高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古呼和浩特市旗縣四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.2.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】由橢圓方程可知，解得.又橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離和為，所以M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：B.3.如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A.4.若直線與直線平行，則（）A. B.0 C.1 D.1或【答案】C【解析】直線與直線平行，故，解得，故選：C.5.為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（）A.18 B.150 C.36 D.54【答案】C【解析】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．6.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以設(shè)向量與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為，故選：C．7.設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）.A. B.或 C. D.【答案】D【解析】∵直線方程為，化為一般式得，∴原點(diǎn)到直線的距離為，∴，即，將代入得：，∴，得，解得或，∵，∴（舍去）.故選：D.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線于點(diǎn)，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故，的最小值為.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，，，則（

）A. B.在上的投影向量為C. D.向量共面【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，，在上的投影向量為，B正確；對(duì)于C，，與不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，共面，D正確.故選：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有種排法 B.若甲不排第一個(gè)共有種排法C.若甲與丙不相鄰，共有種排法 D.若甲在乙的前面，共有種排法【答案】ACD【解析】甲、乙、丙等人排成一列，對(duì)于A選項(xiàng)，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個(gè)大元素，與其余四個(gè)元素排序，共有種排法，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若甲不排第一個(gè)，則甲有種排法，其余個(gè)人全排，共有種，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成個(gè)空中的個(gè)空，所以，共有種排法，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若甲在乙的前面，只需在個(gè)位置中先選兩個(gè)位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個(gè)人全排，共有種排法，D對(duì).故選：ACD.11.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說法正確的有（）A.曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸B.曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是C.曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值是D.若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，所以曲線的圖象如圖所示，對(duì)于A，由圖可知曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，曲線由4個(gè)半圓組成，其周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為，故C正確；對(duì)于D，到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線上一點(diǎn)到直線的距離最小為，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量，若，則實(shí)數(shù)_______．【答案】10【解析】因?yàn)?，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，解得：.13.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意得的展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中，含的項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.14.已知圓的方程為，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】設(shè)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，有，得，在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，點(diǎn)軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，，所以的最小值為.四、解答題（共77分．第15題13分，第16、17題每題各15分，第18、19題每題各17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.設(shè)，已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因?yàn)樗粤?，則有，即.（2）因?yàn)檎归_式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，所以有，所以.（3）由（2）可得，其展開式的通項(xiàng)公式為，所以是奇數(shù)次方的項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，是偶數(shù)次方的項(xiàng)的系數(shù)為正，又當(dāng)時(shí)，，所以.16.已知圓及直線.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求過點(diǎn)并與圓相切的切線的一般式方程.解：（1）由已知圓，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，解得或（舍）；（2）由（1）得，則圓，圓心，半徑，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，此時(shí)，解得，則直線方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足直線與圓相切，綜上所述，切線方程為或.17.已知點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）已知點(diǎn)，求的最小值．解：（1）雙曲線的漸近線方程為，由在雙曲線上，得，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為，而，所以，即點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).（2）由（1）知，，則，解得或，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.18.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面AEF的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，平面，平面，∴平面.（2）解：因?yàn)椋?，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，,,分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，有，，，可得，故平面與平面AEF的夾角的余弦值為．19.定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標(biāo)系原點(diǎn))，試解決下列問題：（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）設(shè)直線是圓任意一條切線，且交橢圓于兩點(diǎn)，求的值；（3）設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)總在某個(gè)定圓上，并寫出該定圓的方程.解：（1）由橢圓，知.根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.（2）設(shè)，則.直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線.若，由，解得，此時(shí).若，同理得：.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè).由，得，有，又直線是圓的切線，故，可得.∴，則，而.∴，即.綜上，恒有.（3）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，設(shè)，則.直線：有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論.若直線的斜率不存在，即點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)在軸上，有.∴，，且，由，解得.若直線的斜率都存在，設(shè)，則.由，得，有；同理，得.于是，.由，可得.因此，總有，即點(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓上.∴該定圓方程為圓.內(nèi)蒙古呼和浩特市旗縣四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.2.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】由橢圓方程可知，解得.又橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離和為，所以M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：B.3.如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A.4.若直線與直線平行，則（）A. B.0 C.1 D.1或【答案】C【解析】直線與直線平行，故，解得，故選：C.5.為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（）A.18 B.150 C.36 D.54【答案】C【解析】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．6.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以設(shè)向量與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為，故選：C．7.設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）.A. B.或 C. D.【答案】D【解析】∵直線方程為，化為一般式得，∴原點(diǎn)到直線的距離為，∴，即，將代入得：，∴，得，解得或，∵，∴（舍去）.故選：D.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線于點(diǎn)，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故，的最小值為.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，，，則（

）A. B.在上的投影向量為C. D.向量共面【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，，在上的投影向量為，B正確；對(duì)于C，，與不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，共面，D正確.故選：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有種排法 B.若甲不排第一個(gè)共有種排法C.若甲與丙不相鄰，共有種排法 D.若甲在乙的前面，共有種排法【答案】ACD【解析】甲、乙、丙等人排成一列，對(duì)于A選項(xiàng)，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個(gè)大元素，與其余四個(gè)元素排序，共有種排法，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若甲不排第一個(gè)，則甲有種排法，其余個(gè)人全排，共有種，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成個(gè)空中的個(gè)空，所以，共有種排法，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若甲在乙的前面，只需在個(gè)位置中先選兩個(gè)位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個(gè)人全排，共有種排法，D對(duì).故選：ACD.11.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說法正確的有（）A.曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸B.曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是C.曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值是D.若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，所以曲線的圖象如圖所示，對(duì)于A，由圖可知曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，曲線由4個(gè)半圓組成，其周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為，故C正確；對(duì)于D，到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線上一點(diǎn)到直線的距離最小為，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量，若，則實(shí)數(shù)_______．【答案】10【解析】因?yàn)?，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，解得：.13.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意得的展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中，含的項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.14.已知圓的方程為，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】設(shè)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，有，得，在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，點(diǎn)軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，，所以的最小值為.四、解答題（共77分．第15題13分，第16、17題每題各15分，第18、19題每題各17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.設(shè)，已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因?yàn)樗粤?，則有，即.（2）因?yàn)檎归_式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，所以有，所以.（3）由（2）可得，其展開式的通項(xiàng)公式為，所以是奇數(shù)次方的項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，是偶數(shù)次方的項(xiàng)的系數(shù)為正，又當(dāng)時(shí)，，所以.16.已知圓及直線.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求過點(diǎn)并與圓相切的切線的一般式方程.解：（1）由已知圓，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，解得或（舍）；（2）由（1）得，則圓，圓心，半徑，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，此時(shí)，解得，則直線方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足直線與圓相切，綜上所述，切線方程為或.17.已知點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）已知點(diǎn)，求的最小值．解：（1）雙曲線的漸近線方程為，由在雙曲線上，得，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為，而，所以，即點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)