2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)算法設(shè)計能力測試試卷注意事項本試卷共6道大題，滿分100分，考試時間90分鐘。作答時需寫出算法設(shè)計的完整步驟，包括問題分析、流程圖繪制說明、偽代碼實現(xiàn)及復(fù)雜度分析。涉及編程實現(xiàn)時，可使用類Python語法，無需考慮具體語言環(huán)境差異。一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列關(guān)于算法特征的描述中，錯誤的是（）A.有窮性：算法必須在有限步驟內(nèi)結(jié)束B.確定性：每個步驟都有明確的定義，無歧義C.輸入：算法必須包含至少一個輸入D.輸出：算法必須產(chǎn)生至少一個輸出2.以下問題中，適合用遞歸算法解決的是（）A.計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)B.查找數(shù)組中的最小值C.漢諾塔問題D.統(tǒng)計字符串中字符出現(xiàn)次數(shù)3.對長度為n的有序數(shù)組進行二分查找，最壞情況下的時間復(fù)雜度為（）A.O(1)B.O(logn)C.O(n)D.O(n2)4.下列排序算法中，平均時間復(fù)雜度為O(nlogn)的是（）A.冒泡排序B.插入排序C.快速排序D.選擇排序5.在流程圖中，表示“判斷條件”的圖形符號是（）A.矩形B.菱形C.圓形D.平行四邊形二、填空題（每空2分，共10分）算法的時間復(fù)雜度是指算法執(zhí)行過程中所需__________的量度，通常用__________符號表示。棧是一種__________（選填“先進先出”或“先進后出”）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，隊列是一種__________（選填“先進先出”或“先進后出”）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。用輾轉(zhuǎn)相除法計算48和36的最大公約數(shù)，第一步的算式是__________。三、簡答題（每題5分，共10分）簡述“貪心算法”的基本思想，并舉例說明其在生活中的應(yīng)用場景。解釋“窮舉法”與“迭代法”的區(qū)別，各舉一個數(shù)學(xué)問題的例子。四、流程圖分析題（10分）題目：如下流程圖描述了一個用于計算“斐波那契數(shù)列第n項”的算法，請根據(jù)流程圖回答問題：開始|輸入n|ifn==1orn==2:|輸出1|結(jié)束|else:|a=1,b=1,i=3|whilei<=n:|c=a+b|a=b|b=c|i=i+1|輸出b|結(jié)束問題：（1）當(dāng)輸入n=5時，輸出結(jié)果是多少？（3分）（2）該算法的時間復(fù)雜度是多少？（3分）（3）若將“while循環(huán)”替換為“for循環(huán)”，請寫出修改后的偽代碼片段。（4分）五、算法設(shè)計題（共35分）第1題（15分）：素數(shù)判斷器問題描述：設(shè)計一個算法，判斷用戶輸入的正整數(shù)m是否為素數(shù)。素數(shù)是指大于1且除了1和自身外無法被其他數(shù)整除的整數(shù)。要求：（1）寫出問題分析（3分）；（2）繪制算法流程圖（4分）；（3）實現(xiàn)偽代碼（5分）；（4）分析最壞情況下的時間復(fù)雜度（3分）。第2題（20分）：校園圖書借閱統(tǒng)計問題描述：某學(xué)校圖書館記錄了學(xué)生的借閱數(shù)據(jù)，格式為（學(xué)號，借閱次數(shù)）?，F(xiàn)需對數(shù)據(jù)進行處理，輸出借閱次數(shù)排名前三的學(xué)生學(xué)號及次數(shù)（若存在并列情況，按學(xué)號升序排列）。輸入示例：[(202301,5),(202302,3),(202303,5),(202304,7),(202305,5)]輸出示例：202304:7,202301:5,202303:5要求：（1）寫出問題分析（4分）；（2）設(shè)計排序規(guī)則并說明理由（4分）；（3）實現(xiàn)偽代碼（8分）；（4）說明算法的空間復(fù)雜度（4分）。六、綜合應(yīng)用題（20分）問題描述：某快遞公司為優(yōu)化配送路線，需計算從倉庫（A點）到客戶（B點）的最短路徑。已知地圖上有若干個途經(jīng)點，各點之間的距離用鄰接矩陣表示（如右表），其中∞表示兩點無直接通路。ABCDA0103∞B∞0∞2C∞205D∞∞∞0要求：（1）使用Dijkstra算法計算A點到B點的最短路徑及距離（12分）；（2）若C點因道路施工無法通行，修改鄰接矩陣后重新計算最短路徑（8分）。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C（算法可以沒有輸入，如輸出“HelloWorld”的算法）C（漢諾塔問題具有遞歸結(jié)構(gòu)，大問題可分解為相似子問題）B（二分查找每次將搜索范圍減半）C（快速排序的平均復(fù)雜度為O(nlogn)，最壞情況為O(n2)）B二、填空題計算工作量，大O（或O）先進后出，先進先出48÷36=1余12五、算法設(shè)計題第1題參考偽代碼defis_prime(m):ifm<=1:returnFalseifm==2:returnTrueifm%2==0:returnFalseforiinrange(3,int(m**0.5)+1,2):ifm%i==0:returnFalsereturnTrue復(fù)雜度分析：最壞情況下需遍歷到√m，時間復(fù)雜度為O(√m)。命題說明：本試卷立足初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，融合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（