31三角函數(shù)的最值問題求解策略【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)的最值問題主要涉及三角恒等變形，其主要思想是通過適當(dāng)?shù)娜亲冃位驌Q元，將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)或基本初等函數(shù)問題，再通過三角函數(shù)的有界性或求函數(shù)最值的方法進(jìn)行處理．【題型歸納目錄】題型一：恒等變形的應(yīng)用，形如題型二：二次函數(shù)型，形如題型三：形如題型四：分式結(jié)構(gòu)，形如【典型例題】題型一：恒等變形的應(yīng)用，形如例1．求函數(shù)的周期，最大值和最小值．【解析】解：化簡可得原函數(shù)的周期為，最大值為2，最小值為例2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和增區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．【解析】解：（1），，令，，，．函數(shù)的增區(qū)間為：，，（2），時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，．例3．已知函數(shù)的最大值為2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求的最值以及取得最值時(shí)的集合．【解析】解：（Ⅰ）的最大值為2，，可得，，．（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，．變式1．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和對稱軸；（2）當(dāng)，時(shí)，求的最大值和最小值．【解析】解：（1）函數(shù)；故函數(shù)的最小正周期為，令，，整理得，．故函數(shù)的對稱軸方程為，．（2）由于，時(shí)，所以，故．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為1．變式2．已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的周期；（2）當(dāng)為何值時(shí)函數(shù)取得最大值？最大值為多少？【解析】解：（1），故；（2）令，解得：，故時(shí)，取得最大值．題型二：二次函數(shù)型，形如例4．函數(shù)的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】解：，，，當(dāng)，．當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)椋海蔬x：．例5．函數(shù)的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】解：，令，則有，，，函數(shù)的對稱軸：，開口向上，當(dāng)及時(shí)，函數(shù)取最值，代入可得，．故選：．例6．函數(shù)的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為．時(shí)，函數(shù)有最大值為1，故函數(shù)的值域?yàn)椋?，故選：．變式3．函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：，令，，，則函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，，，圖象開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為5，故選：．變式4．已知，則函數(shù)的最小值是A．1 B． C． D．【解析】解：令，則是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為當(dāng)是原函數(shù)取到最小值1故選：．變式5．已知函數(shù)在時(shí)有最大值為，則實(shí)數(shù)的值為1．【解析】解：函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)化為：．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，．滿足題意．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)化為：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，可得，解得，不滿足題意．③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)，解得，不滿足題意．④當(dāng)時(shí)，時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)有，解得不滿足題意．綜上，．故答案為：1．變式6．已知函數(shù)在，上的最大值為5，求實(shí)數(shù)的值．【解析】解：設(shè)，，且，，則，，；，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取到最大值5，符合題意；當(dāng)時(shí)，，由拋物線性質(zhì)，知：當(dāng)時(shí)，，解得，不符條件，舍去；當(dāng)時(shí)，若，則，，解得，不符條件，舍去；若，則，解得，不符條件，舍去；若，則，解得，不符條件，舍去；綜上，只有一個(gè)解；即在，上的最大值為5時(shí)，．題型三：形如例7．函數(shù)，，的最大值是．【解析】解：令，，，可得，，，，，，．函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，故答案為：．例8．求函數(shù)的最大值．【解析】解：令，則，則，故，對稱軸是，故當(dāng)時(shí)，有最大值．例9．已知（Ⅰ）用表示的值；（Ⅱ）求函數(shù)，，的最大值和最小值．（參考公式：【解析】解：由，得，即，（Ⅰ）；（Ⅱ）由題設(shè)知：，，，，且，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．變式7．已知，，求函數(shù)的最大值和最小值．【解析】解：函數(shù)，令，，，，，，，，，又，，，對稱軸：，區(qū)間，在對稱軸的右邊，為遞增區(qū)間．，．變式8．設(shè)，．（1）求，的關(guān)系式；（2）若，求的最大值．【解析】解：（1），；（2）由（1），，．，時(shí)，的最大值為．題型四：分式結(jié)構(gòu)，形如例10．求函數(shù)的值域．【解析】解：由．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)的值域?yàn)椋?1．已知，，求函數(shù)的值域．【解析】解：，，，其中，，，，，解得即函數(shù)的值域?yàn)?，．?2．求函數(shù)，，的值域．【解析】解：函數(shù)，，可得，，，．變式9．用至少2種方法求函數(shù)的值域．【解析】解：方法，，，，，解得，函數(shù)的值域?yàn)椋海椒?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，．函數(shù)的值域?yàn)椋海蚀鸢笧椋海兪?0．（1）求值域（2）求的值域．【解析】解：（1）由可得，，由于，即為，即，解得或，則值域?yàn)?，，；?），，即，，，又，，解得，即函數(shù)的值域是，．【過關(guān)測試】一．選擇題1．函數(shù)，的值域是A．， B． C． D．【解析】解：函數(shù)．．故選：．2．函數(shù)的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．【解析】解：函數(shù)的值域?yàn)椋?，故選：．3．函數(shù)的值域是A．， B．， C．， D．，【解析】解：令，則，，，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值．當(dāng)時(shí)，取得最大值3，，故選：．4．函數(shù)的最大值是A．1 B． C． D．【解析】解：，令，，，，，則原函數(shù)化為，其對稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，有最大值為1．故選：．5．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則A． B． C． D．【解析】解：由題意可得，．再結(jié)合，求得，，故選：．6．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為A．2 B． C．4 D．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，故的最小值為4，故選：．7．已知函數(shù)，則的最大值為A． B． C．0 D．1【解析】解：，令，，，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為1．故選：．8．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，則是A．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值 B．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值 C．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值 D．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值【解析】解：由于當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，故，解得，故，所以，故函數(shù)為偶函數(shù)，在時(shí)，函數(shù)取得最小值．故選：．二．填空題9．函數(shù)，的值域是．【解析】解：函數(shù)，，，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?0．設(shè)，若對任意實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，令，則．．即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：．11．若是函數(shù)的一條對稱軸，則函數(shù)的最大值是．【解析】解：（其中，又是函數(shù)的一條對稱軸，，即，．由，得．函數(shù)的最大值是．故答案為：．12．函數(shù)的值域?yàn)椋窘馕觥拷猓海?，?dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，最大為，故函數(shù)的最小值為，的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?，?3．函數(shù)的最大值是．【解析】解：函數(shù)，設(shè)，則，；，，，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，取得最大值是．故答案為：．14．函數(shù)的值域是．【解析】解：由得，，，，解得故答案為：，．15．（2022?湖南）若則的最小值為．【解析】解：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）故答案為：．16．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．【解析】解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故答案為：417．已知函數(shù)，則的最大值為．【解析】解：函數(shù)，的最大值為2，故答案為：2．18．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．【解析】解：．當(dāng)時(shí)，，，．19．函數(shù)在，上的最大值為．【解析】解：，，，，，，函數(shù)在，上的最大值為，故答案為：．三．解答題20．已知函數(shù)，．（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)，，求值域．【解析】解：（1）由解析式得，則函數(shù)的最小正周期．（2）由，，得，，即，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，．（3）當(dāng)，時(shí)，，，，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，即值域?yàn)?，?1．（1）求函數(shù)，，的最大值和最小值及相應(yīng)的值．（2）求函數(shù)，的值域．（3）若函數(shù)，，的最小值為，求的值．【解析】解：（1），，，，，當(dāng)時(shí)取最小值，最小值為，即，時(shí)取最大值，最大值為5，即，時(shí)，取最小值為，時(shí)，取最大值為5；（2），，令，，，，，，由二次函數(shù)圖象可知，對稱軸為1，在定義域，上單調(diào)遞增，的值域?yàn)椋?，函?shù)，的值域，；（3），，，，，，令，，，，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：，當(dāng)對稱軸，即時(shí)，最小值為（1），，不成立，當(dāng)，，當(dāng)取最小值，．22．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，求在上的值域．【解析】解：（1），即，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)?，又的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，解得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，即在上的值域?yàn)椋?3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和嚴(yán)格遞減區(qū)間；（2）若，，求函數(shù)的值域．【解析】解：（1），所以最小正周期，令，，，則，，，故最小正周期為，嚴(yán)格遞減區(qū)間為，，．（2），因?yàn)椋?，，所以，，故，?4．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的值域．【解析】解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：，由可得，的單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）由（1）可得，，，，函數(shù)的值域?yàn)椋海?5．已知函數(shù)．求：（1）函數(shù)的最小正周期；（2）方程的解集；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．【解析】解：（1）函數(shù)，故它的最小正周期為．（2）由，可得，，，求得，，故方程的解集為，．（3）當(dāng)時(shí)，，，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?6．已知函數(shù)，是常數(shù)（1