2025年下學期高中數(shù)學低壓技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，集合(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.([1,2))B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.-3B.-5C.3D.5某低壓技術(shù)實驗室對100臺設備進行壽命測試，得到數(shù)據(jù)如下表：|壽命（小時）|[100,200)|[200,300)|[300,400)|[400,500]||--------------|------------|------------|------------|------------||頻數(shù)|15|35|30|20|則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在區(qū)間為（）A.[100,200)B.[200,300)C.[300,400)D.[400,500]已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（注：程序框圖功能為計算(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})）A.(\frac{137}{60})B.(\frac{229}{120})C.(\frac{49}{20})D.(\frac{143}{60})已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則三棱錐(P-ABC)的外接球表面積為（）A.(13\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(25\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7=)（）A.32B.64C.128D.256已知(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{6})B.(\sqrt{7})C.(2\sqrt{2})D.3已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)在([0,+\infty))上單調(diào)遞增，則實數(shù)(a)的取值范圍為（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,e])C.([1,+\infty))D.([e,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。二項式((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中，常數(shù)項為________。已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線與拋物線交于(A,B)兩點，若(|AB|=8)，則線段(AB)的中點到(y)軸的距離為________。已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分圖象如圖所示，則(\omega=)，(\varphi=)。（注：圖中顯示函數(shù)過點((0,\frac{1}{2}))，且在(x=\frac{\pi}{3})處取得最大值1）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）某低壓技術(shù)公司為測試新型設備的穩(wěn)定性，隨機抽取100臺設備進行連續(xù)運行試驗，得到設備運行時間（單位：小時）的頻率分布直方圖如圖所示（數(shù)據(jù)分組為([0,100))，([100,200))，…，([500,600])）。（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計這100臺設備運行時間的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）若運行時間在([300,600])內(nèi)的設備為“穩(wěn)定設備”，現(xiàn)從這100臺設備中隨機抽取2臺，求至少有1臺為“穩(wěn)定設備”的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(OA\perpOB)，求(\triangleAOB)面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax)（(a\in\mathbb{R})）。（1）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極值，求(a)的值；（2）若函數(shù)(f(x))存在兩個不同的零點(x_1,x_2)，證明：(x_1+x_2>2)。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2\cos\alpha\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），曲線(C_2)的極坐標方程為(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2})。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標方程；（2）設點(P)是曲線(C_1)上的動點，點(Q)是曲線(C_2)上的動點，求(|PQ|)的最小值。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做題，考生可任選一題作答，若兩題都做，則按第一題計分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系中，已知點(A(2,\frac{\pi}{6}))，(B(4,\frac{5\pi}{6}))，求線段(AB)的長度。（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)，求不等式(f(x)\geq5)的解集。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題B2.B3.A4.B5.A6.A7.A8.D9.C10.A11.C12.A二、填空題(\frac{\sqrt{10}}{2})14.-2015.316.2，(\frac{\pi}{6})三、解答題（部分）（1）設等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由(a_3+a_5=2a_1+6d=14)，且(a_1=1)，得(d=2)，故(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，則(T_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得((0.001+0.002+a+0.003+0.0015+0.0005)\times100=1)，解得(a=0.002)。（4分）（2）平均數(shù)(\bar{x}=50\times0.1+150\times0.2+250\times0.2+350\times0.3+450\times0.15+550\times0.05=285)（小時）；方差(s^2=(50-285)^2\times0.1+(150-285)^2\times0.2+\cdots+(550-285)^2\times0.05=14225)。（8分）（3）“穩(wěn)定設備”的頻率為(0.3+0.15+0.05=0