第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)湖北省鄂州市2026屆高三第三屆普通高中教師專業(yè)能力測(cè)試（解題大賽）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={a,a2}，N={1,2}，且M∩N={1}，則M∪N=A.{1,2} B.{?1,1,2} C.{?2,1,2} D.{?2,?1,1,2}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(4?3i)(2?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)的7倍，則C的離心率為(

)A.2 B.2 C.7 4.在?ABC中，已知sin2C+2A.π4 B.π3 C.2π5.節(jié)氣是指二十四個(gè)時(shí)節(jié)和氣候，是中國(guó)古代訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)積累的成果和智慧的結(jié)晶．若從立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)氣，則其中一個(gè)節(jié)氣是立春的概率為(

)A.16 B.25 C.126.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2(風(fēng)速的大小和向量的大小相同)，單位(m/s)，則真風(fēng)為(

)等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱21.6～3.3輕風(fēng)33.4～5.4微風(fēng)45.5～7.9和風(fēng)58.0～10.7勁風(fēng)A.輕風(fēng) B.微風(fēng) C.和風(fēng) D.勁風(fēng)7.若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)f(x)=sin(ωx+π12)(ω>0)在[a,a+4]上最少有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則A.π B.3π4 C.π2 8.設(shè)a∈R，則“a3=3aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，DA.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D

C.10.已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的一條直線交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作直線l:x=?32的垂線，垂足為D，過(guò)F且與直線AB垂直的直線交l于點(diǎn)A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|?|BE|≥1811.已知函數(shù)f(x)=sinx+sin1x，x0A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)的最大值為2

C.若x0>1，則x0的最小值為π+π2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線y=2x+5是曲線y=ex+x+a的切線，則a=

13.若一個(gè)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為

．14.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，斜率為2的直線與圓x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的角分別為α,β，則sin四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知數(shù)列{an?2n+1}是等比數(shù)列，且a(1)求數(shù)列{an(2)求數(shù)列{an}的前16.(本小題15分)已知橢圓C:x2a2(1)求C的方程；(2)若直線l:y=x+t與C交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，?OMN的面積為4317.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB(1)證明：平面PAB⊥平面PAD(2)設(shè)PA=AB=2,BC=2,AD=1+3，且點(diǎn)P，B，C(i)證明：點(diǎn)O在平面ABCD內(nèi)；(ⅱ)求直線AC與PO所成角的余弦值．18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)求f(x)的極值．(2)已知函數(shù)g(x)=f(x)+f(1①若g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；②若g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x219.(本小題17分)一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球(大小、質(zhì)地均相同)，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球并記錄編號(hào)后放回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球的編號(hào)相同時(shí)，停止摸球.設(shè)停止摸球時(shí)已摸球的次數(shù)為X，第k次摸到的小球編號(hào)為Yk(1)求P(X=2)與P(X=3);(2)設(shè)P(X=n)=an，求a(3)當(dāng)X=n時(shí)，Sn為隨機(jī)變量，若Y1+Y2+?+Yn是奇數(shù)，則Sn參考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.B

6.A

7.B

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.4

13.±214.?415.解：(1)由a1=2，a4=34，得a1?2+1=1，a4?8+1=27，

因?yàn)閧an?2n+1}是等比數(shù)列，

設(shè){an?2n+1}的公比為q，

所以q3=271=27，得q=3，

則an?2n+1=1×3n?116.【詳解】(1)由題意，得e=ca=則橢圓C的方程為x2(2)設(shè)Mx聯(lián)立y=x+tx26則Δ=16t2?12且x1所以|MN|=點(diǎn)O(0,0)到直線l的距離為|t|

則S?OMN=12?4則t=±1或

17.解：(1)由題意證明如下，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AB?平面ABCD，AD?平面∴AP⊥AB，∵AP?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD∵AB?平面PAB∴平面PAB⊥平面PAD(2)(i)由題意及(1)證明如下，法一：在四棱錐P?ABCD中，AP⊥AB，AP⊥AD，PA=AB=2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴A(0,0,0),B若P，B，C，D在同一個(gè)球面上，則|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，在平面xAy中，∴A(0,0),B∴線段CD中點(diǎn)坐標(biāo)F直線CD的斜率：k1直線CD的垂直平分線EF斜率：k2∴直線EF的方程：y?即y=當(dāng)y=1時(shí)，1=6+∴O(0,1)在立體幾何中，O(0,1,0)，∵解得：|OP|=|OB|=|OC|=|OD|=∴點(diǎn)O在平面ABCD上.法二：∵P，B，C，D在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在?BCD作出BC和CD的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，O1E=AB=2BO∴O∴點(diǎn)O1是?在Rt?AOP中，AP⊥由勾股定理得，PO∴PO∴點(diǎn)O1即為點(diǎn)P，B，C，D所在球的球心O此時(shí)點(diǎn)O在線段AD上，AD?平面ABCD∴點(diǎn)O在平面ABCD上.(ii)由題意，(1)(2)(ii)及圖得，AC=設(shè)直線AC與直線PO所成角為θ，∴cos法2：由幾何知識(shí)得，PO=AB⊥AD，∴AB⊥在Rt?ABC中，AB=AC=過(guò)點(diǎn)O作AC的平行線，交BC的延長(zhǎng)線為C1，連接AC1則OC1=AC=6，直線AC與直線PO∵PA⊥平面ABCD，AC1?平面∴PA⊥在Rt?ABC1中，AC在Rt?APCPC在?POPC即：解得：cos∠∴直線AC與直線PO所成角的余弦值為：cos∠PO

18.(1)函數(shù)f(x)=lnxx2定義域?yàn)楫?dāng)x∈(0,e)時(shí)，f則函數(shù)f(x)在(0,e)所以函數(shù)f(x)在x=e取得極大值(2)①函數(shù)g(x)=lnxx令函數(shù)?(x)=1?2lnx當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，x4?3<0當(dāng)x∈(1,3則2(x2(x當(dāng)x∈(3則2(x4?3)因此當(dāng)x∈(0,+∞即?′(x)<0，由?(1)=0，得當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?(x)>0；當(dāng)函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，由g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，得?a<0，解得a>0，所以②由①及g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x不妨設(shè)0<x1<1<x則g(1x1)=g(x1)=g(所以x1

19.解：(1)P(X=2)=1×14=14，

P(X=3)=1×34×14=316．

(2)因?yàn)閄≥2，所以n≥2，則P(X≥n+1)=1?a2?a3?···?an，

若X=n+1，則X≥n+1且Yn=Yn+1，

所以an+1=(1?a2?a3?···