§9.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

【課標(biāo)要求】1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義2了解一元線性回歸模型和2X2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決

簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題3會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

⑴相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)

為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

⑶線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，我們就稱(chēng)

這兩個(gè)變顯線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

n__

E(劉―x)(?一)，)

E(Xi-~)2、Jf(y/--)2

(2)當(dāng)廠>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)國(guó)法；當(dāng)r<0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

(3)|/jWl；當(dāng)|r|越接近I時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)團(tuán)越接近。時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相

關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將;，=￡+:稱(chēng)為丫關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，

〃__—

Z(為一X)tv/-y)

Ai-\

其""E(Xj—~X)2

i=l

AA__

y-bx.

⑵殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱(chēng)為殘差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)關(guān)于分類(lèi)變量X和y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表：

Y

X合計(jì)

Y=0Y=\

x=oaba+b

x=\cdc+d

合計(jì)b+d〃=a+/，+c+4

（2）計(jì)算隨機(jī)變量4=（a+/））（；,/）m+\e+”），利用/的取值推斷分類(lèi)變量X和y是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為/

獨(dú)立性檢驗(yàn).

【常用結(jié)論】

1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)（；，7）.

n______

ZvVL”xy

2.求，時(shí)，常用公式-----------.

一〃x2

/-1

3.回歸分析和獨(dú)立.性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（J）

AAA

（2）經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a至少經(jīng)迂點(diǎn)（即，yi）,（也，）2）,…，（X”，如）中的一個(gè)點(diǎn).（X）

⑶樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近I,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).（V）

（4）若事件X,丫關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的z2的觀測(cè)值越小.（X）

2.（多選）（2023?石嘴山模擬）下列有關(guān)回歸分析的說(shuō)法中正確的是（）

A.相關(guān)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系

B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線

C.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)，＞0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)

D.兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，|”越接近于0

答案CD

解析相關(guān)關(guān)系是不確定的關(guān)系，故A錯(cuò)；經(jīng)驗(yàn)回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過(guò)任一樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故B錯(cuò)；

當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)合0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，故C對(duì)；兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，m越接近于0,故D對(duì).

3.（2023?福州統(tǒng)考）已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X678910

y3.54566.5

若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為），=0.8%+小則當(dāng)x=10時(shí)的殘差為（注：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱(chēng)

為殘差）.

答案一01

即l—6+7+8+9+10

解析x=-------5-------=8

3.5+4+5+6+65

5=5,

則。=5—0.8X8=—1.4,

所以y=0.8x—1.4,當(dāng)x=10時(shí)，v=6.6,

所以當(dāng)x=10時(shí)的殘差為6.5-6.6=-0.1.

4.某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如表所示:

主修專(zhuān)業(yè)

性別合計(jì)

非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)

男131023

女72027

合計(jì)203050

為了判斷主修專(zhuān)業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到/=沼巖黑嗅^￡-4.844,因?yàn)?/p>

2JAZ/AZUzxJ\J

r>3.841,所以判定主修專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性0.05（填“大于”或“小

于”）?

附:

0.10.050.010.001

2.7063.8416.63510.828

Xa

答案小于

解析因?yàn)?>3.841=xo.o5?

所以依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢臉，認(rèn)為主修專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的可能性小于0.05.

■探究核心題型

題型一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例1（1）（2023?天津）調(diào)查某種群花等長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中樣本相關(guān)系數(shù)r=0.8245,則

卜列說(shuō)法止確的是（）

花解長(zhǎng)度

花萼長(zhǎng)度

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花普長(zhǎng)度呈正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的樣本相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

答案C

解析根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花簫長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，故A錯(cuò)誤；

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)，故B錯(cuò)誤，C正確；

由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)

據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245,故D錯(cuò)誤.

(2)(多選)(2023?淇江模擬)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測(cè)了1()

人的身高和體重，數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)12345678910

身高/cm165168170172173174175177179182

體重/kg55896165677075757880

由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散」點(diǎn)圖，

體重的i

1(X)

O<J■?.

70*

AH

OU■

5()

O?2v(J\

on

in

A

014

16416616817()172174176178UK)U夕21身而cm

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線人的方程為;，=￡+；“，樣本相關(guān)系數(shù)為小決定系數(shù)為碎經(jīng)過(guò)殘差

分析確定(168,89)為離群點(diǎn)(對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大)，把它去掉后，再用剩下的9對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線/2的

方程為；，=,加+:2,樣本相關(guān)系數(shù)為2決定系數(shù)為虺.則以下結(jié)論中正確的有()

A.di>t/2

C.n<r2D.R\>Ri

答案AC

解析身高的平均數(shù)為

165+168+170+172+173+174-F175+177+179+182

10

=173.5,

因?yàn)殡x群點(diǎn)(168.89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5,縱坐標(biāo)89殂對(duì)過(guò)大，

所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，

AAAA

所以0>42,加<〃2,所以A正確，B錯(cuò)誤；

去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，

所以門(mén)<屋，用〈虺,所以C正確，D錯(cuò)誤.

思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下帶到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)

變量負(fù)相關(guān).

(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)/>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)區(qū)0時(shí)，負(fù)相關(guān)；仍越接近I,相關(guān)性越強(qiáng).

AA

(3)經(jīng)臉回歸方程：當(dāng)比>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)從0時(shí)，負(fù)相關(guān).

跟蹤訓(xùn)練1⑴(2023?保定模擬)已知兩個(gè)變量x和'之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到樣人數(shù)據(jù)如表所示：

X34567

y3.52.41.1-0.2—1.3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；=￡+：,則下列說(shuō)法中正確的是()

AAAA

A.d>0,b>0B.a>0,b<0

AAAA

C.?<0,b>0D.(?<0,b<0

答案B

解析由已知數(shù)據(jù)可知1y隨著x的增大而減小，則變量x和y之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以.<0.又；=gx(3

1AAAA

+4+5+6+7)=5,~=jX(3.54-2.44-1.1-0.2-1.3)=1.1,即1.1=5〃+。，所以a=1.1—58>0.

⑵已知相關(guān)變量x和)，的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y=Z?rln伏㈤與丁=左”+方2擬合時(shí)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為門(mén),

元?jiǎng)t比較門(mén)，-2的大小結(jié)果為()

A

?>

rlr2

及B.

木確

crl<D.定

?

答案c

解析由散點(diǎn)圖可知，用伏1%）擬合比用丫=女加+優(yōu)擬合的程度高，故|川>|聞，

又因?yàn)閥負(fù)相關(guān)，所以一n>-即

題型二回歸模型

命題點(diǎn)1一元線性回歸模型

例2（2023?廣州模擬）2022年底以來(lái)，發(fā)放消費(fèi)券在全國(guó)多個(gè)地區(qū)流行，此舉助力消費(fèi)復(fù)蘇.記發(fā)放的消費(fèi)

券額度為M百萬(wàn)元），帶動(dòng)的消費(fèi)為y（百萬(wàn)元）.下表為某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)：

X33455668

y1012131819212427

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明），與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出），關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方

程；

（2）①若該省八城市在2023年8月份掂備發(fā)放一輪額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券，利用（1）中求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方

程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？

②當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過(guò)10%時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助刀消費(fèi)復(fù)蘇是

理想的.若該省4城市8月份發(fā)放額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券后，經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)

為30百萬(wàn)元，請(qǐng)問(wèn)發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因.

說(shuō)明：對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程的樣本相關(guān)系數(shù)幾當(dāng)|r|>0.75時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.參考

數(shù)據(jù)：^35^5.9.

3+3+4+5+5+6+6+8

解(1)因?yàn)閤=----------3----------=5

—10+12+13+18+19+21+24+27

y=o=18.

8——

I(Xi-x)(yi-y)=16+12+5+0+0+3+6+27=69,

8-

Z(Xi-x)2=4+4+1+0+0+1+1+9=20,

f=l

±3—亍>=64+36+25+0+1+9+36+81=252,

f-i

8——

Ex)(y<-y)

所以r=Is_ls_=V2bxV252=^0-97-

A/Ex)飛ZG,Ly)2

由于“>0.75且/?非常接近i.

所以y與X具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

經(jīng)計(jì)算可得

8__

Z（為一%）（）Ly）

；尸I69

b=■~=20=3-45,

Z（XL；）2

I-I

A_____A____

a=~y-/?T=18-3.45X5=0.75,

A

所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為）=3.45x+0.75.

A

（2）①當(dāng)x=10時(shí)，y=3.45X10+0.75=35.25,

所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬(wàn)元.

②因?yàn)?'）3514.89%>10%,

所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不理想.

發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：4城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收

入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等

因素一定程度上影響了消費(fèi)總量.（只要寫(xiě)出一個(gè)原因即可）.

命題點(diǎn)2非線性回歸模型

例3（2024.朝陽(yáng)模擬）秋天的第一杯奶茶是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬?，民警用“?/p>

天內(nèi)第一杯奶茶”順利救下一名女孩，由此而火爆全網(wǎng).后來(lái)很多人開(kāi)始在秋天里買(mǎi)一杯奶茶送給自己在

意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位；杯）如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

日期代碼X1234567

杯數(shù)），4152226293132

（1）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與）=c+Mnx哪一個(gè)更適宜作為），關(guān)于x

的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）;

杯數(shù)

5()

40

30

20

1()

0

1234567日期代碼

（2）建立），關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，試預(yù)測(cè)要到哪一天售出

的奶茶才能超過(guò)35杯？

參考數(shù)據(jù):

77

2J

yV2＞通工咐如e

1=1?=]i=l

22.71.2759235.113.28.2

其中Wj=InXi,u

產(chǎn)I

參考公式：

n____

￡孫一〃xy

AAAAl=1AA

在經(jīng)驗(yàn)回歸方程），=/狀+〃中，b=-------------,a=y~bx.

茨一〃x2

解（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，知），=c+dh】x更適宜作為），關(guān)于x的回歸方程模型.

(2)令?=lnx,則y=c+dm

7_______

Z他一7uy

?必9,」/=,235.1-7X1.2X22.7

由已知數(shù)據(jù)得4==14.2,

7__I-/入I.Z入I.Z

￡加—7M2

c=~y~d~^^22.7-14.2X1.2^5.7,

A

所以），=5.7+14.2〃，

A

故￥關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為），=5.7十14.21nx,

令5.7+14.21nx>35,

整理得Inx>2.1,即4"2"8.2,

故當(dāng)x=9時(shí)，即到第9天才能超過(guò)35杯.

思維升華求經(jīng)臉回歸方程的步驟

計(jì)算出其為%匕*必或苫（即-幻（力-y）,

（步驟一H￡（即-幻2的值

利用公式計(jì)算仇時(shí)

寫(xiě)出經(jīng)臉回歸方程2標(biāo)

跟蹤訓(xùn)練2小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)B租一間商鋪開(kāi)服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)

20

得到了它們的面積”（單位：m2）和口均客流量M單位：百人）的數(shù)據(jù)8,對(duì)（1=12…，20）,并計(jì)算得

2020_20__

=2400,￡）7=210,Z（即一X）2=42000,g（即一x）（y—y）=6300.

i=l；=1i=l

⑴求），關(guān)于工的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

⑵已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益W=M'+〃Lr（Q0,〃?>0）,該商場(chǎng)現(xiàn)有60?15（）nf的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)

果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？

〃____

Z（XLX）8-），）

AAAA/S1AA

附：經(jīng)臉回歸直線y=/7.t+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為〃=-----------------,a=y~bx.

E（Lx）2

—120

解（1）由已知可得x=而￡皆=120,

i=l

-120

y=2（）E>'i=10.5,

20__

E（XL%）（y（~y）

2________________6300_

20_~42000-0-15,

Z（為-X）2

a=y-bx=10.5-0.15Xi20=-7.5,

所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=O.I5x—75

3gx卬ArJ0.15j—7.5,__

（2）根據(jù)題意得Z=;=+〃?,60WxW150.

0.15A—7.50.157.5

設(shè)危）=

人11121

令尸：而WK而,

則JW=g?)=O.15r-7.5r2=-7.5X(/-0.01)2+0.00075,

當(dāng)i=0.01,即x=100時(shí)，./U)取最大值，

又因?yàn)镼(),〃?>0,所以此時(shí)Z也取最大值，

因此，小李應(yīng)該租100m2的商鋪.

題型三列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例4(2023.全國(guó)甲卷改編)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.6

35.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加后從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.5

18.018.819.219.820.221.622.8

23.623.925.128.232.336.5

(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完

成如下列聯(lián)表：

<in2”?

對(duì)照組

試驗(yàn)組

②根據(jù)①中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常

環(huán)境中體重的增加量有差異？

附：/=3+蟻；胃(%)3+打其中〃=a+〃+c+d

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解(。試瞼組樣本的平均數(shù)為

*X(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+

396

251+28.2+32.3+36.5)=k=19.8.

⑵①依題意，可知這40只小白鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由原數(shù)據(jù)可得第20位數(shù)據(jù)為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6、

所以m=2=23.4,

故列聯(lián)表為

<m2用

對(duì)照組614

試臉組146

②零假設(shè)為“0：小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量無(wú)差異.

由①可得/二臉繪紫票

=6.4>3.841=XO.O5,

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性校驗(yàn)，我們推斷從不成立，即認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)

境中體重的增加量有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.

思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

I,一、..on(ad-bc)1.._

(2)根據(jù)公式才=/八/4_J八計(jì)算.

人(a+b)(c-r(r)(a+c)(b4-a)

(3)比較/與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

跟蹤訓(xùn)練3(2024.哈爾濱模擬)由中央電視臺(tái)綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》是中國(guó)首

檔青年電視公開(kāi)課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中

國(guó)青年現(xiàn)饃的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到了青

年觀眾的喜愛(ài).為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A,4兩個(gè)地區(qū)的10()名觀眾，得到如

表所示的2X2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計(jì)

A3015

B

合計(jì)

己知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來(lái)自8地區(qū)且喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的概率為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛(ài)程度用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取

喜愛(ài)程度為'‘非常喜歡”的A,8地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)？

附:*=(a+b)(c+加+c)3+d)，

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解（1）由題意得來(lái)自B地區(qū)且喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的觀眾為0.35X100=35（人）,

20

所以應(yīng)從A地區(qū)抽取30X而=6（人）,

20

從B地區(qū)抽取35X而=7（人）.

（2）完成表格如表:

非常喜歡喜歡合計(jì)

A301545

B352055

合計(jì)6535100

零假設(shè)為H）：觀眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)無(wú)關(guān).

100X(30X20—35X15>IQ0

^0.1<3,841=沏,05,

65X35X45X55I001

根據(jù)小概率值a=（）.O5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷，。不成立，因此認(rèn)為從）成立，即觀眾的喜愛(ài)程度

與所在地區(qū)無(wú)關(guān).

課時(shí)精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2X2

列聯(lián)表:

男女合計(jì)

喜歡ab73

不喜歡C25

合計(jì)74

則a—b—c等于（)

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析根據(jù)題意,可得c=120—73—25=22,。=74—22=52,>=73—52=21,

???。一6—。=52—21—22=9.

2.（2023?黃岡中學(xué)模擬）在一組樣本數(shù)據(jù)（》,y\）,（%”），…，（x"，y”）（〃22,x\,如…，互不相等）的

散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（對(duì)》）（，=1,2,…，〃）都在直線5上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.—TC.—ID.I

JB.TJ

答案D

解析由題意可知，所有樣本點(diǎn)（屈，刈”=1,2,…，〃）都在宜線）=$—5上，

則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為1.

3.（2023?聊城模擬）根據(jù)分類(lèi)變量、與），的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到了=6/47.依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立

性檢驗(yàn)（301=6.635）,結(jié)論為（）

A.變量x與），不獨(dú)立

B.變量x與），不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

C.變顯x與），獨(dú)立

D.變量x與），獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

答案C

解析按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)及比對(duì)的參數(shù)值，當(dāng)/=6.147,我們可以下結(jié)論變量x與），獨(dú)立.故排除A,

B；

依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)（刈切=6.635）,6.147<6.635,所以我們不能得到“變量x與y獨(dú)立，這

個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01”這個(gè)結(jié)論，故C正確，D錯(cuò)誤.

4.（2023.武漢模擬）通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛(ài)好跳繩，得到列聯(lián)表如表所示：

性別

跳繩合計(jì)

男女

愛(ài)好402060

不愛(ài)好203050

合計(jì)6050110

附:/ng+bXc+GS+cXb+dy其中〃="+"+，+”

a0.10.050.010.0050.0()1

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

則以下結(jié)論正確的是（）

A.根據(jù)小概率值。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)

B.根據(jù)小概率值a=0.00l的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)

0.001

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)

答案A

解析由題意知「7.822,因?yàn)?.822V10.828,所以根據(jù)小概率值。=0.001的獨(dú)

"與OU比X段X二o（J比X?產(chǎn)」

立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)，且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.001,故A正確，B錯(cuò)誤；

又因?yàn)?.822>6.635,所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)，或在犯錯(cuò)

誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，我們認(rèn)為愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)，故C和D錯(cuò)誤.

5.某市物價(jià)局派人對(duì)5個(gè)商場(chǎng)某商品同一天的銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)回元）和銷(xiāo)售量

M件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

價(jià)格x（元）9095100105110

銷(xiāo)售量M件）1110865

用最小二乘法求得），關(guān)于工的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=-0.32?+小樣木相關(guān)系數(shù)「=—0.9923,則下列說(shuō)法不正

確的是（）

A.變量x與），負(fù)相關(guān)且相關(guān)性很強(qiáng)

A

B.a=40

C.當(dāng)x=85時(shí)，y的估計(jì)值為15

D.對(duì)應(yīng)點(diǎn)（105,6）的殘差為一0.4

答案C

解析由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得變量x與），負(fù)相關(guān)，且由樣本相關(guān)系數(shù)忻=0.9923,可知相關(guān)性很強(qiáng)，故A正

確；

—1—I

由表中數(shù)據(jù)可得x（90+95+100+105+i10）=100,y=7X（114-10+8+6+5）=8,故經(jīng)驗(yàn)回歸直線

=TJX」

過(guò)點(diǎn)（100,8）,

AA

故8=-0.32X100+a,解得〃=40,故B正確；

A

當(dāng)上=85時(shí)，），=一（）.32乂85+4（）=12.8,故C錯(cuò)誤；

對(duì)應(yīng)點(diǎn)（105,6）的殘差為6-（-0.32X105+40）=-0.4,故D正確.

6.（2024.重慶模擬）設(shè)兩個(gè)相關(guān)變量x和），分別滿(mǎn)足下表：

X12345

y128816

若相關(guān)變量x和），可擬合為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程尸2W"，則當(dāng)工=6時(shí)，），的估計(jì)值為（）

時(shí)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（〃],勁），（142,。2）,…，（如，Vn）,其經(jīng)臉回必直線。的斜率和截距的最小二乘估

n____

?俏一〃UV

A/=1A__A_

計(jì)公式分別為。=-------------,a=v—pu;1.15542.

Z屆一〃u2

A.33B.37C.65D.73

答案B

解析因?yàn)榉蔷€性經(jīng)驗(yàn)回歸方程力;，=2.+”,

A

則有l(wèi)og2y=/?x+?,

A

令log2y=u,^v=hx-^-a,

列出相關(guān)變量x,y,。關(guān)系如表：

X12345

y128816

V01334

所以i>@,=0+2+9+12+20=43,

尸1

—I+2+3+4+5

x==3,

——01113131411

0=5=不

5

》?=1+4+9+16+25=55,

5______

音泌T—43-5X3x￡

所以h=~~=55-5X9=1，

3-5X2

1=1

——114A4

所以。=v—bx=y—3=—T,所以。=x—亍

"4"x"

即log2y=x—予即丫=25,

因?yàn)?.15512,所以爐以1.15,

A口,一一4.26一1

當(dāng)了-6時(shí)，），-25-25-252-25X25^32X1.15~36.8^37.

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2024?廈門(mén)模擬）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的枳極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生

體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，隨機(jī)抽取了30（）名學(xué)生，對(duì)他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)

常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則（）

■I女生

II用生

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉

附:*=許端潦布而其中“j+6+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.841

xa6.6357.87910.828

A.參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該學(xué)生為女生，則該學(xué)生經(jīng)常鍛煉的概率為］

C.依據(jù)小概率值。=0』的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率

不超過(guò)0.1

D.假設(shè)調(diào)查人數(shù)為600人，經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的二匕例不變，統(tǒng)計(jì)得到的等高堆積條形圖也不

變，依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率

不超過(guò)0.05

答案ABD

解析由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，

故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為20（）人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人，

故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為200X0.5=100（人），不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為100X0.6=60（人），

故男生中經(jīng)常能煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，故A正確；

女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為200X05=100（人）.不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為100X0.4=40（人）.

故從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該學(xué)生為女生，則該學(xué)生經(jīng)常鍛煉的概率為10：）°：）40=.故B正確;

由題意結(jié)合男、女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表如表所示：

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍬煉合計(jì)

男10060160

女10040140

合計(jì)200100300

MI,300X(100X40-60X100)2..........

川L-140X160X200X100~^2.679<2.706=X(M

故依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，故C錯(cuò)誤;

由題意可得

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)

男200120320

女2008()280

合計(jì)400200600

,600X(200X80-200X120)2

川比時(shí)Z2=-400X200X320X280~~*5.357>3.841=xo.o5‘

故依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不

超過(guò)0.05,故D正確.

8.沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且營(yíng)養(yǎng)成分高，成為大家喜歡的水果之一，目前主要種植于我國(guó)廣西、

云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速發(fā)展，沃柑的銷(xiāo)量大幅增長(zhǎng)，同時(shí)刺激了當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植沃柑的

熱情.根據(jù)對(duì)廣西某地的沃柑種植面積情況進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)表如表所示：

年份r20182019202020212022

年份代碼X12八45

種植面積w萬(wàn)畝814152028

Z(XLX)8-)，)

尸：

附：①樣本相關(guān)系數(shù)r=-/~I:

、￡(劉一X)2A/￡y)2

n____n____

X(Ai-X)(y<->')》L"Xy

AAAA|=1f=|AA

②在經(jīng)臉回歸方程中，h=-----------------=-------------,a=~y~b~x;24(K47.33.

X(Xf-x)2x2

產(chǎn)11=1

根據(jù)此表，下列結(jié)論正確的是()

A.該地區(qū)這5年沃柑的種植面積的方差為212

B.種植面積)，與年份代碼x的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.972(精確到0.001)

C..v關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=4.6x+3.2

D.預(yù)測(cè)該地區(qū)沃柑種植面積最早在2027年能突破40萬(wàn)畝

答案BC

8+14+15+20+28

解析根據(jù)題意，得y=------------c------------=17

[(-9)2+(-3)2+(-2)24-32+112]=44.8,故A錯(cuò)誤;

1+2+3+4+5

由題意得X=---------i---------=3

5