積為1，求△GBD的面積。已知△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于點(diǎn)O。若AO/OD=α，BO/OE=β，CO/OF=γ，求證：αβγ=α+β+γ+2。在銳角△ABC中，AD、BE、CF是三條高，D、E、F為垂足。求證：EF平分AD。4.2證明題設(shè)△ABC的外接圓上一點(diǎn)P，過P作三邊的垂線，垂足分別為D、E、F。求證：D、E、F三點(diǎn)共線（西姆松線）。在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于點(diǎn)O。過O作BC的平行線，分別交AB、AC于點(diǎn)G、H。求證：GO=OH。四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB與CD交于點(diǎn)P，AD與BC交于點(diǎn)Q，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)R。求證：P、Q、R三點(diǎn)關(guān)于該圓的極線共點(diǎn)。4.3探究題梅涅勞斯定理與塞瓦定理有什么聯(lián)系與區(qū)別？請(qǐng)從定理表述、證明方法和應(yīng)用場(chǎng)景三個(gè)方面進(jìn)行比較。如何將梅涅勞斯定理推廣到四邊形中？嘗試提出一個(gè)類似的定理，并給出證明。研究梅涅勞斯定理在空間幾何中的推廣形式，探討其在四面體中的應(yīng)用。五、參考答案與提示5.1基礎(chǔ)題型答案填空題：4/32.5/23.5/6選擇題：B2.B3.D5.2解題提示對(duì)于涉及比例線段的問題，可適當(dāng)添加平行線，構(gòu)造相似三角形。在應(yīng)用梅涅勞斯定理時(shí)，要注意區(qū)分截線是與三角形的三邊相交還是與延長(zhǎng)線相交。證明三點(diǎn)共線時(shí)，可選擇適當(dāng)?shù)娜切危谷c(diǎn)分別在其三邊或延長(zhǎng)線上，再驗(yàn)證比例關(guān)系。對(duì)于復(fù)雜圖形，可分解為多個(gè)基本三角形，逐個(gè)應(yīng)用梅涅勞斯定理。在計(jì)算面積比例時(shí)，可利用"等高三角形面積之比等于底邊之比"的性質(zhì)。5.3證明題思路證明三線共點(diǎn)時(shí)，可先設(shè)兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也經(jīng)過該點(diǎn)。應(yīng)用梅涅勞斯定理時(shí)，要注意選擇合適的三角形和截線，使比例關(guān)系易于計(jì)算。對(duì)于涉及圓的問題，可結(jié)合圓冪定理、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)綜合應(yīng)用。證明三點(diǎn)共線時(shí)，除了梅涅勞斯定理的逆定理，還可考慮使用同一法、向量法等其他方法。通過