20分段函數(shù)問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)三要素的應(yīng)用題型二：函數(shù)性質(zhì)與零點(diǎn)的應(yīng)用題型三：分段函數(shù)的復(fù)合題型四：特殊分段函數(shù)的表示與應(yīng)用【典型例題】題型一：函數(shù)三要素的應(yīng)用例1．已知函數(shù)，若（a）（1），則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：（1），（a），當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件；時(shí)，，整理得：，，時(shí)，，整理得：，綜上可得：，故選：．例2．已知函數(shù)，若（a）（1），則的取值范圍是A．，， B．， C．， D．，【解析】解：，為偶函數(shù)，（a）（1），（a）（1），（a）（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，，，故選：．例3．設(shè)函數(shù)若（a），則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：的圖象如圖所示，（a），（a），由函數(shù)圖象可知．故選：．變式1．當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)，A． B． C． D．【解析】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．，函數(shù)取得最小值為，對(duì)應(yīng)的值為．故選：．變式2．已知函數(shù)，，，則不等式的解集A． B． C． D．【解析】解：當(dāng)即時(shí)，不等式同解于即此時(shí)當(dāng)即時(shí)，不等式同解于解得此時(shí)總之，不等式的解集為故選：．變式3．已知為奇函數(shù)，則．【解析】解：根據(jù)題意，為奇函數(shù)，則（1），則（2），故答案為：1．變式4．若函數(shù)，，則（9），（3），．【解析】解：，，（9），（3）（1），（1）．故答案為：2；1；0變式5．已知函數(shù)，則不等式的解集是．【解析】解：由題意當(dāng)時(shí)，有恒成立，故得當(dāng)時(shí)，，解得，故得綜上得不等式的解集是故答案為，．變式6．設(shè)，是二次函數(shù)，若的值域是，，則的值域是．【解析】解：在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)縱坐標(biāo)在，上時(shí)，橫坐標(biāo)在，，上變化，的值域是，而的值域是，，是二次函數(shù)的值域是，．故答案為：，．題型二：函數(shù)性質(zhì)與零點(diǎn)的應(yīng)用例4．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．【解析】解：若是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，則滿(mǎn)足，即，即，故選：．例5．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)，是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，則滿(mǎn)足，解得，故選：．例6．函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍為A． B．， C． D．【解析】解：在上單調(diào)；①若在上單調(diào)遞增，則：；；②若在上單調(diào)遞減，則：；；的取值范圍為，．故選：．變式7．已知，則的零點(diǎn)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】解：當(dāng)時(shí)，，在的圖象相當(dāng)于在，的圖象重復(fù)出現(xiàn)是周期函數(shù)，，時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．畫(huà)出函數(shù)與的圖象如圖：則的零點(diǎn)有2個(gè)．故選：．變式8．已知定義在上的函數(shù)，設(shè)，，為三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，（a）（b）（c），則的取值范圍為．【解析】解：作出的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，由，得，若，，互不相等，不妨設(shè)，因?yàn)椋╝）（b）（c），所以由圖象可知，，由（a）（b），得，即，即，則，所以，因?yàn)椋?，即，所以的取值范圍是．故答案為：．變?．已知函數(shù)，設(shè)，，是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足（a）（b）（c），則的取值范圍為．【解析】解：作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則．由（a）（b），得，即，，則，的取值范圍為．故答案為：．變式10．已知在上是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，，又為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，又符合上式，綜上得，．變式11．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若（2），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞減，且，當(dāng)時(shí)，遞減，且，，且，連續(xù)，且為減函數(shù)，（2），可得（2），即為，且，解得，且，則的取值范圍是，，．題型三：分段函數(shù)的復(fù)合例7．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意給定的，都存在唯一的，滿(mǎn)足，則正實(shí)數(shù)的最小值是A． B．1 C． D．2【解析】解：由已知條件知：，若，則，，這種情況不存在，若，則，，時(shí)，，，只有，即時(shí)，對(duì)任意給定的，都存在唯一的，滿(mǎn)足，，，即，，解得，正實(shí)數(shù)的最小值是．故選：．例8．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)A．， B．， C． D．【解析】解：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且；故實(shí)數(shù)一定在區(qū)間之間，若；則可化為；顯然有兩個(gè)不同的根，若，則；故△；即；綜上所述，實(shí)數(shù)；故選：．例9．已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：設(shè)，可得，分別作出和的圖象，可得它們有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩根，一根為，另一個(gè)根為，由，可得；由，可得有3個(gè)解，綜上可得方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為4．故選：．變式12．（多選題）已知函數(shù)下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，其中正確的是A．在內(nèi)一定有零點(diǎn) B．在內(nèi)一定有零點(diǎn) C．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)【解析】解：令得，，令，則，①當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的草圖如下，由圖象可知，此時(shí)的解滿(mǎn)足，，由可知，此時(shí)有兩個(gè)解，由可知，此時(shí)有兩個(gè)解，共4個(gè)解，即有4個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的草圖如下，由圖象可知，此時(shí)的解滿(mǎn)足，由可知，此時(shí)有1個(gè)解，共1個(gè)解，即有1個(gè)零點(diǎn)；綜上，選項(xiàng)正確．故選：．變式13．（多選題）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可取的值可能是A．0 B． C． D．1【解析】解：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)，即有三個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，則，由得，即，此時(shí)為減函數(shù)，由得，即，此時(shí)為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，取得極小值，作出的圖象如圖：要使有三個(gè)根，則，故選：．變式14．（多選題）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿(mǎn)足，下列敘述正確的是A．存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)時(shí)，但有 C．若當(dāng)，時(shí)，的最小值為1，則 D．若關(guān)于的方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則 E．對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程都有解【解析】解：因?yàn)樵摵瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，該函數(shù)圖象如下：對(duì)于；如圖所示直線與該函數(shù)圖象有7個(gè)交點(diǎn)，故正確；對(duì)于；當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于；直線，與函數(shù)圖象交于，，1，，故當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，，，故正確；對(duì)于；時(shí)，若使得其與的所有零點(diǎn)之和為0，則，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與沒(méi)有交點(diǎn)．故錯(cuò)誤．故選：．變式15．（多選題）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足，下列敘述正確的是A．存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)時(shí)，恒有 C．若當(dāng)，時(shí)，的最小值為1，則 D．若關(guān)于的方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則【解析】解：函數(shù)是奇函數(shù)，若，則，則，則，．若，則，則，即，，當(dāng)，則．作出函數(shù)的圖象如圖：對(duì)于，聯(lián)立，得，△，存在，使得△，存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則不成立，故不正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，時(shí)，的最小值為1，則，，故正確；對(duì)于，函數(shù)是奇函數(shù)，若關(guān)于的兩個(gè)方程與所有根的和為0，函數(shù)的根與根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，但時(shí)，方程有3個(gè)根，設(shè)分別為，，，且，則有，得，即，，則三個(gè)根之和為，若關(guān)于的兩個(gè)方程與所有根的和為0，則的根為，此時(shí)，故錯(cuò)誤，故選：．變式16．已知函數(shù)其中．①若，則的最小值為；②關(guān)于的函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：①若，則，作函數(shù)的圖象如下圖所示，顯然，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且最小值為．②令，顯然有唯一解，由題意，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由圖觀察可知，，又，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：；，．題型四：特殊分段函數(shù)的表示與應(yīng)用例10．對(duì)，，記，，則函數(shù)，的最小值是A． B． C． D．【解析】解：當(dāng)，即或，解得時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述：，故選：．例11．已知符號(hào)函數(shù)，，，其中，則下列結(jié)果正確的是A． B． C． D．【解析】解：符號(hào)函數(shù)，，，其中，，當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，．．故選：．例12．定義全集的子集的特征函數(shù)對(duì)于任意的集合、，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．若，則，對(duì)于任意的成立 B．，對(duì)于任意的成立 C．，對(duì)于任意的成立 D．若，則，對(duì)于任意的成立【解析】解：對(duì)于，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，，而中可能有中的元素，但中不可能有中的元素，所以，即?duì)于任意的，都有成立，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)?，?dāng)某個(gè)元素在中且在中，由于它在中，故，而且，可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)椋Y(jié)合，所以，即，故選項(xiàng)正確．故選：．變式17．定義全集的子集的特征函數(shù)為，這里表示集合在全集中的補(bǔ)集，已，，給出以下結(jié)論中不正確的是A．若，則對(duì)于任意，都有 B．對(duì)于任意，都有 C．對(duì)于任意，都有 D．對(duì)于任意，都有【解析】解：由題意，可得對(duì)于，因?yàn)椋傻脛t，，，而中可能有的元素，但中不可能有的元素，即對(duì)于任意，都有故正確；對(duì)于，因?yàn)椋Y(jié)合的表達(dá)式，可得，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，當(dāng)某個(gè)元素在中但不在中，由于它在中，故，而且，可得由此可得不正確．故選：．變式18．對(duì)，，記，函數(shù)，的最小值是．【解析】解：由題意得，，，故當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：．變式19．對(duì)，，記，，函數(shù)，的最小值是，則實(shí)數(shù)的值是．【解析】解：函數(shù)，，由的解析式可得，，即有的對(duì)稱(chēng)軸為，則，解得或，故答案為：2或．變式20．設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，若直線與函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是．【解析】解：畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象，若直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得：，，，故，求得，故答案為：．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則t的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，也為增函數(shù)，所以，解得.故的最大值為，故選：B.2．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增且；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增且；所以在上單調(diào)遞增，又由，則有，由題，可知的解集為，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則有，解不等式組，得；綜上可得，當(dāng)時(shí)，的解集為.故選：D.3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，∴，解得，即的取值范圍是，故選：C.4．已知數(shù)學(xué)符號(hào)表示取a和b中最大的數(shù)，若對(duì)任意，函數(shù)，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)的定義，可得的圖象（實(shí)線部分），由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，最小，且最小值，故選：D5．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，由于，則，由題意可得，即，解得，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.6．已知函數(shù)，令，則不等式的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由可知，的圖像是與在同個(gè)區(qū)間函數(shù)值大的那部分圖像，由此作出的圖像，聯(lián)立，解得或，故，，所以，又由可知，其解集為的函數(shù)值比大的那部圖像的所在區(qū)間，結(jié)合圖像易得，的解集為或聯(lián)立，解得或，故，，聯(lián)立，解得，故，所以的解集為或.故選：C..7．函數(shù)，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由知，，，，解?故選：A．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，所以，所以，即在恒成立，所以即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B9．已知函數(shù)，若值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)，由，得，得或，此時(shí)，綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：二、多選題10．我們用符號(hào)示兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)，若，，則（

）A．最大值為1 B．無(wú)最大值 C．最小值為 D．無(wú)最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，的圖象，如圖：根據(jù)題意，圖中實(shí)線部分即為函數(shù)的圖象.由，解得，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，由圖象可知無(wú)最小值，故選：AD.11．定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度可以是（

）A． B． C． D．1【答案】AD【解析】令①，當(dāng)時(shí)，不等式可整理為，解得，故符合要求，當(dāng)時(shí)，不等式可整理為，解得，故，所以不等式①的解為；由上可得，不等式的解為或，所以，令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或，所以區(qū)間的最小長(zhǎng)度為1，最大長(zhǎng)度為.故選：AD.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意給定的正數(shù)m，定義函數(shù)，若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的值域?yàn)镃．的單調(diào)遞增區(qū)間為 D．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】由，解得：，故，A．，本選項(xiàng)符合題意；B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故值域?yàn)?，本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)時(shí)，，圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，故在上單調(diào)遞增，本選項(xiàng)符合題意；D．，故函數(shù)為偶函數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意．故選：ABC．13．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（LEJBrouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的（

）A．為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)B．的不動(dòng)點(diǎn)為C．為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)D．若定義在R上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)滿(mǎn)足，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，得，解得，即（有一個(gè)滿(mǎn)足足矣），所以為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B，令，得，即，即，解得，即和，所以的不動(dòng)點(diǎn)為，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，令，得，解得或；當(dāng)時(shí)，，令，得，即，解得（舍去）；綜上：和，所以為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C說(shuō)法正確；對(duì)于D，不妨設(shè)該不動(dòng)點(diǎn)為，則，則由得，即，整理得，所以也是的不動(dòng)點(diǎn)，故，解得或，即都是的不動(dòng)點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，故D說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題14．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由已知，函數(shù)是定義為在上的增函數(shù)，則為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，解得，所以的取值范圍是：.故答案為：.15．若函數(shù)為奇函數(shù)，則__________.【答案】【解析】利用奇函數(shù)的定義，求．當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，，即故．故答案為：．16．若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)，，且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)題意，任意實(shí)數(shù)都有成立，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則分段函數(shù)的每一段單調(diào)遞減且在分界