17.1用提公因式法分解因式學(xué)習(xí)內(nèi)容一、知識(shí)講解與訓(xùn)練定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.典型例題例1

下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的形式，整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式．1.在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

，不是的，請(qǐng)說(shuō)明為什么？

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2-1=(x+1)(x-1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式，是整式乘法每個(gè)因式必須是整式鞏固訓(xùn)練例2.若多項(xiàng)式x2+mx+n因式分解的結(jié)果為（x﹣3）?（x+1），則m，n的值分別為（）A．﹣2，﹣3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．2，3【答案】A典型例題2．把多項(xiàng)式分解因式，得，則a，b的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】C鞏固訓(xùn)練一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=正確找出多項(xiàng)式的公因式的步驟：3.定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母的最低次數(shù).

1.定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).

2.定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.

例3:下列各多項(xiàng)式的公因式是什么？3aa22(m+n)3mn-2xy(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn

(6)-6x2

y-8xy2

典型例題3．多項(xiàng)式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（

）A．2ab B．-6ab C．-6a2b D．-6ab2【答案】B4．將3x(a﹣b)﹣9y(b﹣a)因式分解，應(yīng)提的公因式是()A．3x﹣9y B．3x+9y C．a(chǎn)﹣b D．3(a﹣b)【答案】D鞏固訓(xùn)練(1)8a3b2+12ab3c；例4

把下列各式分解因式分析：提公因式法步驟（分兩步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即將多項(xiàng)式化為兩個(gè)因式的乘積.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式.整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法.典型例題解：（1）

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公式？另一個(gè)因式將是2a2b+3b2c,它還有公因式是b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何檢查因式分解是否正確？做整式乘法運(yùn)算.5.因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；鞏固訓(xùn)練例5

計(jì)算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.＝13×20＝260；解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)方法總結(jié)：在計(jì)算求值時(shí)，若式子各項(xiàng)都含有公因式，用提取公因式的方法可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．典型例題6.簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)1.992+1.99×0.01;

(2)20232+2013-20242;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=20123(2023+1)-20242=2023×2024-20142=2024×(2023-2024)=-2024．解：(1)原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；(3)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100.鞏固訓(xùn)練例6已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法總結(jié)：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數(shù)式進(jìn)行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.典型例題解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代數(shù)式2x2y+xy2的值.

(2)化簡(jiǎn)求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.將x=代入上式，得原式=4.鞏固訓(xùn)練課堂小結(jié)因式分解定義am+bm+mc=m(a+b+c)方法提公因式法公式法確定公因式的方法：三定，即定系數(shù)；定字母；定指數(shù)分兩步：第一步找公因式；第二步提公因式（下節(jié)課學(xué)習(xí)）注意1.分解因式是一種恒等變形；2.公因式：要提盡；3.不要漏項(xiàng)；4.提負(fù)號(hào)，要注意變號(hào)學(xué)習(xí)內(nèi)容二、課堂檢測(cè)1.下列各式由左邊到右邊的變形中,屬于分解因式的是 (

)

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x解析:A.是多項(xiàng)式乘法,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.右邊不是積的形式,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.提公因式法,故選項(xiàng)正確;D.右邊不是積的形式,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.CB2.設(shè)x2+3x+y=(x+1)(x+2),則y的值為(

)A.1

B.2 C.3 D.4解析:∵(x+1)(x+2)=x2+3x+2,∴y=2.3.觀察下列各式:①2a+b和a+b

;②5m(a-b)和-a+b;③3(a+b)和-a-b

;④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是 (

)A.①② B.②③C.③④ D.①④B解析：①和a+b沒(méi)有公因式;②5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式為a-b;③3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式為a+b;④x2-y2和x2+y2沒(méi)有公因式.4.用提公因式法分解因式.(1)4x2-4xy+8xz;(2)6x4-4x3+2x2;(3)6m2n-15mn2+30m3n;(4)(a+b)-(a+b)2;(5)x(x-y)+y(y-x);(6)(m+n)2-2(m+n).解析:此題考查了因式分解——提公因式法,熟練掌握提公因式的方法是解本題的關(guān)鍵.解:

(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z).(2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2