北師大版(2019)必修(第一冊(cè))數(shù)學(xué)

期中考點(diǎn)大串講串講

04第三章空間向量與立體幾何考場(chǎng)練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視考點(diǎn)1.空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面考點(diǎn)1.空間直角坐標(biāo)系垂直正方向正方向正方向考點(diǎn)2.點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)P?(x，y，z)P(x，y，z)xyz考點(diǎn)2.點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(3)過點(diǎn)P作垂直于坐標(biāo)軸的平面，與三條坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，實(shí)際上就是作點(diǎn)P在各條坐標(biāo)軸上的投影，即從點(diǎn)P向坐標(biāo)軸引垂線，垂足分別為點(diǎn)A，B，C.設(shè)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)．考點(diǎn)3.空間兩點(diǎn)間的距離公式考點(diǎn)4.空間向量的概念大小方向大小考點(diǎn)4.空間向量的概念有向線段AB考點(diǎn)4.空間向量的概念方向相同且模相等的向量無關(guān)方向相反且模相等的向量－a考點(diǎn)4.空間向量的概念平行或重合0重合任意考點(diǎn)4.空間向量的概念a∥α同一平面考點(diǎn)5.空間向量的加法考點(diǎn)5.空間向量的加法考點(diǎn)6.空間向量的減法a＋(b＋c)b＋aa－b考點(diǎn)7.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算|λ||a|考點(diǎn)7.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb考點(diǎn)8.共線向量基本定理a＝λb考點(diǎn)9.兩個(gè)向量的夾角非零∠AOB〈a，b〉考點(diǎn)9.兩個(gè)向量的夾角相同相反互相垂直考點(diǎn)10.兩個(gè)向量的數(shù)量積|a||b|cos〈a，b〉a·b|a||b|cos〈a，b〉考點(diǎn)10.兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b＝0b·aa·b＋a·cλ(a·b)考點(diǎn)11.投影向量與投影數(shù)量||b|cos〈a，b〉|考點(diǎn)11.投影向量與投影數(shù)量><＝考點(diǎn)12.空間向量基本定理不共面唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)考點(diǎn)12.空間向量基本定理不共面a，b，c{a，b，c}a，b，c考點(diǎn)13.標(biāo)準(zhǔn)正交基互相垂直考點(diǎn)13.標(biāo)準(zhǔn)正交基(x，y，z)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)終點(diǎn)起點(diǎn)考點(diǎn)14.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z2考點(diǎn)15.空間向量平行(共線)和垂直的條件λx2λy2λz2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0考點(diǎn)16.空間向量長(zhǎng)度與夾角的坐標(biāo)表示考點(diǎn)17.距離的定義垂線段垂線段垂線段兩個(gè)平行平面考點(diǎn)18.點(diǎn)到平面的距離一個(gè)法向量參考向量投影向量投影向量考點(diǎn)19.點(diǎn)到直線的距離02典例透析考點(diǎn)1.確定空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

考點(diǎn)1.確定空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

解考點(diǎn)1.確定空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

解考點(diǎn)2.已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置解解法一：依據(jù)平移的方法，為了作出點(diǎn)M(4，－2，5)，可以按如下步驟進(jìn)行：①在x軸上取坐標(biāo)為4的點(diǎn)M1；②將M1在xOy平面內(nèi)沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)M2；③將點(diǎn)M2沿z軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)M，如圖所示．解【例題2】

在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)M(4，－2，5)．考點(diǎn)2.已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置解解法二：以O(shè)為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造三條棱長(zhǎng)分別為4，2，5的長(zhǎng)方體，使此長(zhǎng)方體在點(diǎn)O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上，則長(zhǎng)方體中與頂點(diǎn)O相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M.解法三：在x軸上取坐標(biāo)為4的點(diǎn)，過此點(diǎn)作與x軸垂直的平面α；在y軸上取坐標(biāo)為－2的點(diǎn)，過此點(diǎn)作與y軸垂直的平面β；在z軸上取坐標(biāo)為5的點(diǎn)，過此點(diǎn)作與z軸垂直的平面γ，則平面α，β，γ交于一點(diǎn)，此交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M.考點(diǎn)3.空間中點(diǎn)的對(duì)稱

【例題3】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2，1，4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________；關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______________；關(guān)于點(diǎn)A(1，0，2)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．答案解析(－2，－1，－4)(－2，1，－4)(4，－1，0)解析點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(－2，－1，－4)．點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量均不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2，1，－4)．設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)為P3(x，y，z)，考點(diǎn)3.空間中點(diǎn)的對(duì)稱解析考點(diǎn)4.空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用解【例題4】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為面A1B1C1D1的中心，求AP，B1P，AB1的長(zhǎng)度，并證明AP⊥B1P.考點(diǎn)4.空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用解考點(diǎn)5.空間向量的概念答案考點(diǎn)5.空間向量的概念解析考點(diǎn)6.空間向量的加減法運(yùn)算考點(diǎn)6.空間向量的加減法運(yùn)算解考點(diǎn)7.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)7.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算解考點(diǎn)8.共線向量基本定理的應(yīng)用考點(diǎn)8.共線向量基本定理的應(yīng)用證明考點(diǎn)8.共線向量基本定理的應(yīng)用證明考點(diǎn)9.求向量的數(shù)量積解考點(diǎn)9.求向量的數(shù)量積解考點(diǎn)10.利用數(shù)量積求夾角解考點(diǎn)10.利用數(shù)量積求夾角解考點(diǎn)11.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)11.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解考點(diǎn)11.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解考點(diǎn)12.

基的概念【例題12】若{a，b，c}是空間向量的一組基，判斷a＋b，b＋c，c＋a能否構(gòu)成空間向量的一組基．解考點(diǎn)12.

基的概念解考點(diǎn)13.

用基表示向量考點(diǎn)13.

用基表示向量解考點(diǎn)14.

利用空間向量基本定理求空間向量的數(shù)量積解考點(diǎn)14.

利用空間向量基本定理求空間向量的數(shù)量積考點(diǎn)15.利用空間向量基本定理結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角解考點(diǎn)15.利用空間向量基本定理結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角解考點(diǎn)16.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

解【例題16】

已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．解

a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)．a(chǎn)－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)．a(chǎn)·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.考點(diǎn)17.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直

解【例題17】已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．(1)若c＝(0，2，4)，d＝(2，2，－1)，試分別判斷c，d與a＋b的關(guān)系；(2)若ka＋b與ka－2b垂直，求k.解

(1)∵a＋b＝(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(0，1，2)，∴c＝2(a＋b)，∴c與a＋b平行．∵d·(a＋b)＝(2，2，－1)·(0，1，2)＝0＋2－2＝0，∴d與a＋b垂直．考點(diǎn)18.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決長(zhǎng)度、夾角問題解解考點(diǎn)18.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決長(zhǎng)度、夾角問題考點(diǎn)19.點(diǎn)到平面的距離解考點(diǎn)19.點(diǎn)到平面的距離解考點(diǎn)19.點(diǎn)到平面的距離解考點(diǎn)20.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離【例題20】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，求直線MN到平面ACD1的距離．解考點(diǎn)20.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離解考點(diǎn)21.點(diǎn)到直線的距離、相互平行的直線之間的距離【例題21】在長(zhǎng)方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求點(diǎn)O1到直線AC的距離．解考點(diǎn)21.點(diǎn)到直線的距離、相互平行的直線之間的距離解03考場(chǎng)練兵1．與a＝(1，2，3)，b＝(3，1，2)都垂直的向量為()A．(1，7，5) B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5) D．(1，－7，－5)解析因?yàn)?－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(3，1，2)＝－3－7＋10＝0，所以與向量a＝(1，2，3)，b＝(3，1，2)都垂直的向量為(－1，－7，5)．故選C.答案解析答案解析答案答案解析答案解析6．設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，2，－2)，且平面α過點(diǎn)(3，2，4)，則平面α的方程為()A．x＋2y－2z＋1＝0

B．x－2y＋2z＋1＝0C．3x＋4y－8z＝0

D．3x－4y＋8z＝0解析

由題意，得平面α的方程為1×(x－3)＋2×(y－2)－2×(z－4)＝0，即x＋2y－2z＋1＝0.故選A.答案解析解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH夾角的大小為()A．45° B．60°C．90° D．30°答案解析答案答案解析答案14．已知平面α的一個(gè)法向量為u＝(－2，x，－2)，平面β的一個(gè)法向量為v＝(1，－2，y)，若α∥β，則x＋y＝_____；若α⊥β，則x＋y＝_____．5解析