物理學專升本2025年理論力學專項測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試用牛頓定律推導質點做勻速圓周運動時所需向心力的表達式。二、質量為m的質點在水平面內做半徑為r的圓周運動，其速度大小v隨時間t的變化關系為v=kt（k為常量）。求質點從t=0到t=T期間所受合外力的沖量。三、質量為M、半徑為R的均質圓盤，可繞通過盤心且垂直于盤面的光滑固定軸轉動。一質量為m的質點以相對圓盤的速率v0沿半徑為r的弦線飛出，方向垂直于弦線且背離圓心。求質點剛飛出時，圓盤的角速度。四、一質量為m、長為l的均勻細桿，可繞其一端O點在豎直平面內自由轉動。若桿從與豎直方向成θ0角的位置由靜止釋放，不計空氣阻力，求桿到達豎直位置時，桿的角速度及O端的支座反力。五、質量為M、半徑為R的均質圓盤A，放在光滑水平面上，一質量為m、長為r的均質桿B，一端與圓盤邊緣的A點鉸接，另一端放在光滑水平面上。開始時系統靜止，且桿B與圓盤A的半徑成α角。若不計鉸接處的摩擦，求桿B落到水平面時，圓盤A的角速度。六、質量為m的小球，用長為l的輕繩懸掛，構成一單擺?，F將小球從平衡位置拉開一個很小的角度θ（角θ以弧度計），然后由靜止釋放。不計空氣阻力，求小球擺動到最高位置時，繩子的張力。七、質量為M、半徑為R的均質圓柱體，沿傾角為α的粗糙斜面做純滾動，其質心具有加速度a。求作用于圓柱體上的摩擦力大小。已知圓柱體與斜面間的動摩擦因數為μ。八、質量為m的小球，以速度v0水平拋出，落地點為O。不計空氣阻力，求自拋出到落地過程中，小球對拋出點的角動量定理（用矢量方程表示）。試卷答案一、解：設質點質量為m，速度為v，半徑為r。根據牛頓第二定律，質點所受合外力F提供向心力，有：F=m*a_c其中，向心加速度a_c=v^2/r所以，向心力F=m*(v^2/r)將v=kt代入，得：F=m*(k^2*t^2/r)此即為質點做勻速圓周運動時所需向心力的表達式。二、解：沖量I=Δp=mv_f-mv_i質點初速度v_i=0，末速度v_f=kt因此，末動量mv_f=m*kt沖量I=m*kt-0=m*kt或者，用動量定理微分形式：dI=F_net*dt合力F_net=m*(dv/dt)=m*k對t從0到T積分：I=∫[0toT]m*k*dt=m*k*T兩種方法結果一致，沖量為m*k*T。三、解：系統（圓盤+質點）對轉軸O的角動量守恒。設圓盤角速度為ω，質點相對圓盤速度為v0，方向垂直于弦線且背離圓心。系統初始角動量L_i=0（系統靜止）系統末角動量L_f=I_盤*ω+I_點*v_點相對O其中，I_盤=(1/2)*M*R^2（圓盤轉動慣量）I_點=m*r^2（質點對O點的轉動慣量）v_點相對O=v0（質點相對圓盤的速率，方向垂直于r）v_點相對O對O點的角速度貢獻為v0/r所以，I_點*v_點相對O=m*r^2*(v0/r)=m*r*v0角動量守恒方程為：0=(1/2)*M*R^2*ω+m*r*v0解得圓盤角速度：ω=-(2*m*r*v0)/(M*R^2)負號表示圓盤轉向與質點飛出方向相反。四、解：桿下擺過程機械能守恒，對O點取矩。設桿對O點的轉動慣量I=(1/3)*M*l^2初始狀態(tài)：E_i=Mgl*(1-cosθ0)（桿的重力勢能，取O點為零勢能面）末狀態(tài)（桿豎直）：E_f=(1/2)*I*ω^2+Mgl（桿的動能+桿的重力勢能，此時重心在圓心，勢能相對O點為-Mgl，但系統總勢能變化為Mgl*(1-1/cosθ0)=Mgl*(1-cosθ0)）由E_i=E_f：Mgl*(1-cosθ0)=(1/2)*(1/3)*M*l^2*ω^2+Mgl*(1-cosθ0)解得角速度ω：(1/2)*(1/3)*M*l^2*ω^2=Mgl*cosθ0ω^2=(6gl*cosθ0)/l^2ω=sqrt(6g*cosθ0/l)求O端支座反力，用質心運動定理和角動量定理。設質心加速度為a_G，O點加速度為a_O。a_G=g*cosθ0（沿斜面向下）a_O=α*l（沿桿方向，α為角加速度，a_O=α*l=ω^2*l=6g*cosθ0）設O端反力為N_x（沿斜面向上），N_y（垂直于斜面向上）。沿斜面方向：M*a_G=Mgl-N_xN_x=Mgl-M*g*cosθ0=Mg*(1-cosθ0)沿垂直斜面方向：M*0=N_y-Mg*sinθ0N_y=Mg*sinθ0所以，O端支座反力為N_x=Mg*(1-cosθ0)（向上），N_y=Mg*sinθ0（向上）。五、解：系統（圓盤+桿）在水平方向不受外力，水平方向角動量守恒。對O點取矩。設圓盤角速度為ω_盤，桿角速度為ω_桿。系統初始角動量L_i=0（系統靜止）系統末角動量L_f=I_盤*ω_盤+I_桿*ω_桿其中，I_盤=(1/2)*M*R^2I_桿=(1/3)*m*r^2（桿對過其一端的軸的轉動慣量）桿B的質心速度v_G=(1/2)*r*ω_桿，方向水平向右。桿質心位于圓盤邊緣A點下方，距O點r*cos(π-α)=r*cosα處。桿對O點的角動量為I_桿*ω_桿=(1/3)*m*r^2*ω_桿桿的質心線速度v_G對O點的角動量為r*cosα*v_G=(1/2)*r^2*ω_桿桿對O點的總角動量為I_桿*ω_桿+r*cosα*v_G=(1/3)*m*r^2*ω_桿+(1/2)*m*r^2*ω_桿=(5/6)*m*r^2*ω_桿圓盤對O點的角動量為I_盤*ω_盤=(1/2)*M*R^2*ω_盤角動量守恒方程為：0=(1/2)*M*R^2*ω_盤+(5/6)*m*r^2*ω_桿解得圓盤角速度：ω_盤=-(5*m*r^2/(3*M*R^2))*ω_桿負號表示圓盤轉向與桿B的角速度方向相反。六、解：單擺在最高點和最低點，重力和繩子拉力的合力提供向心力。設最高點速度為v_H，最低點速度為v_L，擺長為l。在最低點：T_L-mg=m*v_L^2/lv_L=sqrt(2gl)（由機械能守恒，從最高點由靜止釋放，最高點勢能最大，動能最小，設最低點勢能為零）在最高點：T_H+mg=m*v_H^2/l由機械能守恒：mg*2l*(1-cosθ)=(1/2)*m*v_H^2（最高點相對于最低點勢能增加）v_H^2=4gl*(1-cosθ)使用小角度近似cosθ≈1-θ^2/2：v_H^2≈4gl*θ^2/2=2gl*θ^2代入最高點受力方程：T_H+mg=m*(2gl*θ^2)/lT_H=2mgl*θ^2-mgT_H=mg*(2θ^2-1)此即為小球擺動到最高位置時，繩子的張力。七、解：對質心C取動量矩定理（對質心軸的轉動定律）。設圓柱體角速度為ω，質心加速度為a。a=g*sinα（質心沿斜面下滑的加速度）圓柱體做純滾動，有a=R*α所以，α=a/R=g*sinα/R圓柱體對質心C的轉動慣量I_C=(1/2)*M*R^2對質心C的轉動定律：M*R^2*α=f*Rf=M*R*α=M*R*(g*sinα/R)=M*g*sinα這是靜摩擦力提供的力矩。由于是純滾動，此處摩擦力f是靜摩擦力。也可以用質心運動定理：沿斜面方向：M*a=M*g*sinα=ff=M*g*sinα兩種方法得到相同結果。注意，最大靜摩擦力f_max=μ*N=μ*M*g*cosα。只有當f≤f_max時，純滾動才能維持。在本題條件下，f=M*g*sinα，需要滿足M*g*sinα≤μ*M*g*cosα，即tanα≤μ，才能保證純滾動。八、解：小球受重力mg和空氣阻力（忽略不計）。重力對拋出點O的力矩為r=0（因為重力作用線通過O點）。根據角動量定理，合外力矩等于角動量對時間的變化率：M_O=dL_O/dt其中，L_O是小球對O點的角動量。取O點為原點，水平向右為x軸，豎直向上為y軸。小球位矢r(t)=(v0t,h-(1/2)gt^2)小球速度v(t)=(v0,-gt)小球對O點的角動量L_O(t)=r(t)×p(t)=r(t)×m*v(t)L_O(t)=|ijk||v0h-(1/2)gt^2|<-r(t)|v0-gt|<-v(t)L_O(t)=i*[(h-(1/2)gt^2)(-gt)-(v0)(-gt^2)]-j*[v0*(-gt^2)-v0*(h-(1/2)gt^2)*0]+k*[v0*(h-(1/2)gt^2)-v0*(-gt)]L_O(t)=i*[-hgt+(1/2)g^2t^3+v0gt^2]-j*[-v0gt^2]+k*[v0h-(1/2)gvt^2+v0gt]L_O(t)=i*[v0gt^2+(1/2)g^2t^3-hgt]+j*v0gt^2+k*[v0h+(1/2)gvt^2]L_O(t)=(v0gt^2+(1/2)g^2t^3-hgt)i+v0gt^2j+(v0h+(1