2023高考數(shù)學(xué)專項練習試題

高考考查的不僅僅是一些基礎(chǔ)學(xué)問，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，肯定要把握肯

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高考數(shù)學(xué)專項練習試題

一、選擇題

L若點P是兩條異面直線I,m外的任意?點，貝人）

A.過點P有且僅有一條直線與I,m都平行

B.過點P有且僅有一條直線與I,m都垂直

C.過點P有且僅有一條直線與I,m都相交

D.過點P有且僅有一條直線與I,m都異面

答案：B命題立意：本題考查異面直線的幾何性質(zhì)，難度較小.

解題思路：由于點P是兩條異面直線I,m外的任意一點，則過點

P有且僅有一條直線與I,m都垂直，故選B.

2.如圖，P是正方形ABCD夕|、一點，且PA平面ABCD,則平面PAB

與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是（）

A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直

D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直

答案：A解題思路：DA±AB,DAPA,ABnPA=A,

DA_L平面PAB,又DA平面PAD,平面PAD平面PAB.同理可證平

面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長方體中，并把平面PBC補全

為平面PBCD1,把平面PAD補全為平面PADDL易知CD1D即為兩個

平面所成二面角的平面角，CD1D=APB,

CD1D900,故平面PAD與平面PBC不垂直.

3.設(shè)a,p分別為兩個不同的平面，直線IQ,則〃甲〃是〃鄧〃成立的（

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判

定與充分必要條件的推斷，意在考查考生的規(guī)律推理力量.

解題思路：依題意，由I。，la可以推出a。;反過來，由a。，la不能

推出他.因此‘邛〃是''鄧〃成立的充分不必要條件，故選A.

4.若m,n為兩條不重合的直線，a,0為兩個不重合的平面，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.若m,n都平行于平面a,則m,n肯定不是相交直線

B.若m,n都垂直于平面a,則m,n肯定是平行直線

C.已知a,。相互垂直，m,n相互垂直，若ma,則n。

D.m,n在平面a內(nèi)的射影相互垂直，則m,n相互垂直

答案：B解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系.

在A中：由于平行于同一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故A

為假命題;在B中：由于垂直于同一平面的兩直線平行，故B為真命

題;在C中：n可以平行于（3,也可以在。內(nèi)，也可以與。相交，故C

為假命題;在D中：m,n也可以不相互垂直，故D為假命題.故選B.

5.如圖所不，已知止方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,長為2E勺線

段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD

內(nèi)運動，則MN的中點的軌跡的面積為（）

A.4nB.2n

C.nD.-n

答案：D解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的

關(guān)系.如圖可知，端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，連接ND,由ND,

DM,MN構(gòu)成一個直角三角形，設(shè)P為NM的中點，依據(jù)直角三角

形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點P

到點D的距離始終等于1.故點P的軌跡是一個以D為中心，半徑為1

的球的球面，其面積為.

技巧點撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問題，要擅長把立體幾何

問題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解

析幾何等學(xué)問去求解，實現(xiàn)立體幾何到解近幾何的過渡.

6.如圖是一幾何體的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E,

F分別為PA,PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：

直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線

EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.lB.1

C.3D.4

答案：B解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的

關(guān)系.同出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是

異面直線，不正確，由于E,F分別是PA與PD的中點，可知EFAD,

所以EFBC,直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面

直線，滿意異面直線的定義，正確;直線EF平面PBC,由E,F是PA

與PD的中點，可知EFAD,所以EFBC,由于EF平面PBC,BC平面PBC,

所以推斷是正確的油題中條件不能判定平面BCE平面PAD,故不正

確.故選B.

技巧點撥：翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起

來，然后考查立體兒何的常見問題：垂直、角度、距離、應(yīng)用等問題.

此類問題考查同學(xué)從二維到三維的升維力量，考查同學(xué)空間想象力量.

解決該問題時，不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念，還要留意到在

翻折的過程中哪些量是不變的，哪些量是變化的.

二、填空題

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD

平面CEFB,CE=1,AED=30°,則異面直線BC與AE所成角的大小為

答案：45°解題思路：由于BCAD,所以EAD就是異面直線BC與

AE所成的角.

由于平面ABCD平面CEFB,且ECCB,

所以EC平面ABCD.

在RtECD中，EC=1,CD=1,故ED==.

在AED中，AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,BPsinEAD===.

乂由于EAD￡(O°,90°),所以EAD=45°.

故異面直線BC與AE所成的角為45。.

8.給出命題：

異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線；

兩異面直線a,b,假如a平行于平面a,那么b不平行于平面a;

兩異面直線a,b,假如a平面a,那么b不垂直于平面a;

兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不行能是兩條平行直線.

上述命題中，真命題的序號是.

答案：解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的

關(guān)系.依據(jù)異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相

交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個平面，

故命題為假命題;若ba,則ab,即a,b共面，這與a,b為異面直線

沖突，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可以是:

兩條平行直線、兩條相交直線、一點始終線，故命題為假命題.

9.假如一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面

的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個正六棱錐的各個頂點都在

半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的最大值為.

答案：16命題立意：本題以球的內(nèi)接組合體問題引出，綜合考查

了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)最值的(方法)，同時也有

效地考查了考生的運算求解力量和數(shù)學(xué)建模力量.

解題思路：設(shè)球心究竟面的距離為x,則底面邊長為，高為x+3,

正六棱錐的體積V=J9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中04x3,則

V'=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=l或x=-3(舍)，故

Vmax=V(l)=(-l-3+9+27)=16.

10.已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心0

在AB上，P。平面ABC,=,則三棱錐與球的體積之比為.

答案：命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計

算方法，意在考查考生的空間想象力量與基本運算力量.

解題思路：依題意，AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,

三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=POSABC=_R_R_R=R3.而球的體積V球

=R3,因止匕VP-ABCV球二R3R3二.

三、解答題

11.如圖，四邊形ABCD與AZABBZ都是正方形，點E是NA的中點,

A'A平面ABCD.

⑴求證：At平面BDE;

(2)求證：平面A'AC平面BDE.

解題探究：第一問通過三角形的中位線證明出線線平行，從而證明

出線面平行;其次問由NA與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線

垂直證明出BD與平面/VAC垂直，從而得到平面與平面垂直.

解析：⑴設(shè)AC交BD于M,連接ME.

四邊形ABCD是正方形，

M為AC的中點.

又E為A#A的中點,

ME為AAC的中位線，

MEIIA'C.

又ME?平面BDE,

A'C?平面BDE,

AXII平面BDE.

(2)-/四邊形ABCD為正方形，BD±AC.

:A'A_L平面ABCD,BD平面ABCD,

AZA±BD.

又ACnAzA=A,BD_L平面AZAC.

BD?平面BDE,

平面A'AC平面BDE.

12.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,

ADDC,ABDC.

⑴求證：D1CAC1;

(2)設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使DIE平面A1BD,并說

明理由.

命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查

考生的空間想象力量和推理論證力量.通過已知條件中的線線垂直關(guān)

系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關(guān)系.并通

過線段的長度關(guān)系，借助題目中線段的中點和三角形的中位線查找出

線線平行，證明出線面的平行關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會作圖、轉(zhuǎn)

化、構(gòu)造.

解析：⑴在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接CID,DC=DD1,

四邊形DCC1D1是止方形，

DC1XD1C.

又ADDC,ADDD1,DCnDDl=D,

AD_L平面DCC1D1,

又D1C平面DCC1D1,

ADXD1C.

,/AD?平面ADC1,DC1平面ADC1,

且ADcDCl=D,

D1C_L平面ADCL

又AC1平面ADC1,

D1CXAC1.

⑴題圖

(2)題圖

(2)連接ADLAE：DIE,設(shè)ADlcAlD=M,BDnAE=N,連接MN.

平面AD1EG平面A1BD=MN,

要使DIE平面A1BD,

可使MND1E,又M是AD1的中點，

則N是AE的中點.

又易知ABNM△EDN,

AB=DE.

即E是DC的中點.

綜上所述，當E是DC的中點時，可使DIE平面A1BD.

13.已知直三棱柱ABC-A'BC滿意BAC=90°,AB=AC=AAZ=2,點M,N

分別為A'B和B'C’的中點.

⑴證明:MN平面A'ACC';

⑵求三棱錐C-MNB的體積.

命題立意：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)

學(xué)問,意在考查考生的空間想象力量、推理論證力量和運算求解力量.

解析：⑴證明：如圖,連接AB，，AC,

四邊形ABB，Az為矩形，M為AB的中點，

AB，與AB交于點M,且M為AB咱勺中點，又點N為BC的中點.

MNIIAC'.

又MN平面A7\CU且AU平面A'ACC,

MNII平面A'ACC.

(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN,

BAC=90°,BC==2,

又三棱柱ABC-AEU為直三棱柱，且AA=4,

SABCN=_2_4=4.

AB=AC=2,BAC=90°,點N為BC的中點,

A,N±B/C/,A'N=.

又BB」平面ABU,

A'N_LBB',

A，NJ_平面BCN.

又M為AB的中點，

M到平面BCN的距離為，

VC-MNB=VM-BCN=_4_=.

14.如圖，在四棱維P-ABCD中，平