2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)藝術(shù)素養(yǎng)評(píng)估試題（二）注意事項(xiàng)答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在答題卡指定位置。作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。作答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）敦煌莫高窟第285窟的壁畫中繪制了正五邊形紋樣，若正五邊形的邊長為2，則其內(nèi)切圓半徑為（）A.$\frac{1}{\tan36^\circ}$B.$\tan36^\circ$C.$\frac{1}{\sin36^\circ}$D.$\cos36^\circ$達(dá)芬奇在《維特魯威人》中提出人體比例的黃金分割原則，若某藝術(shù)品的主體結(jié)構(gòu)符合黃金分割比例，已知較長部分長度為$5\sqrt{5}-5$，則較短部分長度為（）A.$10-2\sqrt{5}$B.$5\sqrt{5}-10$C.$15-5\sqrt{5}$D.$5\sqrt{5}-15$剪紙藝術(shù)中常用到幾何圖形的對(duì)稱變換，如圖1所示的菱形剪紙圖案中，$\angleBAD=60^\circ$，$AB=4$，若將菱形繞對(duì)角線交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$60^\circ$，則點(diǎn)$B$的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）（以對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，$AC$所在直線為$x$軸建立坐標(biāo)系）A.$(\sqrt{3},1)$B.$(-\sqrt{3},1)$C.$(1,\sqrt{3})$D.$(-1,\sqrt{3})$中國傳統(tǒng)建筑中的斗拱結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，某斗拱構(gòu)件的尺寸如圖2所示（單位：cm），其中$AB\parallelCD$，$AE\perpCD$，若$\tan\angleADE=\frac{3}{4}$，$DE=8$cm，則$AB$的長度為（）A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm現(xiàn)代藝術(shù)裝置“莫比烏斯環(huán)”的表面可近似看作由函數(shù)$f(x)=\sin\frac{\pi}{2}x+\cos\frac{\pi}{2}x$在區(qū)間$[0,4]$上的圖像繞$x$軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面，該函數(shù)在$x=1$處的切線斜率為（）A.$-\frac{\pi}{2}$B.0C.$\frac{\pi}{2}$D.$\pi$某中學(xué)藝術(shù)社團(tuán)制作的正六棱柱形燈籠，底面邊長為15cm，高為40cm，現(xiàn)要在燈籠側(cè)面粘貼裝飾畫，若每幅裝飾畫是面積為$150\sqrt{3}\\text{cm}^2$的菱形，則每個(gè)側(cè)面至少需要粘貼裝飾畫的數(shù)量為（）A.3B.4C.5D.6分形幾何中的科赫雪花圖案是由等邊三角形通過迭代生成的，第1代科赫雪花的邊長為1，面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則第3代科赫雪花的周長與面積之比為（）A.$\frac{16\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{16\sqrt{3}}{9}$C.$\frac{32\sqrt{3}}{9}$D.$\frac{32\sqrt{3}}{27}$古希臘雕塑《斷臂的維納斯》的身高約為160cm，若從頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x與肚臍到足底的距離之比為黃金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，則其肚臍到足底的距離約為（）A.99cmB.101cmC.103cmD.105cm某藝術(shù)展廳的地面由全等的正六邊形地磚鋪設(shè)而成，相鄰地磚的公共邊長度為50cm，現(xiàn)要在地面上繪制一個(gè)頂點(diǎn)均在地磚頂點(diǎn)處的正方形圖案，則該正方形的最小面積為（）A.$15000\\text{cm}^2$B.$22500\\text{cm}^2$C.$30000\\text{cm}^2$D.$45000\\text{cm}^2$函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的圖像可用來模擬音樂波形，若某音符對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)$(0,2)$和$(\frac{\pi}{6},0)$，且相鄰對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，則$\omega+\varphi$的值為（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$-\frac{\pi}{3}$D.$-\frac{\pi}{6}$如圖3所示的螺旋線圖案是由一系列半圓連接而成，第1個(gè)半圓的直徑$AB=2$，圓心在$x$軸正半軸，第2個(gè)半圓的直徑$BC=1$，圓心在$y$軸正半軸，第3個(gè)半圓的直徑$CD=1$，圓心在$x$軸負(fù)半軸，第4個(gè)半圓的直徑$DE=0.5$，圓心在$y$軸負(fù)半軸，依此類推，若此螺旋線與$y$軸正半軸的交點(diǎn)從下到上依次記為$B_1,B_2,B_3,\cdots$，則$B_5$的縱坐標(biāo)為（）A.$\frac{15}{8}$B.$\frac{31}{16}$C.$\frac{63}{32}$D.$\frac{127}{64}$在數(shù)字藝術(shù)創(chuàng)作中，常用到矩陣變換，若將點(diǎn)$P(x,y)$經(jīng)過矩陣$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$變換后得到點(diǎn)$P'(\sqrt{3}-1,1+\sqrt{3})$，則當(dāng)$\theta=\frac{\pi}{4}$時(shí)，點(diǎn)$P$到原點(diǎn)的距離為（）A.$2\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.4D.$4\sqrt{2}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某刺繡作品采用“亂針繡”技法，其局部圖案可看作由函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的圖像與$x$軸圍成的封閉區(qū)域，現(xiàn)要給該區(qū)域涂色，則涂色面積為__________。中國結(jié)是中華民族的傳統(tǒng)手工藝品，其中“吉祥結(jié)”的編織過程可抽象為幾何圖形的對(duì)稱變換。如圖4所示的吉祥結(jié)圖案中，共有__________條對(duì)稱軸。音樂的十二平均律中，各音的頻率成等比數(shù)列，若已知基準(zhǔn)音$A$（簡譜“6”）的頻率為440Hz，相鄰音的頻率比為$2^{\frac{1}{12}}$，則高音$A$（比基準(zhǔn)音高八度）的頻率為__________Hz，中音$C$（比基準(zhǔn)音低小三度，即3個(gè)半音）的頻率為__________Hz（結(jié)果保留整數(shù)）。立體構(gòu)成藝術(shù)中，某作品由棱長為2的正方體切割而成，其三視圖如圖5所示（單位：cm），則該幾何體的體積為__________，表面積為__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在陶藝制作中，常用旋轉(zhuǎn)成型技術(shù)制作圓柱形或圓臺(tái)形器皿。某同學(xué)制作的圓臺(tái)形花盆（無蓋），其上底半徑為6cm，下底半徑為10cm，母線長為5cm。（1）求該花盆的側(cè)面積（結(jié)果保留$\pi$）；（2）若該花盆盛滿水，求水對(duì)盆底的壓力（水的密度$\rho=1.0\times10^3\\text{kg/m}^3$，重力加速度$g=9.8\\text{m/s}^2$，結(jié)果保留兩位小數(shù)）。（本小題滿分12分）敦煌壁畫中的飛天形象常用到拋物線造型，如圖6所示，某飛天飄帶的輪廓線可近似看作拋物線$y=ax^2+bx+c$的一部分，已知飄帶輪廓線經(jīng)過點(diǎn)$A(-4,0)$，$B(0,3)$，$C(2,0)$。（1）求該拋物線的解析式；（2）若飄帶輪廓線上點(diǎn)$D$到$y$軸的距離為3，求點(diǎn)$D$到直線$AB$的距離；（3）在飄帶輪廓線$AC$段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)$P$，使得$\trianglePAB$的面積最大？若存在，求出點(diǎn)$P$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（本小題滿分12分）某校藝術(shù)社團(tuán)計(jì)劃制作一個(gè)正四棱錐彩燈框架，其側(cè)面由4塊全等的三角形玻璃構(gòu)成，底面是邊長為80cm的正方形。（1）若側(cè)面三角形的頂角為$60^\circ$，求該棱錐的高（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）現(xiàn)有兩種規(guī)格的玻璃材料：①邊長為100cm的等邊三角形玻璃；②底邊長80cm、腰長100cm的等腰三角形玻璃。哪種材料更節(jié)省用料？請(qǐng)說明理由；（3）為增強(qiáng)照明效果，社團(tuán)決定在棱錐內(nèi)部安裝一個(gè)圓柱形LED燈，要求圓柱的上底面與側(cè)面相切，下底面落在棱錐底面上，若棱錐的高為60cm，求該圓柱的最大體積（結(jié)果保留$\pi$）。（本小題滿分12分）在建筑裝飾中，圓弧與直線的組合應(yīng)用廣泛。如圖7所示，某藝術(shù)館的入口頂部設(shè)計(jì)為一段圓弧$AB$和兩條線段$AC$、$BC$構(gòu)成的封閉圖形，其中$AC=BC=6$m，$\angleACB=120^\circ$，圓弧$AB$所在圓的圓心為$O$。（1）求證：點(diǎn)$O$在$CD$上（$CD$為$\angleACB$的平分線）；（2）求圓弧$AB$的長度（結(jié)果保留$\pi$）；（3）若在該圖形區(qū)域內(nèi)安裝LED燈帶，已知圓弧部分燈帶每米造價(jià)為300元，線段部分燈帶每米造價(jià)為200元，求安裝整個(gè)燈帶的總造價(jià)（結(jié)果保留整數(shù)）。（本小題滿分12分）函數(shù)圖像的變換是數(shù)字藝術(shù)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$。（1）將函數(shù)$f(x)$的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），再向左平移$\frac{\pi}{8}$個(gè)單位長度，得到函數(shù)$g(x)$的圖像，求$g(x)$的解析式及最小正周期；（2）已知某藝術(shù)圖案是由函數(shù)$g(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的圖像與坐標(biāo)軸圍成的封閉區(qū)域，現(xiàn)要給該區(qū)域填充漸變色，其色值變化規(guī)律為$h(x,y)=x^2+y^2$，求色值$h(x,y)$的最大值與最小值；（3）若將函數(shù)$f(x)$的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\alpha$角（$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$）后得到的圖像仍是某函數(shù)的圖像，求$\alpha$的取值范圍。（本小題滿分12分）分形藝術(shù)是一種基于遞歸迭代生成的視覺藝術(shù)，謝爾賓斯基三角形是經(jīng)典的分形圖案，其生成規(guī)則如下：第0代：一個(gè)邊長為1的等邊三角形；第1代：連接第0代三角形各邊中點(diǎn)，得到4個(gè)小等邊三角形，去掉中心的1個(gè)小三角形；第2代：對(duì)第1代剩下的3個(gè)小三角形分別重復(fù)第1代的操作；……依此類推，不斷迭代生成。（1）記第$n$代謝爾賓斯基三角形的邊數(shù)為$a_n$，面積為$S_n$，寫出$a_n$，$S_n$的遞推公式（不需要證明）；（2）求第$n$代謝爾賓斯基三角形的周長$L_n$和面積$S_n$（用含$n$的式子表示）；（3）若在第3代謝爾賓斯基三角形圖案中隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于黑色區(qū)域（未被挖去部分）的概率。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（本部分不印在試卷上）一、選擇題A2.C3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.C10.D11.B12.C二、填空題414.615.880，32916.$\frac{20}{3}\\text{cm}^3$，$24+8\sqrt{2}\\text{cm}^2$三、解答題（1）$80\pi\\text{cm}^2$；（2）$0.245\\text{N}$（1）$y=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+3$；（2）$\frac{9\sqrt{2}}{8}$；（3）存在，$P(-1,\frac{27}{8})$（1）$20\sqrt{3}\\text{cm}$；（2）第二種材料更節(jié)??；（3）$1000\pi\\text{cm}