2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)符號運用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合(A={x\midx^2-3x+2=0})，(B={x\midx\in\mathbb{N}^*\text{且}x<3})，則下列關(guān)系正確的是（）A.(A\subsetneqqB)B.(B\subsetneqqA)C.(A=B)D.(A\capB=\varnothing)2.命題(p:\forallx\in\mathbb{R},x^2+1>0)的否定是（）A.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+1\leq0)B.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+1<0)C.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1\leq0)D.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1<0)3.函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)})的定義域是（）A.((1,2])B.([1,2))C.((1,+\infty))D.([2,+\infty))4.已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec=(1,m+1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-\frac{2}{3})B.(\frac{2}{3})C.(-2)D.(2)5.復(fù)數(shù)(z=\frac{2i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.已知數(shù)列({a_n})為等差數(shù)列，(S_n)為其前(n)項和，若(a_3+a_7=18)，則(S_9=)（）A.81B.72C.54D.457.函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）8.若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)（）A.3B.(\frac{1}{3})C.-3D.(-\frac{1}{3})9.已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.210.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)11.已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)12.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則(a+b=)（）A.-15B.-13C.15D.13二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.二項式((x-\frac{2}{x})^6)的展開式中常數(shù)項是________（用數(shù)字作答）。14.若變量(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq4,\x-y\geq0,\y\geq1,\end{cases})則(z=2x+y)的最大值是________。15.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2)，(b=\sqrt{3})，(A=\frac{\pi}{4})，則(\sinB=)________。16.已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a^2-1)，若關(guān)于(x)的不等式(f(f(x))<0)的解集為空集，則實數(shù)(a)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列({b_n})滿足(b_1=1)，(b_{n+1}=2b_n+a_n)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。18.（本小題滿分12分）在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AD=2)，(AB=1)，(E)是(PD)的中點。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求直線(AC)與平面(PCD)所成角的正弦值。19.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機抽取100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績（單位：分）分成([50,60))，([60,70))，([70,80))，([80,90))，([90,100])五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中(a)的值；（2）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）若從成績在([50,60))和([90,100])的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績都在([90,100])的概率。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦點分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，過(F_1)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點，且(\triangleABF_2)的周長為(8\sqrt{2})。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設(shè)點(M(0,-1))，若直線(MA,MB)的斜率之和為2，求直線(l)的方程。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(e)為自然對數(shù)的底數(shù)，(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若對任意(x\geq0)，都有(f(x)\geq\frac{1}{2}x^2)，求實數(shù)(a)的取值范圍。22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha,\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標原點(O)為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(C_2)的極坐標方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的極坐標方程和曲線(C_2)的直角坐標方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）與曲線(C_1,C_2)分別交于(A,B)兩點（異于極點），求(|AB|)的值。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題C2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.A10.B11.A12.B二、填空題-16014.715.(\frac{\sqrt{6}}{4})16.((-\infty,0]\cup[2,+\infty))三、解答題（示例）17.解：（1）因為({a_n})是首項(a_1=1)，公差(d=2)的等差數(shù)列，所以(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1)?！?分）（2）由(b_{n+1}=2b_n+a_n=2b_n+2n-1)，得(b_{n+1}+2(n+1)+1=2(b_n+2n+1))，令(c_n=b_n+2n+1)，則(c_{n+1}=2c_n)，且(c_1=b_1+2+1=4)，所以({c_n})是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，故(c_n=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1})，因此(b_n=2^{n+1}-2n-1)，……（7分）所以(S_n=\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n(2^{k+1}-2k-1)=\sum_{k=1}^n2^{k+1}-2\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1)(=(2^{n+2}-4)-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n=2^{n+2}-n^2-2n-4)。……（10分）18.解：（1）取(PC)的中點(F)，連接(EF,BF)。因為(E,F)分別是(PD,PC)的中點，所以(EF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)。又因為四邊形(ABCD)是矩形，所以(AB\parallelCD)且(AB=CD)，因此(EF\parallelAB)且(EF=AB)，故四邊形(ABFE)是平行四邊形，所以(AE\parallelBF)。因為(AE\not\subset)平面(PBC)，(BF\subset)平面(PBC)，所以(AE\parallel)平面(PBC)?！?分）（2）以(A)為原點，(AB,AD,AP)所在直線分別為(x,y,z)軸建立空間直角坐標系，則(A(0,0,0))，(C(1,2,0))，(P(0,0,2))，(D(0,2,0))，(\vec{AC}=(1,2,0))，(\vec{PC}=(1,2,-2))，(\vec{PD}=(0,2,-2))。設(shè)平面(PCD)的法向量為(\vec{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{PC}=0,\\vec{n}\cdot\vec{PD}=0,\end{cases})即(\begin{cases}x+2y-2z=0,\2y-2z=0,\end{cases})令(z=1)，得(y=1)，(x=0)，所以(\vec{n}=(0,1,1))。設(shè)直線(AC)與平面(PCD)所成角為(\theta)，則(\sin\theta=|\co