2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策模型構(gòu)建試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率α表示的是（）。A.接受原假設(shè)時(shí)，原假設(shè)為真B.拒絕原假設(shè)時(shí)，原假設(shè)為真C.接受原假設(shè)時(shí)，原假設(shè)為假D.拒絕原假設(shè)時(shí)，原假設(shè)為假2.對于簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，如果要求β?的無偏估計(jì)，則誤差項(xiàng)ε需要滿足的假設(shè)之一是（）。A.ε服從正態(tài)分布B.ε的方差與X的值有關(guān)C.ε的期望值為零D.X與ε相關(guān)3.在多元線性回歸分析中，下列哪項(xiàng)是衡量模型擬合優(yōu)度的好指標(biāo)？（）A.回歸系數(shù)β?B.殘差平方和SSEC.決定系數(shù)R2D.標(biāo)準(zhǔn)誤差SE(β?)4.如果在多元線性回歸模型的診斷中發(fā)現(xiàn)存在明顯的多重共線性，以下哪種方法可能有助于緩解這個(gè)問題？（）A.增加樣本量B.刪除與因變量相關(guān)性最弱的自變量C.對自變量進(jìn)行正交化處理D.使用更大的顯著性水平α5.假設(shè)我們使用線性回歸模型對某個(gè)變量的未來值進(jìn)行預(yù)測。如果得到的模型擬合效果很差（例如，R2非常?。?，但殘差分析顯示誤差項(xiàng)ε服從正態(tài)分布且方差恒定，那么可能的原因是（）。A.存在異方差性B.模型設(shè)定錯(cuò)誤（遺漏了重要的自變量或函數(shù)形式不正確）C.存在自相關(guān)D.樣本量太小二、填空題（每空2分，共10分。請將答案填在橫線上）6.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，當(dāng)自變量X增加一個(gè)單位時(shí)，因變量Y的期望值將__________，前提是其他條件不變。7.假設(shè)對總體均值μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，得到的置信區(qū)間為(a,b)，置信水平為95%。這意味著如果重復(fù)抽樣100次，大約有__________次得到的置信區(qū)間包含真實(shí)的總體均值μ。8.在進(jìn)行多元線性回歸分析時(shí)，為了檢驗(yàn)整個(gè)回歸方程的顯著性，通常使用__________檢驗(yàn)。9.殘差分析是回歸模型診斷的重要手段，其中一個(gè)關(guān)鍵的診斷圖是殘差與__________的散點(diǎn)圖，用于檢查誤差項(xiàng)是否存在異方差性。10.若要構(gòu)建一個(gè)預(yù)測模型來估計(jì)某個(gè)連續(xù)變量，而變量之間存在非線性關(guān)系，且不希望進(jìn)行復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換，可以考慮使用__________模型。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）11.某研究者想檢驗(yàn)一種新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將他們隨機(jī)分為兩組，每組25人。傳統(tǒng)組使用傳統(tǒng)教學(xué)方法，新教組使用新教學(xué)方法。期末考試成績?nèi)缦拢〝?shù)據(jù)已簡化處理，單位：分）：傳統(tǒng)組平均分=75，標(biāo)準(zhǔn)差=8新教組平均分=78，標(biāo)準(zhǔn)差=7假設(shè)兩組成績服從正態(tài)分布且方差相等。請計(jì)算檢驗(yàn)新教學(xué)方法是否更有效的假設(shè)檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量值，并寫出完整的檢驗(yàn)步驟（包括原假設(shè)、備擇假設(shè)、計(jì)算t值、確定拒絕域或P值范圍）。12.根據(jù)下表給出的簡單線性回歸模型的部分輸出結(jié)果（部分參數(shù)省略），回答問題：調(diào)整后的R2=0.84標(biāo)準(zhǔn)誤差=5.2自變量系數(shù)（X）：系數(shù)=6.5，標(biāo)準(zhǔn)誤=1.2，t值=5.42常數(shù)項(xiàng)系數(shù)（Intercept）：系數(shù)=20.0，標(biāo)準(zhǔn)誤=3.0，t值=6.67（1）該模型的R2和調(diào)整后的R2分別是多少？（2）解釋X變量系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。（3）在α=0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)自變量X是否對因變量有顯著影響。13.在一項(xiàng)關(guān)于廣告投入與銷售額關(guān)系的研究中，收集了10個(gè)地區(qū)的月度數(shù)據(jù)。研究者擬合了一個(gè)多元線性回歸模型，其中銷售額（Y）是因變量，廣告投入（X?，單位：萬元）和地區(qū)人口（X?，單位：萬人）是自變量。部分輸出結(jié)果如下：R2=0.92，調(diào)整后的R2=0.90X?的系數(shù)=15.0，標(biāo)準(zhǔn)誤=2.0，t值=7.5X?的系數(shù)=8.0，標(biāo)準(zhǔn)誤=1.5，t值=5.33F檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量=45.0，對應(yīng)的P值=0.001（1）該模型的擬合優(yōu)度如何？（2）檢驗(yàn)廣告投入（X?）對銷售額（Y）的影響是否顯著（α=0.05）。（3）解釋X?變量系數(shù)的意義。四、簡答題（每題10分，共20分）14.簡述多重共線性對多元線性回歸模型估計(jì)和解釋可能帶來的主要問題。請至少列舉三種問題，并簡要說明原因。15.在進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的趨勢性和季節(jié)性，請簡述你會(huì)考慮使用哪些模型，并說明選擇這些模型的原因。五、分析題（20分）16.某公司經(jīng)理希望了解員工的工作滿意度（Y，評分1-10）與員工的工作經(jīng)驗(yàn)（X?，單位：年）和培訓(xùn)時(shí)數(shù)（X?，單位：小時(shí)）之間的關(guān)系，以便制定提高滿意度的策略。隨機(jī)抽取了15名員工的數(shù)據(jù)，并使用統(tǒng)計(jì)軟件擬合了多元線性回歸模型。軟件輸出部分結(jié)果如下：模型整體F檢驗(yàn)P值=0.03X?的系數(shù)=0.8，標(biāo)準(zhǔn)誤=0.3，P值=0.12X?的系數(shù)=0.5，標(biāo)準(zhǔn)誤=0.15，P值=0.05調(diào)整后的R2=0.65殘差分析未發(fā)現(xiàn)明顯的異方差性或自相關(guān)性。（1）根據(jù)模型結(jié)果，哪些因素對員工滿意度有統(tǒng)計(jì)上的顯著影響？請說明判斷依據(jù)。（2）解釋模型調(diào)整后的R2的含義。（3）假設(shè)某新員工具有3年工作經(jīng)驗(yàn)，接受了20小時(shí)培訓(xùn)，根據(jù)模型預(yù)測其滿意度評分可能是多少？請說明計(jì)算方法或過程。（4）公司經(jīng)理計(jì)劃通過增加培訓(xùn)時(shí)數(shù)來提高滿意度?；谝陨夏Ｐ徒Y(jié)果，你是否建議他優(yōu)先考慮增加培訓(xùn)時(shí)數(shù)？請結(jié)合分析結(jié)果說明理由。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.C5.B二、填空題6.增加7.958.F9.自變量10.非線性回歸（或廣義線性模型/支持向量機(jī)等，視課程范圍而定）三、計(jì)算題11.（1）原假設(shè)H?:μ?=μ?（新教組均值等于傳統(tǒng)組均值）；備擇假設(shè)H?:μ?≠μ?（新教組均值不等于傳統(tǒng)組均值）。（2）由于假設(shè)方差相等，合并方差估計(jì)s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(24*82+24*72)]/48=[1536+1176]/48=2712/48≈56.5。s_p=√56.5≈7.52。（3）t統(tǒng)計(jì)量=(ˉY?-ˉY?)/s_p*√(1/n?+1/n?)=(78-75)/7.52*√(1/25+1/25)=3/7.52*√0.08≈0.400/0.283≈1.41。（4）自由度df=n?+n?-2=48。查t分布表，α/2=0.025時(shí)，t_{0.025,48}≈2.010。拒絕域?yàn)閠<-2.010或t>2.010。（5）計(jì)算得到的t值為1.41，不落入拒絕域。（6）結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有足夠的證據(jù)拒絕H?，即不能認(rèn)為新教學(xué)方法比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。（或報(bào)告P值>0.05）12.（1）R2=0.84；調(diào)整后的R2=0.84。（假設(shè)模型中只有一個(gè)自變量，R2=調(diào)整后R2）（2）X變量系數(shù)6.5表示，在其他條件不變的情況下，自變量X每增加一個(gè)單位，因變量的期望值平均增加6.5個(gè)單位。（3）H?:β?=0（X無影響）；H?:β?≠0（X有影響）。t值=5.42，遠(yuǎn)大于t分布臨界值（α=0.05,df足夠大時(shí)約等于1.96）?；騊值遠(yuǎn)小于0.05。因此拒絕H?，認(rèn)為X對Y有顯著影響。13.（1）模型的擬合優(yōu)度較好。調(diào)整后的R2=0.90，說明模型解釋了約90%的因變量Y的變異。（2）檢驗(yàn)H?:β?=0。t值=7.5，對應(yīng)的P值遠(yuǎn)小于0.05。因此拒絕H?，廣告投入對銷售額有顯著正向影響。（3）X?變量系數(shù)8.0表示，在廣告投入（X?）保持不變的情況下，地區(qū)人口（X?）每增加一個(gè)單位（萬人），銷售額的期望值平均增加8.0個(gè)單位。四、簡答題14.多重共線性問題主要帶來：*回歸系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定且方差增大，導(dǎo)致t檢驗(yàn)結(jié)果不可靠，容易將顯著的自變量誤判為不顯著（第一類錯(cuò)誤減少，但第二類錯(cuò)誤增加）。*難以準(zhǔn)確解釋單個(gè)自變量的獨(dú)立影響，因?yàn)樽宰兞恐g高度相關(guān)，一個(gè)自變量的變化會(huì)伴隨其他自變量的變化。*模型的預(yù)測能力可能下降，即使每個(gè)自變量單獨(dú)看與因變量關(guān)系不顯著，但由于共線性，整體模型可能仍有較好的擬合度。15.可能考慮的模型：*趨勢性：指數(shù)平滑模型（特別是霍爾特線性趨勢模型或霍爾特-溫特斯模型）可以捕捉趨勢。*季節(jié)性：季節(jié)性分解的時(shí)間序列模型（如加法或乘法模型），或包含季節(jié)性虛擬變量的回歸模型，或ARIMA模型（需要差分去除趨勢和季節(jié)性后建模，或直接在ARIMA模型中指定季節(jié)性參數(shù)）。*兩者兼有：霍爾特-溫特斯指數(shù)平滑模型（Holt-WintersMethod）可以同時(shí)處理趨勢和季節(jié)性。選擇原因：這些模型能夠更好地捕捉時(shí)間序列數(shù)據(jù)的關(guān)鍵特征，從而提高預(yù)測的準(zhǔn)確性和可靠性。五、分析題16.（1）因素影響：培訓(xùn)時(shí)數(shù)（X?）對員工滿意度有統(tǒng)計(jì)上的顯著影響（P值=0.05<α=0.05）。工作經(jīng)驗(yàn)（X?）的影響不顯著（P值=0.12>α=0.05）。判斷依據(jù)：統(tǒng)計(jì)顯著性的判斷依據(jù)是P值。P值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平α（通常為0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量對因變量有顯著影響。（2）調(diào)整后的R2=0.65的含義：在控制了自變量X?（工作經(jīng)驗(yàn)）和X?（培訓(xùn)時(shí)數(shù)）的影響后，模型中這兩個(gè)自變量共同解釋了員工滿意度變異的65%。（3）預(yù)測滿意度：使用模型預(yù)測公式Y(jié)?=b?+b?X?+b?X?。代入b?=20.0,b?=0.8,b?=0.5，X?=3,X?=20：Y?=20.0+0.8*(3)+0.5*(20)=20.0+2.4+10.0=32.4。預(yù)測該員工滿意度評分為32.4分。（4）建議：不建議優(yōu)先考慮