2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策案例解析真題模擬題庫考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在一個(gè)包含100個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)集中，中位數(shù)的位置是（）。A.第25位B.第50位C.第75位D.第100位2.對于一個(gè)右偏態(tài)分布，其均值、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系通常是（）。A.均值<中位數(shù)<眾數(shù)B.均值>中位數(shù)>眾數(shù)C.均值<中位數(shù)>眾數(shù)D.均值>中位數(shù)<眾數(shù)3.已知總體服從正態(tài)分布，且方差已知，當(dāng)樣本量n增大時(shí)，樣本均值的抽樣分布的方差將（）。A.增大B.減小C.保持不變D.先增大后減小4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤是指（）。A.原假設(shè)為真，接受原假設(shè)B.原假設(shè)為真，拒絕原假設(shè)C.原假設(shè)為假，接受原假設(shè)D.原假設(shè)為假，拒絕原假設(shè)5.確定檢驗(yàn)的顯著性水平α，意味著確定了（）。A.第一類錯(cuò)誤的概率B.第二類錯(cuò)誤的概率C.總體參數(shù)的真實(shí)值D.樣本統(tǒng)計(jì)量的精確值6.在簡單線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是（）。A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)7.如果兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)r為-0.8，則說明這兩個(gè)變量之間存在（）。A.強(qiáng)正相關(guān)關(guān)系B.弱正相關(guān)關(guān)系C.強(qiáng)負(fù)相關(guān)關(guān)系D.弱負(fù)相關(guān)關(guān)系8.在多元線性回歸模型中，F(xiàn)檢驗(yàn)主要用于判斷（）。A.回歸系數(shù)b?是否顯著不為零B.回歸系數(shù)b?是否顯著不為零C.所有回歸系數(shù)是否同時(shí)顯著不為零D.殘差項(xiàng)是否服從正態(tài)分布9.在方差分析（ANOVA）中，如果檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了原假設(shè)，則說明（）。A.至少有一個(gè)總體均值與其他總體均值存在顯著差異B.所有總體均值都相等C.樣本之間存在隨機(jī)波動D.方差分析無效10.抽樣調(diào)查中，樣本容量的確定主要受以下因素影響，除了（）。A.總體標(biāo)準(zhǔn)差的大小B.允許的抽樣誤差C.可用的抽樣時(shí)間D.檢驗(yàn)的顯著性水平二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）1.一組數(shù)據(jù)包含5,8,12,15,18，其極差是________。2.當(dāng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則E(X)=________。3.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，從中抽取樣本，若要構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間，應(yīng)使用________統(tǒng)計(jì)量（假設(shè)σ2已知）。4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第二類錯(cuò)誤是指________。5.若變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0，則稱X和Y之間存在________關(guān)系。6.簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，β?被稱為________。7.多元線性回歸模型中，解釋變量X?,X?,...,Xk的個(gè)數(shù)k被稱為________。8.在單因素方差分析中，當(dāng)分組數(shù)k=3，樣本量總n=30時(shí)，自由度df?（處理）=________，df?（誤差）=________。9.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z滿足________。10.無偏估計(jì)是指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)的________。三、簡答題（每小題5分，共20分。）1.簡述中心極限定理的主要內(nèi)容及其重要性。2.解釋什么是相關(guān)系數(shù)，并說明其取值范圍及含義。3.簡述簡單線性回歸分析中，判斷回歸模型擬合優(yōu)度的主要指標(biāo)是什么，并說明其含義。4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如何平衡第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率？說明兩者之間存在怎樣的關(guān)系。四、計(jì)算與分析題（每小題10分，共30分。）1.某公司生產(chǎn)兩種型號的電池，為比較兩型號電池的壽命，隨機(jī)抽取A型號電池10只，測得平均壽命為50小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5小時(shí)；抽取B型號電池8只，測得平均壽命為45小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4小時(shí)。假設(shè)兩型號電池壽命均服從正態(tài)分布，且方差相等。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩種型號電池的平均壽命是否存在顯著差異。2.某研究者想探究廣告投入（X，單位：萬元）與產(chǎn)品銷售額（Y，單位：萬元）之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)。通過計(jì)算得到：∑X=50,∑Y=400,∑X2=300,∑Y2=18000,∑XY=2100。假設(shè)Y與X滿足簡單線性回歸模型。(1)求Y對X的簡單線性回歸方程。(2)計(jì)算回歸方程的判定系數(shù)R2，并解釋其含義。3.某農(nóng)場想比較四種不同肥料（F?,F?,F?,F?）對小麥產(chǎn)量的影響，在條件相似的田塊中施用不同肥料，分別收獲小麥，得到如下（單位：kg/畝）產(chǎn)量數(shù)據(jù)（已匯總）：-F?組：總產(chǎn)量=800,樣本量=4-F?組：總產(chǎn)量=900,樣本量=4-F?組：總產(chǎn)量=880,樣本量=4-F?組：總產(chǎn)量=920,樣本量=4假設(shè)小麥產(chǎn)量服從正態(tài)分布，且方差相等。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)四種肥料的施用對小麥產(chǎn)量是否有顯著影響。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.B5.A6.A7.C8.C9.A10.C二、填空題1.132.np3.Z4.原假設(shè)為假，拒絕原假設(shè)5.不相關(guān)6.回歸系數(shù)（斜率）7.自由度8.2,279.P(Z≤z)=0.5或P(Z≥-z)=P(Z≤z)=0.510.真實(shí)值三、簡答題1.中心極限定理指出，對于足夠大的樣本量n，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其均值等于總體均值μ，方差等于總體方差σ2除以樣本量n（即σ??2=σ2/n）。該定理的重要性在于：①無論總體分布形態(tài)如何，只要樣本量足夠大，樣本均值的分布總是近似正態(tài)分布，這為推斷統(tǒng)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)；②使得我們可以使用正態(tài)分布的性質(zhì)來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)，即使對于非正態(tài)總體。2.相關(guān)系數(shù)是度量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計(jì)量，記為r。其取值范圍在-1到1之間。|r|越接近1，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越強(qiáng)；|r|越接近0，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱；r=1表示完全正相關(guān)，r=-1表示完全負(fù)相關(guān)，r=0表示不存在線性相關(guān)關(guān)系。3.判定系數(shù)R2（或調(diào)整后的R2）是簡單線性回歸分析中判斷回歸模型擬合優(yōu)度的主要指標(biāo)。其含義是因變量Y的總變異中，可以被自變量X解釋的變異所占的比例。R2的取值范圍在0到1之間，R2越接近1，說明回歸模型對觀測數(shù)據(jù)的擬合程度越好，自變量X對因變量Y的解釋能力越強(qiáng)。4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，可以通過增加樣本量來平衡第一類錯(cuò)誤（α）和第二類錯(cuò)誤（β）的概率。增加樣本量可以減小抽樣誤差，從而使臨界區(qū)域更精確，從而可能減小β（即提高檢驗(yàn)效能1-β）。然而，第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率通常存在此消彼長的關(guān)系，即減小α可能導(dǎo)致β增大，反之亦然。在實(shí)際應(yīng)用中，需要在兩者之間根據(jù)研究目的和實(shí)際情境進(jìn)行權(quán)衡，例如，對于可能造成嚴(yán)重后果的假設(shè)，可能更傾向于控制α。四、計(jì)算與分析題1.檢驗(yàn)兩種型號電池平均壽命是否存在顯著差異，需檢驗(yàn)μA≠μB。設(shè)A型號電池壽命X~N(μA,σ2)，B型號電池壽命Y~N(μB,σ2)。H?:μA=μBH?:μA≠μB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x??-x??)/sqrt(s_p2*(1/n?+1/n?))其中，pooledvariances_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)計(jì)算s_p2=[(10-1)*52+(8-1)*42]/(10+8-2)=(45+28)/16=73/16=4.5625計(jì)算t=(50-45)/sqrt(4.5625*(1/10+1/8))=5/sqrt(4.5625*0.175)=5/sqrt(0.8)≈5/0.8944≈5.596自由度df=n?+n?-2=10+8-2=16查t分布表，α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)，df=16，得臨界值t_(α/2,df)=t_(0.025,16)≈2.120?；蛴?jì)算p值：p=2*P(T>|t|)=2*P(T>5.596)。由于t值遠(yuǎn)大于臨界值，p值遠(yuǎn)小于0.05。結(jié)論：因?yàn)閨t|=5.596>t_(0.025,16)=2.120，或p值<α=0.05，所以拒絕H?。認(rèn)為兩種型號電池的平均壽命存在顯著差異。2.(1)計(jì)算回歸系數(shù)：b?=[n∑XY-(∑X)(∑Y)]/[n∑X2-(∑X)2]b?=[10*2100-50*400]/[10*300-502]=[21000-20000]/[3000-2500]=1000/500=2b?=y?-b?x?，其中y?=∑Y/n=400/10=40,x?=∑X/n=50/10=5b?=40-2*5=40-10=30回歸方程為Y?=30+2X。(2)計(jì)算R2：總平方和SST=∑Y2-(∑Y)2/n=18000-4002/10=18000-16000=2000回歸平方和SSR=b?2*(∑X2-(∑X)2/n)=22*(3000-2500)=4*500=2000殘差平方和SSE=SST-SSR=2000-2000=0R2=SSR/SST=2000/2000=1。R2的含義是：在這10組數(shù)據(jù)中，因變量Y的總變異完全可以被自變量X通過該線性回歸模型解釋。3.檢驗(yàn)四種肥料的施用對小麥產(chǎn)量是否有顯著影響，需檢驗(yàn)μ?=μ?=μ?=μ?。設(shè)F?,F?,F?,F?組產(chǎn)量分別為X?,X?,X?,X?，且X?~N(μ?,σ2)。H?:μ?=μ?=μ?=μ?H?:至少有兩個(gè)總體均值不等總樣本量N=n?+n?+n?+n?=4+4+4+4=16各組樣本均值：x??=800/4=200,x??=900/4=225,x??=880/4=220,x??=920/4=230總均值：x?=(800+900+880+920)/16=3500/16=218.75計(jì)算各項(xiàng)平方和：SSA（組間平方和）=n?(x??-x?)2+n?(x??-x?)2+n?(x??-x?)2+n?(x??-x?)2SSA=4*(200-218.75)2+4*(225-218.75)2+4*(220-218.75)2+4*(230-218.75)2SSA=4*(-18.75)2+4*(6.25)2+4*(-1.25)2+4*(11.25)2SSA=4*351.5625+4*39.0625+4*1.5625+4*126.5625=1406.25+156.25+6.25+506.25=2075SSB（組內(nèi)平方和，即總平方和）=(∑X?)2/4+(∑X?)2/4+(∑X?)2/4+(∑X?)2/4-(∑X)2/16SSB=8002/4+9002/4+8802/4+9202/4-35002/16SSB=160000+202500+774400+846400-12250000/16SSB=4070300-765625=3305675SSE（誤差平方和）=SSB-SSA=3305675-2075=3304520計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：MSB=SSA/(k-1)=2075/(4-1)=2075/3≈691.67MSE=SSE/(N-k)=3304520/(16-4)=3304520/12