2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調查方法綜合能力提升試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填在題后的括號內。）1.在抽樣調查中，由樣本統(tǒng)計量推斷總體參數所依據的原理是（）。A.大數定律B.中心極限定理C.概率論基本定理D.數理邏輯規(guī)則2.下列哪種抽樣方法屬于非概率抽樣？（）A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.配額抽樣3.抽樣誤差主要是由（）引起的。（）A.抽樣框不完整B.無回答C.樣本代表性偏差D.調查員主觀判斷4.在其他條件不變的情況下，擴大抽樣范圍（區(qū)間），抽樣平均誤差（）。A.不變B.擴大C.縮小D.先擴大后縮小5.分層抽樣相較于簡單隨機抽樣，其主要優(yōu)點在于（）。A.操作簡便B.可有效降低抽樣誤差C.適用于任何類型總體D.樣本量確定更易6.當總體單位數較少時，常采用的抽樣方法是（）。A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.整群抽樣D.多階段抽樣7.抽樣設計中，確定抽樣框的主要目的是（）。A.提高抽樣效率B.計算抽樣誤差C.確保每個單位都有已知非零概率被抽中D.減少無回答8.在重復簡單隨機抽樣下，若抽樣平均誤差縮小為原來的1/2，樣本量需要（）。A.縮小為原來的一半B.增加為原來的兩倍C.增加為原來的四倍D.縮小為原來的四分之一9.抽樣調查中，置信水平（1-α）表示的是（）。A.樣本統(tǒng)計量等于總體參數的概率B.總體參數落在置信區(qū)間的概率C.抽樣誤差不超過規(guī)定范圍的概率D.樣本代表性好的程度10.下列關于整群抽樣說法錯誤的是（）。A.抽樣單位是群B.誤差通常大于簡單隨機抽樣C.適用于群內差異小、群間差異大的總體D.抽樣實施較為方便二、判斷題（每題1分，共10分。請將“正確”或“錯誤”填在題后的括號內。）1.抽樣調查的目的在于通過樣本的統(tǒng)計量準確推斷總體的參數。（）2.無論采用何種抽樣方法，抽樣誤差都是不可避免的。（）3.分層抽樣的前提是知道總體各層的比例。（）4.在整群抽樣中，每個群內的單位數可以不相等。（）5.系統(tǒng)抽樣是隨機抽樣的一種特殊形式，因此其抽樣誤差一定小于簡單隨機抽樣。（）6.無回答誤差屬于抽樣誤差的范疇。（）7.樣本量的確定與置信水平要求成正比關系。（）8.抽樣框就是總體本身。（）9.非概率抽樣由于不遵循隨機原則，因此其結果完全不能用于推斷總體。（）10.抽樣平均誤差反映了樣本統(tǒng)計量圍繞總體參數波動的平均程度。（）三、簡答題（每題5分，共20分。）1.簡述概率抽樣與非概率抽樣的主要區(qū)別。2.簡述影響抽樣誤差的主要因素。3.簡述分層抽樣的基本步驟。4.簡述無回答誤差的主要類型及其可能的處理方法。四、計算題（每題7分，共21分。）1.某城市共有居民戶100萬，為調查該市居民的月均收入，采用簡單隨機重復抽樣方式抽取1000戶進行調查。若已知該市居民戶月收入的方差為σ2=2000元2，試計算抽樣平均誤差。2.某工廠生產某種零件，批量很大，采用整群抽樣進行調查。將零件按生產順序每100個為一組，共分為1000組。隨機抽取了10組進行調查，調查結果顯示這10組的平均重量為50.5公斤，群內方差平均為0.8公斤2。試估計該廠生產零件的平均重量的抽樣平均誤差（假設近似為重復抽樣）。3.假設某總體分為三個層，層內方差已知分別為σ?2=4,σ?2=9,σ?2=16。各層單位數比例為N?:N?:N?=3:4:3。若要求抽樣誤差不超過1，置信水平為95%，根據方差不均衡比例分配法，試確定樣本量n。（提示：σ2=Σ(N?σ?2)/N，N=ΣN?）五、綜合應用題（共28分。）某地區(qū)教育部門欲調查該地區(qū)初中生課外輔導負擔情況，計劃進行一項抽樣調查。請你協(xié)助設計這項調查的抽樣方案，并回答相關問題：1.說明確定本次調查抽樣框需要考慮哪些問題？（4分）2.設計一個具體的抽樣方案，包括選擇哪種主要抽樣方法，并說明理由。如果選擇分層抽樣，需要如何進行分層？（8分）3.假設初步確定需要抽取400名學生，請說明如何確定各層的樣本量（至少列出兩種確定方法并說明其適用條件）？（8分）4.在抽樣設計和實施過程中，可能遇到哪些問題？如何應對？（8分）試卷答案一、選擇題1.B解析思路：中心極限定理是抽樣推斷的理論基礎，它保證了樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，從而可以構造置信區(qū)間和進行假設檢驗。2.D解析思路：非概率抽樣包括方便抽樣、判斷抽樣、配額抽樣、滾雪球抽樣等，配額抽樣屬于非概率抽樣。概率抽樣要求每個單位有已知非零概率被抽中。3.C解析思路：抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計量與總體參數之間的差異，主要來源于樣本的隨機性，即樣本代表性與總體真實情況存在偏差。4.C解析思路：抽樣平均誤差的大小與樣本量的平方根成反比，與總體標準差成正比。擴大抽樣范圍（區(qū)間）通常意味著增加樣本量，樣本量增大，抽樣平均誤差縮小。5.B解析思路：分層抽樣通過將總體分層，確保每個層在樣本中都有代表性，從而可以更精確地估計各層參數，降低抽樣誤差。6.D解析思路：多階段抽樣適用于總體單位分散、難以形成完整抽樣框的情況。當總體單位數較少時，可以直接進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，但多階段抽樣作為一種通用方法，也適用于單位數雖少但分布廣泛的情況，它通過多個階段逐步縮小范圍。在此選項中，多階段抽樣是較為合適的表述，因為它包含了整群和分層等概念，是實踐中常用的復雜抽樣方法。7.C解析思路：抽樣框是實施抽樣的基礎，其目的是提供一個包含所有總體單位的名單或途徑，確保抽樣能夠按照預定概率進行，即每個單位都有已知非零概率被抽中。8.C解析思路：抽樣平均誤差與樣本量的平方根成反比。若誤差縮小為原來的1/2，則新的誤差是原誤差的1/2，相當于方差變?yōu)樵瓉淼?/4。根據公式，需要樣本量增加為原來的4倍。9.B解析思路：置信水平（1-α）表示的是在重復抽樣下，總體參數真實落在計算出的置信區(qū)間內的概率。10.B解析思路：整群抽樣的誤差通常大于簡單隨機抽樣，因為群內單位可能相似，群間差異可能較大，導致樣本代表性不如簡單隨機抽樣。二、判斷題1.錯誤解析思路：抽樣調查的目的在于用樣本信息推斷總體特征，但由于存在抽樣誤差，推斷結果只是具有一定置信水平的估計，而非完全準確。2.正確解析思路：抽樣誤差是隨機抽樣產生的不可避免的誤差，反映了樣本結果與總體真實情況之間的隨機波動。3.錯誤解析思路：分層抽樣需要預先知道總體各層的結構信息（如比例或具體類別），但不一定需要知道比例。比例是比例分配法確定樣本量時需要的。4.正確解析思路：整群抽樣中，每個群可以包含不同數量的單位，這是其靈活性之一。5.錯誤解析思路：系統(tǒng)抽樣雖然也是隨機抽樣，但其抽樣誤差受周期性因素影響，不一定總是小于簡單隨機抽樣。6.錯誤解析思路：無回答誤差是指由于部分選定的樣本單位沒有提供信息而導致的誤差，它不屬于抽樣過程本身產生的抽樣誤差，而是屬于非抽樣誤差。7.錯誤解析思路：樣本量的確定與置信水平要求成反比關系。置信水平要求越高（α越?。?，所需樣本量越大。8.錯誤解析思路：抽樣框是抽取樣本的名單或載體，它可能是總體的完整列表，也可能是不完整的或近似列表。9.錯誤解析思路：非概率抽樣雖然不遵循隨機原則，但其結果有時也可以通過加權等方法進行一定程度的推斷，或用于探索性研究、了解特定群體等。10.正確解析思路：抽樣平均誤差是衡量樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）圍繞總體參數（總體均值）波動程度的指標。三、簡答題1.概率抽樣是指遵循隨機原則抽取樣本，每個總體單位都有已知非零概率被抽中。非概率抽樣是指不遵循隨機原則抽取樣本，樣本單位的抽中概率未知或不相等。主要區(qū)別在于是否保證隨機性和可計算抽樣誤差。2.影響抽樣誤差的主要因素包括：總體變異程度（用總體方差或標準差衡量，變異越大，誤差越大）；樣本量的大?。颖玖吭酱?，誤差越小）；抽樣方法（不同抽樣方法的抽樣效率不同）；抽樣組織形式（如分層抽樣通常比簡單隨機抽樣誤差?。?.分層抽樣的基本步驟包括：劃分總體為互不重疊的層；確定各層的樣本量（按比例或最優(yōu)分配等）；在每層內獨立進行簡單隨機抽樣或其他概率抽樣；將各層抽樣結果匯總，計算總體估計值和抽樣誤差。4.無回答誤差的主要類型包括：無回答（個體拒絕或無法聯(lián)系）；部分回答（未完成問卷）；回答偏差（如社會期許效應）。處理方法包括：加強調查員培訓；提高問卷設計質量；多輪隨訪；對無回答樣本進行加權調整；在結果分析中說明無回答情況及其可能影響。四、計算題1.解：采用簡單隨機重復抽樣，抽樣平均誤差計算公式為：μ_x=σ/√n已知：σ2=2000元2,n=1000σ=√2000≈44.72元μ_x=44.72/√1000≈44.72/31.62≈1.41元答：抽樣平均誤差約為1.41元。2.解：采用整群抽樣（近似重復抽樣），抽樣平均誤差計算公式為：μ_g=√[(ρ2/k)+(1-ρ/k)*σ_e2]其中：ρ=n/N=10/1000=0.01,k=N/n=1000/10=100σ_e2=0.8公斤2（群內方差平均）μ_g=√[(0.012/100)+(1-0.01/100)*0.8]μ_g=√[(0.0001/100)+(0.999/100)*0.8]μ_g=√[0.000001+0.007992]μ_g=√0.007993≈0.0894公斤答：抽樣平均誤差約為0.0894公斤。3.解：采用方差不均衡比例分配法確定樣本量，首先計算總體方差σ2：σ2=Σ(N?σ?2)/N=(3*42+4*92+3*162)/(3+4+3)σ2=(3*16+4*81+3*256)/10σ2=(48+324+768)/10σ2=1140/10=114根據公式n?=(Z_(α/2)2*σ2)/E2Z_(α/2)=1.96(對應95%置信水平)E=1n?=(1.962*114)/12=3.8416*114≈439.59由于N?:N?:N?=3:4:3，最優(yōu)分配比例也是3:4:3。總樣本量n應按比例分配：n?=(3/10)*439.59≈131.88,n?=(4/10)*439.59≈175.84,n?=(3/10)*439.59≈131.88取整后，總樣本量n=132+176+132=440答：樣本量n應確定為440。（注：實際操作中可能需進行修正，確?？倶颖玖繚M足比例要求且為整數，此處按公式直接計算并取整。）五、綜合應用題1.確定抽樣框需考慮：①完整性：抽樣框應盡可能包含所有目標總體單位，避免遺漏和重復。②準確性：框中單位信息應準確無誤，特別是與抽樣相關的標識。③更新及時性：抽樣框應反映總體的最新構成。④可行性：抽樣框應易于獲取和操作。⑤成本效益：獲取和維護抽樣框的成本應合理。2.抽樣方案設計：方法一：采用分層整群抽樣。理由：該地區(qū)初中生分布廣泛，直接簡單隨機抽樣可能成本高、效率低。同時，不同學校、不同區(qū)域的學生課外輔導負擔可能存在差異。先將學校按地理位置或類型分層（如城區(qū)、郊區(qū)；公立、私立），然后在每層中隨機抽取若干學校（群），再對抽中學校的全體或部分學生進行抽樣（如簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）進行調查。這種方法可以在不同層次上保證代表性，并降低抽樣成本。方法二：采用多階段抽樣。理由：若學校分布非常分散或缺乏合適的學校列表作為第一階抽樣框，可采用多階段抽樣。第一階段抽取縣/區(qū)或鄉(xiāng)鎮(zhèn)；第二階段在抽中的縣/區(qū)或鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取中學；第三階段在抽中的中學中抽取學生。這種方法的靈活性高，適用于復雜分布的總體。選擇理由說明：以上兩種方法都考慮了初中生分布的特點，分層/分階段可以在不同層級保證代表性，是實際操作中常用的有效方法。具體選擇哪種取決于對總體結構的了解程度和可獲得的抽樣框。分層說明：如方法一所述，可按地理位置（城區(qū)、郊區(qū)等）或學校類型（公立、私立）進行分層，以期望同一層內的學生課外輔導負擔情況更相似，從而提高抽樣效率和結果的準確性。3.確定各層樣本量方法：方法一：比例分配法（EqualProportionsAllocation）。步驟：按各層單位數占總體單位數的比例分配樣本量。n?=(N?/N)*n。計算結果如計算題3所示（n?≈132,n?≈176,n?≈132）。適用條件：各層內方差相近，或調查目的是對各層進行單獨分析時。方法二：最優(yōu)分配法/哈特利法則（Hartley'sRule）。步驟：根據各層方差σ?2和單位數N?，按公式n?=(N?σ?2/Σ(N?σ?2))*n?計算樣本量。其中n?=(Z_(α/2)2*σ2)/E2，σ2是總體方差（如計算題3計算