課程基本信息

課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期

課題函數(shù)的應(yīng)用

書名：普通高中教科書數(shù)學必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師

指導教師

教學目標

教學目標：

1.初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實際問題的過程和方法；

2.在實際問題與數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展數(shù)學抽象的素養(yǎng)；

3.在建立數(shù)學模型解決實際問題的過程中，提升數(shù)學運算和數(shù)學建模的素養(yǎng)。

教學重點：將實際問題中的量抽象成數(shù)學中的變量，并找到變量之間的關(guān)系。

教學難點：利用給定的函數(shù)模型，寫出具體的函數(shù)解析式并解決實際問題。

教學過程

時

教學環(huán)節(jié)主要師生活動

間

我們學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)等，這些函數(shù)都與現(xiàn)實世

1

分引言界緊密聯(lián)系。下面通過一些實例感受它們的廣泛應(yīng)用，體會利用函數(shù)模

鐘

型解決實際問題的過程與方法。

本節(jié)的例1是在教科書3.1.2函數(shù)的表示法例8的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究

個稅繳納問題，我們來看題目信息：

例1：2019年1月1日起，公民依法繳納的個稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、

16稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：

分例題解析

鐘個稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率-速算扣除數(shù)①

應(yīng)納稅所得額的計算公式為：

應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費用-專項扣除-專項附加扣

除-依法確定的其他扣除②

其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000元。稅率與速算扣除

數(shù)見表格。

級數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（%）速算扣除數(shù)

1[0.36000]30

2(36000.1U000]102520

3(144000,30000032016920

4(300000,42000032531920

5(420000,66000033052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,-l-oo)45181920

設(shè)小王繳納的基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險

費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%,2%,1%,9%,專項

附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元。全年綜合所得

收入額為x（單位：元），應(yīng)繳納綜合所得個稅稅額為y（單位：元）。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式：

（2）如果小王全年的綜合所得由189600元增加到249600元，

那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個稅？

追問1：這一問題中存在哪些變量？它們的關(guān)系是什么？

追問2：如何通過這些關(guān)系確定應(yīng)繳納個稅與綜合所得的關(guān)系？

師生活動：教師提出問題，學生獨立思考、討論回答，教師給與補充完

善。

設(shè)計意圖：1.通過學生的分析，理清這個問題中的變量之間的關(guān)系；

2.引導學生寫出這些變量之間的函數(shù)關(guān)系.這里，一定要讓學生先回顧

例題8的求解過程和結(jié)果，在例題8的基礎(chǔ)上處理本題，讓學生體會應(yīng)

繳納個稅與應(yīng)納稅所得額之間的關(guān)系，以及應(yīng)納稅所得額和綜合所得的

關(guān)系。

分析：實際上，在充分明確題目條件后，注意到本題的主干信息由表格

和兩個重要公式表達出來：

公式①：個稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率-速算扣除數(shù)

由表格信息可知,每個確定的應(yīng)納稅所得額都有唯一的稅率和速算

扣除數(shù)與之相對應(yīng)，因此，這一公式中的變量個稅稅額y可以表示成變

量應(yīng)納稅所得額t的分段函數(shù)。我們在3.1.2例8中已經(jīng)得到了這兩個

變量的函數(shù)解析式。

公式②：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費用-專

項扣除-專項附加扣除-依法確定的其他扣除

可以看出，基本減除費用、專項扣除、專項附加扣除和依法確定的

其他扣除為定值或由綜合所得收入額確定，因此，這一公式中的變量應(yīng)

納稅所得額r也是變量綜合所得收入額x的函數(shù)。

因此，對于任一個綜合所得收入額都有唯一確定的應(yīng)納稅所得額與

之相對應(yīng)，而任一個應(yīng)納稅所得額也與唯一確定的個稅稅額相對應(yīng)。這

樣，對于任一個綜合收入所得額都有唯一確定的個稅稅額與之相對應(yīng)，

由函數(shù)的定義，個稅稅額y是綜合收入所得額x的函數(shù)。

通過“應(yīng)納稅所得額”這個橋梁，我們就可以建立起個稅稅額y與

綜合收入所得額X的函數(shù)解析式。

師生活動：

1.教師提示學生在例題8的基礎(chǔ)上研究這個問題.通過“應(yīng)納

稅所得額”這個中間變量f找到x和y之間的對應(yīng)關(guān)系。

2.由于t的取值的范圍不同，使得對應(yīng)的稅率和速算扣除數(shù)也

不同，那么該如何處理這樣的情況呢？

3.寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并解決題目中的問題。

設(shè)計意圖：1.引導學生通過例題8來研究這個問題：2.引導學生采用

分類討論的方式來處理，用分段函數(shù)的形式來表達；3.在此基礎(chǔ)上，

引導學生完成例題。

我們可以通過以下步驟解決本例的兩個問題：

第一步，根據(jù)例8中公式②，得出應(yīng)納稅所得額r關(guān)于綜合所得收入額

X的解析式尸g(x);

第二步，結(jié)合例8中已經(jīng)得到的y^(r)的解析式③，得出y關(guān)于x的函

數(shù)解析式；

第三步，根據(jù)所得解析式求出應(yīng)繳納個稅稅額。

解：(1)根據(jù)應(yīng)納稅所得額計算公式得

Z=x-60000-.r(8%+2%+1%+9%)-52800-4560

=0.8*117360

令f=0,得產(chǎn)146700,所以根據(jù)應(yīng)納稅所得額的規(guī)定可知，

個人應(yīng)納稅所得額/關(guān)于綜合所得收入額X的函數(shù)解析式為：

Jo,0<x<146700,

-[0.8X-117360,x>146700.

追問3：當x在什么范圍內(nèi)時可以使f落到相應(yīng)的區(qū)間，從而確定稅率

和速算扣除數(shù)？

設(shè)計意圖：引導學生通過解相應(yīng)的不等式求得工資X的不同范圍，從而

得到個稅稅額關(guān)于綜合收入所得額的分段函數(shù)。在教學過程中讓學生體

驗上述數(shù)學抽象的過程。

結(jié)合3.1.2例8的解析式③，可得：

當0Wx<146700時，1=0,所以y=0：

令0〈0.8x-U7360W36000,得146700<xW191700

此時尸X3%=(0.8x-117360)X3%=0.024r~3520.8；

令36000〈0.8x-117360W144000,得191700<xW326700

此時y=fX10%-2520=(0.8x-l17360)X10%-2520=0.08x-14256；

以此類推，通過解相應(yīng)的不等式，我們就可以通過解析式③中，的

范圍求出X的范圍。

當191700GW326700時,36000VW144000,所以

y=tX10%-2520=0.08x-14256；

當326700GW521700時,144000VW300000,所以

尸X20%T6920=0.16廠40392；

當521700GW671700時，300000<fW420000,所以

y=rX25%-31920=0.2%-61260；

當671700GW971700時,420000VW660000,所以

y=fX30252920=0.24x-88128；

當971700GW1346700時，660000<fW960000,所以

尸X35285920=0.28x-126996；

當x>1346700時，，>960000,所以

y=zX45%-181920=0.36x-234732；

所以，函數(shù)解析式為

0,0<x<146700

0.024x-3520.8,146700<x<191700

0.08x-14256,191700<x<326700

0.16x-40392,326700<x<521700

y=<

.0.2^-61260,521700<x<671700

O.24x-88128,671700<x<971700

0.28x-126996,971700<x<1346700

0.36x-234732,x>1346700

當戶249600時，y=0.08X249600T4256=5712

所以，小王全年需要繳納的綜合所得個稅稅額為5712元。

本題小結(jié)：在例8中，給出小王的綜合所得收入額為189600元，

我們需要先利用公式②求出應(yīng)納稅所得額，再利用我們建立的個稅稅額

y關(guān)于應(yīng)納稅所得額t的函數(shù)解析式，求出他應(yīng)繳納個稅稅額為1029.6

元。而在本例中，我們將個稅稅額表示成了綜合收入所得額的函數(shù)，就

可以直接由綜合收入所得額求出需要繳納的個稅稅額。由此可見，有了

函數(shù)模型，就可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)而獲得實際問題中的變化規(guī)律，

通過函數(shù)圖象也可以更直觀地看到這種整體的變化規(guī)律。

同時注意到，當綜合所得收入額增加到249600元時，個稅稅額也

相應(yīng)增加到了5712元，這體現(xiàn)了依法納稅是每個公民的責任與義務(wù)！

有興趣的同學可以在課下畫出函數(shù)對應(yīng)的圖象，直觀地觀察個稅稅額隨

綜合所得收入額的變化情況。

例題2：一輛汽車在某段路程中行駛的平均速率u（單位：km/h）與時

間f（單位：/?）的關(guān)系如圖所示。

（1）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為

2004km,試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s（單位：與

時間f的函數(shù)解析式，并畫出相應(yīng)的圖象。

V

9O

8O

7O

6O

5O

4O

3O

21O

O

追問1：此題是研究汽車行駛路程的相關(guān)問題，與例1通過文字、表格

呈現(xiàn)信息不同，此題通過圖象體現(xiàn)了變量間的關(guān)系，請同學們找到題目

中涉及的變量，并分析說明圖中的信息。

師生活動：教師提出第一個問題，學生思考、討論，并回答問題。

設(shè)計意圖：這個例題需要利用圖形中的信息及問題中的數(shù)據(jù)建立分段函

數(shù)的數(shù)學模型.教學中仍然要讓學生從分析題意入手，分析清楚問題中

涉及的變量，它們之間是什么關(guān)系，通過這些關(guān)系是如何確定里程表讀

數(shù)與時間之間的關(guān)系的等。

分析：本題涉及時間人平均速率V、行駛路程5、里程表讀數(shù)s等

變量；時間f和平均速率v的關(guān)系由圖給出，圖形中拋開陰影不看，是

一些平行于x軸的小線段，而這些小線段實際上就是平均速率關(guān)于時間

變化的函數(shù)圖象，是一個分段函數(shù)。讀圖時，請注意邊界點的開閉情況,

當t在［0,1）內(nèi)時，對應(yīng)的平均速率為50當t在［1,2）內(nèi)時，對

應(yīng)的平均速率為80〃等。每一個陰影矩形的面積應(yīng)由長乘以寬得到,

即時間與對應(yīng)的平均速率的乘積，因此每一個陰影矩形的面積表示每個

時間段內(nèi)行駛的路程，進而整個陰影面積的意義就是汽車5小時內(nèi)行駛

的總路程。

解：(1)陰影部分的面積為

50x1+80x1+90x1+75x1+65x1=360

所以陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km.

分析：由圖可知，當時間t在［0,5］內(nèi)變化時，對于任意的時刻/都

有唯一確定的行駛路程與之相對應(yīng).x=t這條直線左邊的陰影面積就是

經(jīng)過f時間的路程。每個時間段內(nèi)對應(yīng)的平均速率不同，因此在每個時

間段內(nèi)，行駛路程與時間的關(guān)系也不一樣，需要分段表述。由S=vt,

s=2004+S等關(guān)系，通過逐步抽象，我們就不難得到里程表讀數(shù)s與時間

r的函數(shù)關(guān)系。

當fe［(),l)時，里程表讀數(shù)s應(yīng)在2004的基礎(chǔ)上加上經(jīng)過t時間行駛

的路程50t；

當/€0,2)時，里程表讀數(shù)s應(yīng)在2004的基礎(chǔ)上加上第一小時內(nèi)行駛

的路程50,再加上1到t時間行駛的路程80(t-1),以此類推。

(2)根據(jù)圖1,有

5O/+2OO4.

80G-1)4-2054.Kr<2.

5=^900-2)4-2134.2</<3.

75(/-3)4-2224.34V4,

65(,-4)+2299.4<r<5.

分段表示時，注意f取值區(qū)間的開閉情況與圖象對應(yīng)。

注意到各段均為一次函數(shù)，易得函數(shù)圖象如圖，

本題小結(jié)：本題的解答過程表明，函數(shù)圖象對分析和理解題意很有

幫助。因此，我們要注意提高讀圖能力。另外，本題用到了分段函數(shù)，

解決現(xiàn)實問題時經(jīng)常會用到此類函數(shù)。

若用模型y=o?描述汽車緊急剎車后滑行的距離y（單位：，〃）與剎

車時的速率x（單位：切歷7）的關(guān)系，而某種型號的汽車在速率為604

時，緊急剎車后滑行的距離為20m.在限速為100km/h的高速公路上，

一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50m,那么這輛車是否超

速行駛？

3

分練習鞏固設(shè)計意