高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：幾何知識（7）棱切球二、正四棱錐四棱錐P?第一步:先作出內(nèi)切球的截面圖,P、第二步:求FH=12第三步:由△POG～△PFH,建立等式:【經(jīng)典例題】四棱錐P?ABCD的底面ABCD的邊長為6的正方形,解:設(shè)球心為O,與底面切于H,與側(cè)面切于G則H為底面中心,G在中線PM上OG又tan∠【同源練習(xí)】若底邊長為2的正四棱錐恰有一個(gè)半徑為12解:設(shè)θ是正四棱錐的底面與側(cè)面所成二面角的值,則tan故tanθ=43三、圓錐【經(jīng)典例題】已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為___.解:過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,圓心O在過點(diǎn)O作OE⊥AC于E,設(shè)半徑為r由圓切線性質(zhì)得CE=CD在Rt△ADC因?yàn)镺E⊥AC則OEAO=在Rt△AOE中,AO2=AE①若圓錐的內(nèi)切球(球與圓錐的側(cè)面及底面都相切)的半徑為1,則當(dāng)該圓錐的體積最小時(shí),該圓錐的體積與其內(nèi)切球的體積之比為()解:設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為?,球O與圓錐的母線AC切于點(diǎn)F,與BC切于點(diǎn)E,連接OF,AE.由OFEC=AOAC所以V運(yùn)用基本不等式可得當(dāng)?=4時(shí)Vmin=②在圓錐內(nèi)部放一個(gè)球,它與圓錐的側(cè)面和底面都相切,則球的表面積與圓錐的表面積之比最大為（）解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線與底面的夾角為2θ,則其內(nèi)切球半徑為R由于球的表面積為S1=故有S所以體積之比最大為12四、棱切球1.定義:幾何體的各條棱與球面相切,各個(gè)面與球面相交,且截面圓為多面體面的內(nèi)切圓.2.結(jié)論:（1）正方體的棱切球:若正方體的棱長為a,則棱切球的半徑R（2）正四面體的棱切球的半徑即為正四面體外接正方體的內(nèi)切球半徑,正方體的內(nèi)切球半徑為正方體棱長的一半。若正四面體棱長為a,則棱切球的半徑R（3）棱長都相等的正棱柱:對于這樣的棱長為a正n棱柱,棱切球半徑為R(4)若四面體ABCD有棱切球,△ABC的內(nèi)切圓半徑為r1,△二面角C?AB?D的大小為θ（5）正二十面體的棱切球:R=5+3.性質(zhì):如果一個(gè)四面體存在棱切球,則（1）該四面體的對棱之和相等.(注:對棱即四面體中異面的一對直線)（2）球心到四面體各棱的距離相等（注：該距離即為棱切球的半徑，棱切球的球心可以在四面體內(nèi)、四面體外、四面體的面上)（3）棱切球球心在各面上的射影是各面的內(nèi)心（4）棱切球球心與頂點(diǎn)的連線和該頂點(diǎn)引出的三條棱所成的角相等（5）棱切球被各面截得的截面是該面三角形的內(nèi)切圓,并且這些內(nèi)切圓在各面邊上的切點(diǎn)就是棱切球在各棱上的切點(diǎn),也是球心O向各棱作垂線的垂足,因此相鄰面上的內(nèi)切圓在公共棱上的切點(diǎn)重合(一)正方體棱切球正方體的棱切球:若正方體的棱長為a,則棱切球的半徑R【例】如果一個(gè)球和正方體的每條棱都相切,那么稱這個(gè)球?yàn)檎襟w的棱切球,求單位正方體的棱切球半徑.解:由棱切球定義和右圖可得AB為面對角線,即棱切球半徑2好題精練【例1】有一棱長為a的正方體骨架,其內(nèi)放置一個(gè)氣球,使其充氣且盡可能地大(仍保持球的形狀),求氣球表面積的最大值.解:2πa【例2】已知球O與棱長為22的正方體ABCD?A1B1C1D1的所有棱相切,點(diǎn)解:線段MN的最小值等于正方體的外接球半徑減去棱切球半徑,最大值等于正方體的外接球半徑加上棱切球的半徑。正方體外接球的半徑為6,棱切球半徑為2【例3】球O與棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的各條棱都相切,點(diǎn)M法一:球心O為正方體的中心,且棱切球半徑為2。連接AC,BD,AC∩BD=E,連接OE因?yàn)锳C⊥BD,AC⊥DD1,BD∩D所以截面圓半徑r=2法二:由題意,球O與棱長為2的正方體ABCD?則球心在正方體的體對角線交點(diǎn)處,球的半徑為r=2如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則AAO=?1,棱都相切，則n?AC=0n?AM球心O到平面ACM的距離為d=n故截面圓的半徑圓錐為2故圓錐的體積為V=1【例4】已知正方體ABCD?A1B1C1D1解:由題意可得正方體棱長為3,棱切球半徑為322,取連接C1M,BM,BC則MEMB=MFMC1=1所以QO=16MN=16?3=故弦長l=2r2V=Q,則在Rt△OME中,OM(二)正四面體棱切球解法一:正四面體的棱切球與棱相切于棱的中點(diǎn),所以棱切球的半徑等于正四面體中心到任一棱中點(diǎn)的距離,它與正四面體的外接球半徑(長為64解法二:將正四面體補(bǔ)成正方體,則其棱切球的半徑即為正方體的內(nèi)切球半徑.【經(jīng)典例題】一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切,若正四面體的棱長為a,求這個(gè)球的體積.法一:該棱切球半徑R=6法二:由題意可得正四面體的外接正方體棱長為a2,其內(nèi)切球半徑為a2好題精練【例1】從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A解:由題意可得A,由球體積可得正四面體的外接正方體棱長為2,OP距離為正方體外接球的半徑,即3【例2】已知球O與棱長均為42的四面體ABCD的各條棱都相切