15.3.1等腰三角形第十五章

軸對(duì)稱課時(shí)1等腰三角形的性質(zhì)1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).(重點(diǎn))2.經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過(guò)程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn))定義及相關(guān)概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角等腰三角形除了兩腰相等之外還有其他的性質(zhì)嗎？下面我們一起來(lái)探究一下.如圖，在紙上畫一個(gè)等腰三角形，把它剪下來(lái)將這個(gè)等腰三角形對(duì)折，使它的兩腰重合，再展開，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠BAD=∠CAD∠ADB=∠ADCBACD性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）如何證明“等邊對(duì)等角”呢？由這些重合的線段和角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說(shuō)一說(shuō)你的猜想.BACDABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.思考：如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？如何證明兩個(gè)角相等呢？可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”來(lái)證.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.方法二：作頂角的平分線ABCD證明：等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).下面我們小組合作來(lái)證明“三線合一”已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.ABCD∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，即AD⊥BC.這也就證明了等腰三角形ABC底邊上的中線AD平分頂角∠A并垂直于底邊BC.即等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高與相互重合

ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.符號(hào)語(yǔ)言：ABCD例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x知識(shí)點(diǎn)撥：在含多個(gè)等腰三角形的圖形中求角時(shí)，常常利用方程思想，通過(guò)內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.今天我們收獲了哪些知識(shí)？

1.等腰三角形有哪些性質(zhì)的？

2.本節(jié)課你學(xué)到了哪些證明線段相等或角相等的方法？1.等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°知識(shí)點(diǎn)撥：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A2．如圖，a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(

)A．25°B．65°C．70°D．75°B3.如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°

B．30°

C．70°

D．50°A4.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B=30°，求∠BAD和∠ADC的度數(shù).ABCD解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∴

∠C=

∠B=30°，∠BAD=∠DAC，∠ADC=90°.∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∴=60°.15.3.1等腰三角形課時(shí)2等腰三角形的判定1.會(huì)闡述、推證等腰三角形的判定定理.2.會(huì)運(yùn)用等腰三角形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.1.等腰三角形的性質(zhì)有哪些？（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（三線合一）.2.應(yīng)用這些性質(zhì)的前提是什么？前提是這個(gè)三角形是等腰三角形.3.如何判定一個(gè)三角形是等腰三角形？定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

如圖，位于

海上B,C兩處的兩艘救生船接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？ABC這是一個(gè)生活實(shí)際問(wèn)題，如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題呢？關(guān)鍵：兩艘救生船的航程是否相等？在△ABC中,已知∠B=∠C,那么它們所對(duì)的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CAB（1）畫一個(gè)△ABC，其中∠B=∠C=30°，請(qǐng)你量一量AB與AC的長(zhǎng)度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：AB=AC條件：∠B=∠C=30°（2）畫一個(gè)△ABC，其中∠B=∠C，此時(shí)，AB與AC的數(shù)量關(guān)系會(huì)改變嗎？你能得出什么結(jié)論？條件：∠B=∠C發(fā)現(xiàn)：AB=AC命題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.思考：如何證明上述命題？請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證.CAB已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.（正確）兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.（錯(cuò)誤）全等構(gòu)造全等三角形作∠BAC的角平分線AD作AE⊥BC∠B=∠CAB=AC（輔助線）分析：已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC添加“BC邊上的中線AF

”這條輔助線可以嗎？SSA(╳)在△ABD和△ACD中，∠1=∠2，

∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.證明：過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.△ABC是等腰三角形.證法一：

∴∠1=∠2，在△ABE和△ACE中

，

∴∠AEB=∠AEC

=90°，證法二：證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E.∠AEB=∠AEC，∠B=∠C，AE=AE，

∴AB=AC.△ABC是等腰三角形.

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.BCA∴AB=AC.()即△ABC為等腰三角形.等腰三角形判定定理∵∠B=∠C，()在△ABC中，

已知等角對(duì)等邊辨析∵∠1=∠2∴BD=CD∵∠1=∠2∴CD=BC都不正確，因?yàn)閳D1、圖2中相等的兩個(gè)角都不在同一個(gè)三角形中圖1圖2等腰三角形的性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系性質(zhì)判定條件結(jié)論簡(jiǎn)稱符號(hào)語(yǔ)言在一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等這兩條邊所對(duì)的兩個(gè)角相等這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊相等等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠B=∠C∴AB=AC

例1求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．

題設(shè)：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊.結(jié)論：那么這個(gè)三角形是等腰三角形.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB

=AC．AD∥BC∠1=∠B∠2=∠C∠1=∠2∠B=∠CAB=AC分析：∠B=∠C?證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB

=AC．例2如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF∥BC.求證：△AEF的周長(zhǎng)等于AB+AC.分析：△AEF的周長(zhǎng)AE+EF+AFEOFO+AE++AFEBFCAB+AC++AFAE+EF∥BC∠2=∠3BO平分∠ABC∠1=∠2∠1=∠3EB=EO同理可得FC=FO證明：∵

BO平分∠ABC，

∴∠1=∠2，又∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴EB=EO（等角對(duì)等邊），同理可得FC=FO

=AE+EF+AF

=AE+EO+FO+AF

又∵EB=EO，F(xiàn)C=FO例2如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)