第15講解三角形及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常見(jiàn)變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).4.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).5.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).6.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.7.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.考點(diǎn)和典型例題1、利用正、余弦定理解三角形【典例1-1】（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正弦定理得，得，所以.故選：C.【典例1-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以＝.故選：C.【典例1-3】（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．則的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在中，因?yàn)?，，，由正弦定理得：，解得?因?yàn)椋?所以.故選：C【典例1-4】（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則角C的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理得，所以即，則，∵，所以.故選：B.【典例1-5】（2022·天津·耀華中學(xué)一模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，.(1)求的值；(2)求；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由余弦定理可得：，解得或（舍去），故(2)由正弦定理,故(3)由（2）知：，則，故,所以【典例1-6】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，，，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】(1)過(guò)B作于F.∵，，∴，在直角中，，∴，∴.(2)連接BD.在中，，，，由余弦定理，得在中，，，由余弦定理，得.在中，，，由余弦定理，得.∵，得∴，得，（負(fù)值舍去）.∴.【典例1-7】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線平分的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求線段的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①△ABC的面積；②.【答案】(1)；(2)選①；選②.【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所?(2)選①，因?yàn)榈拿娣e，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，選②，因?yàn)?，在中，由余弦定理：，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)?，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所?2、判斷三角形的形狀【典例2-1】（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1，，，則（

）A．能制作一個(gè)銳角三角形 B．能制作一個(gè)直角三角形C．能制作一個(gè)鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形【答案】C【詳解】設(shè)三角形的三條邊為a，b，c，設(shè)中點(diǎn)為D，，則，∴同理，∴，∴，，∴可以構(gòu)成三角形，∴，∴為鈍角三角形，故選：C【典例2-2】（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若為鈍角三角形，則C．若，則為等腰直角三角形D．若，，，則符合條件的只有一個(gè)【答案】D【詳解】，則，只能說(shuō)明A為銳角，不能說(shuō)明B和C的大小，故不能得到是銳角三角形，A錯(cuò)誤；若為鈍角三角形，但不確定哪個(gè)角是鈍角，若角A為銳角，則，若角A為鈍角，則，B錯(cuò)誤；，由正弦定理得：，即，所以或，故或，則為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；由余弦定理得：，因?yàn)椋?，故符合條件的只有1個(gè)，D正確.故選：D【典例2-3】（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)高一期中）在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以由正余弦定理得，化?jiǎn)得，所以，所以為等腰三角形.故選：B.【典例2-4】（2022·河南·安陽(yáng)一中高一階段練習(xí)）若在，則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【詳解】由以及余弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以三角形的形狀一定是等腰三角形.故選：B【典例2-5】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、為的內(nèi)角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴為等邊三角形.故選：B.3、和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【詳解】，，即，即，則，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a2，則．故選：C．典例3-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，故選：B．典例3-3】（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由余弦定理，即，又，所以，，所以.故選：C典例3-4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且(1)求；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由及正弦定理，得，即，于是有，由余弦定理，得，(2)由（1）知，，及，，由余弦定理，得，即，化簡(jiǎn)整理，得，解得或（舍）.所以.所以的面積為.典例3-5】（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若，，，且，求的面積．【解析】(1)解：因?yàn)?，由正弦定理可得：，所以?2)由（1）得，由余弦定理得：，所以，即，將，代入，得，即，解得或，∵，∴，∴舍去，∴，．從而，由可知，所以．所以的面積．4、解三角形的實(shí)際應(yīng)用【典例4-1】（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））位于燈塔A處正西方向相距nmile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距nmile的C處的一艘乙船前往營(yíng)救，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（

）A．30° B．60° C．75° D．45°【答案】B【詳解】依題意，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖，則，，，在中，，在中，，，又，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西60°.故選：B.【典例4-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））翠浪塔，位于贛州市章江西岸楊梅渡公園山頂上，與贛州古城的風(fēng)水塔——玉虹塔相呼應(yīng)．塔名源于北宋大文豪蘇東坡吟詠贛州的詩(shī)句“山為翠浪涌，水作玉虹流”，該塔規(guī)劃設(shè)計(jì)為仿宋塔建筑風(fēng)格，塔體八面．一研學(xué)小組在李老師的帶領(lǐng)下到該塔參觀，這時(shí)李老師（身高約1.7米）站在一個(gè)地方（腳底與塔底在同一平面）面朝塔頂，仰角約為45；當(dāng)他水平后退50米后再次觀測(cè)塔頂，仰角約為30，據(jù)此李老師問(wèn)：同學(xué)們，翠浪塔高度大約為（

）米？（參考數(shù)據(jù)：）A．68 B．70 C．72 D．74【答案】B【詳解】如圖所示，OP為塔體，AC,BD為李老師觀察塔頂時(shí)的站位，Q為A,B在OP上的射影，由已知得為直角三角形，，，(米)，(米),設(shè)PQ=x，則,.∴，∴,∴塔高(米),故選：B【典例4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)M，N為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，50米．現(xiàn)欲在M，N之間架設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算M，N之間的距離．勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)P，利用測(cè)角儀從P點(diǎn)測(cè)得的M，N點(diǎn)的仰角分別為30°，45°，并從P點(diǎn)觀測(cè)到M，N點(diǎn)的視角為45°，則M，N之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【詳解】如圖，由題可知，∴，，又，∴，∴（米）．故選：A.【典例4-4】（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口、間的距離，開(kāi)車從點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛米到達(dá)點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口點(diǎn)處，測(cè)得間的距離為1000米.(1)若隧道口在點(diǎn)的北偏東度的方向上，求的值；(2)求隧道口間的距離.【答案】(1)(2)1000米.【解析】(1)在中，由正弦定理得，即，所以，由題可知，