平面向量的基本定理及坐標表示知識點一平面向量的基本定理1平面向量的基本定理設(shè)

e1，e2同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，

a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實數(shù)對(λ，μ)，使我們把{e1，e如下圖，a=OM+ON=λPS唯一性的解釋若e1，e2不共線2正交分解及其坐標表示①正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；如上圖，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的壓力F②向量的坐標表示在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量

i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量

a可表示為a=xi+yj=(x,y)，(x,y)稱為向量a向量a=(x,y)，就是以原點為起點，點(x,y)為終點的向量知識點二平面向量數(shù)乘運算與數(shù)量積的坐標表示1坐標運算設(shè)a=(x(1)向量的模a(2)向量的加減法運算a+b(3)若A(x1,y1)(4)實數(shù)與向量的積λ(5)數(shù)量積a(6)夾角余弦值cos<a拓展定比分點線段P1P2的端點P1、P2的坐標分別是(當P1P=λPP2時2平面向量位置關(guān)系若

a(a∥a⊥【題型一】平面向量的基本定理的理解【典題1】如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1+e2 BC．e1+e2→與e【解析】e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，作為基底的向量，前提為不共線向量，所以對于選項ABC都為不共線向量，選項De1-2e故選D．【典題2】已知方程ax2+bx+c=0，其中a，b，A．至多有一個解 B．至少有一個解 C．至多有兩個解 D．可能有無數(shù)多個解【解析】∵ax∵a，b不共線，故存在唯一一對實數(shù)若λ滿足λ=-μ2，則方程有一個解；λ不滿足λ=-所以至多一個解，故選A．【點撥】本題考核對平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解.【題型二】平面向量的基本定理的運用【典題1】已知在△ABC中，M,N分別是邊AB,AC上的點，且AM=2MB，AN=3NC，BN與CM相交于點P,記a=AB，A．AP=13a+23b B【解析】由題意，可知AM=23設(shè)BP=λ則有AP=AB+λ又設(shè)CP=μCM則有AP=(1-μ)AC+μ?通過比較①②，可得關(guān)于λ,μ的二元一次方程組：1-λ=2解此二元一次方程組，得λ=2將結(jié)果帶入①式，可得：AP=13【點撥】①這里給到的方法是以不共線向量a、b為基底，通過兩個方式得到向量AP的表達式，即(1-λ)a②本題方法很多也可以用平行四邊形法則求解.【典題2】如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+yAC【解析】以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系(如圖)．令AB=2，則AB=(2,0),過D作DF⊥AB交AB的延長線為F，由已知得DE=BC=22，則DF=BF=3，則∵AD=x即有x=1+3【點撥】①本題也可以用平行四邊形法則求解；②這里講解的方法是建系法，常見步驟如下(1)找到合適的方式(一般是利用題中垂直關(guān)系等)建系；(2)通過一些幾何的知識點求出線段的長度，進而得到關(guān)鍵點的坐標；(3)關(guān)鍵向量用坐標形式表示，比如本題中的AB=(4)得到方程組求解(其實就是利用平面向量的基本定理的唯一性).③當根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)容易建系(比如有明顯的垂直關(guān)系等)，可考慮建系法，它充分體現(xiàn)了“解析幾何的優(yōu)勢”.【典題3】在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交BA及其延長線于點M，N，點P在MDN上運動(如圖)【解析】建立如圖所示的坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,2)，E(2,1)，F(xiàn)(1,3Pcosα,sinα(0≤α≤π)，(因為P在單位圓上，α為由AP=λAE?cosα=2λ-μ,sinα=λ+?λ=∴2λ-5μ=2(3=-2∵α-即2λ－5μ的取值范圍是【點撥】利用建系法求解，點P在單位圓上，巧妙的設(shè)為P(cosα,sinα)，引入?yún)?shù)α，此處要注意0≤α≤π，則2λ－5μ是α鞏固練習1(★)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1=(0,0),e2=(1,2) C．e1=(3,5),e2=(6,10) 【答案】B【解析】只要兩向量不共線即可作為基底，A．e1→=0?eB．－1×7－2×5≠0，C．3×10－5×6=0，∴e1D．2×9－3×6=0，∴e1故選B．2(★★)如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中AP=λAB+μAE，A．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點 B．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個 C．滿足λ+μ=a(a>0)的點P最多有3個D．λ+μ的最大值為3【答案】D【解析】以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，P(x，y)，則A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)；∴AP→∴由AP→=λAB→+μAE→得，(x∴λ+μ=x+2y=x∴滿足λ+μ=2的點P有線段BC的中點和D點；滿足λ+μ=1的點P有B點和線段AD的中點；滿足λ+μ=a(a>0)的點最多有2個；x=1，y=1時，λ+μ取最大值3．故選D．3(★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR【答案】m=27【解析】根據(jù)條件，BQ→CR→∴QP→=m2a∵RQ→∴(3m∴3m4-14(★★)如圖，已知|OA|=|OB|=1，|OC|=3，OC⊥OB，＜【答案】3【解析】建立如圖所以坐標系，根據(jù)條件不妨設(shè)A(1，0)，B(-12，32)，C(32則OC→=(32，32)=x(1，0)+y(-12，32)，所以x-12y=5(★★★)在平面向量中有如下定理：設(shè)點O、P、Q、R為同一平面內(nèi)的點，則P、Q、R三點共線的充要條件是：存在實數(shù)t，使OP=(1-t)OQ+tOR．試利用該定理解答下列問題：如圖，在△ABC中，點E為AB邊的中點，點F在AC邊上，且CF=2FA，BF【答案】7【解析】如圖，E，M，C三點共線，∴存在實數(shù)λ，使AM→∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴AM→=λAE∴λ=x3(1-λ)=y，∴3(1－同樣，B，M，F(xiàn)三點共線，所以存在μ，使AM→∵E為AB邊的中點，∴AB=2AE，∴AM→∴x=2μy=1-μ，∴y=1-∴聯(lián)立①可得：x=45，y=356(★★★)在梯形ABCD中，AB=2DC，BE=13BC，P為線段DE上的動點(包括端點)，且AP【答案】11【解析】由題，梯形ABCD中，AB→=2DCP為線段DE上的動點(包括端點)，設(shè)AP=tAD∵AD→∴AP→=t(12AB→又∵AP→=λAB→+μBC→(λ，μ∴λ2+μ=(1-1∴當t=23時，λ2+μ的最小值為7(★★★)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E,F分別為BC,CD的動點，且|BE|=2|CF|設(shè)AC=xAE+yAF(x,y∈R)，則【答案】2【解析】建立如圖所示的直角坐標系，并設(shè)邊長為1，|CF|=a，則A(0，0)，C(1，1)，E(1，2a)，F(xiàn)(1－a，1)，故AC→又AC→∴x+(1-a)y=12ax+y=1，則x=a2a令t=1-a∈[1則x+y=t2t2-2t+1故答案為2+12．8(★★★)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，點E在線段BC上，且BC=3BE，若AC=λAD+μAE(λ,μ∈【答案】3【解析】如圖建立直角坐標系設(shè)AB=BC=t，則A(－t，0)，C(0，t)，點E在線段BC上，且BC→=3BE→，所以E(0，因為在Rt△ADC中，AC=2t，∠ACD=30°，所以AD由題知Rt△ABC，是等腰三角形．所以∠DAF=45°，所以DF=AF=33t，D(－(1+33)AC→=(t，t)，AD→=(-33t，3若AC→=λAD→+μAE→(λ，則(t，t)=λ(-33t，33t)+μ(t，t3)，1=-3故答案為3．【題型三】向量位置關(guān)系【典題1】已知平面內(nèi)三向量a=(2,1)，b=(－(1)求滿足a=mb+n(2)若(2a+kc∥(3)若(2a+kc)【解析】1m∴-m-2n=23m+2n=1，解得22a+k∵(2a+kc)∥(b(3)∵(2a+kc)⊥(b∴k=1【典題2】設(shè)向量OA=(1,-2)，OB=(a,-1)，OC=(-b,0)，其中O為坐標原點，b>0，若A,B,C三點共線【解析】AB=(a-1,1)∵A,B,C三點共線，∴2a-1-(-b-1)=0則1a當且僅當b=2a=1【點撥】A,B,C三點共線，即AB//AC【典題3】已知向量a=(2，1)，b=(-1,m)，若a與b夾角為鈍角，則m的取值范圍是【解析】向量a=(2,1)，b若a與b夾角為鈍角，則a→?b<0a→、即2×(-1)+1?m<0-12≠m，解得∴m的取值范圍是(－【點撥】由數(shù)量積a?a⊥b?a?b=0；鞏固練習1(★★)已知兩個向量a=(cosθ,sinθ),b=(3,-1)，則A．2 B．22 C．4 D．4【答案】C【解析】∵向量a→∴2a∴=4=8sin(θ-π當sin(θ-π3)=1∴|2a→-故選C．2(★★)已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形 C．菱形 D．兩組對邊均不平行的四邊形【答案】B【解析】∵AB→=(－4，3)，DC→=(－4，3)，AD∴AB→=DC→，可得可得四邊形ABCD是平行四邊形，又∵|AB→|=(-4)2+3∴|AB→|≠|(zhì)AD由此可得四邊形ABCD是鄰邊不等的平行四邊形故選B．3(★★)已知P1(2,－1)，P2(0,5)且點P在P1P【答案】(－2，11)【解析】∵點P在線段P1P2的延長線上，且|P1P→|=2|∵P1(2，－1)，P2(0，5)設(shè)P點(x，y)，∴P1P→=(x－2，y+1)，PP2→=∴x-2=-2(-x)y+1=-2(5-y)∴x=－2，∴P點的坐標為(－2，11)．故答案為(－2，11)4(★★)已知a=(1,2+sinx)，b=(2,cosx)，c=(-1,2)，(a-【答案】45°【解析】由題意可得a→再由(a→-c化簡可得sinx=cosx，∴tanx=1，∴銳角x等于45°，5(★★)已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，若(ka+b)⊥(3a【答案】1【解析】∵向量a→=(1，0)，b→=∴ka→+b→=(k，1)，3又(ka→+b→)⊥(3a→-b→)，∴故答案為13．6(★★)在平面四邊形ABCD中，AC=(1，3)，BD=(-9,3)，則四邊形ABCD的面積為【答案】15【解析】在平面四邊形ABCD中，AC→=(1，3)，BD→=(－∵AC→?BD→=0，∴|AC→|=10，|BD→|=∴四邊形ABCD的面積為12?10?310=【題型四】利用建系求解數(shù)量積【典題1】如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠BAD=60°，且E為對角線AC上一點．(1)求

AB?(2)若AE=2EC，(3)連結(jié)BE并延長，交CD于點F，連結(jié)AF，設(shè)CE=λEA(0≤λ≤1)．當λ為何值時，可使AF?BF【解析】(1)AB(2)∵AE=2EC∴AE(3)以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系，則A(0,0),B(1,0),D(12,32)．(∵CE由圖易得△ABE∽△CFE，可得CF∴DF=1-λ，則F(∴AF=∴∴當λ=1時，AF?BF最小，最小值是【點撥】求數(shù)量積方法多樣①直接利用數(shù)量積的定義a?b=|②把數(shù)量積中的向量轉(zhuǎn)化為”信息量大”的向量，進而求解，比如第二問求AE?AB，轉(zhuǎn)化為向量③建系法，利用幾何的知識點求出關(guān)鍵點坐標，從而數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，比如第三問求AF?BF，因為易得A、B的坐標，只要求出點F的坐標，就可以把數(shù)量積鞏固練習1(★)已知向量a=(3，1)，b=(m－1,3)，若向量a→，b的夾角為銳角【答案】(1-【解析】因為a→=(3，1)因為向量a→，b→的夾角為銳角，所以有3(m-1)+3>0又當向量a→，b→共線時，m=1+3所以，實數(shù)m的取值范圍為(1-32(★★)如圖所示，在梯形ABCD中，∠A=π2，AB=2，BC=2，AD=32，點E【答案】－2【解析】以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建系，C(2，0)，E(0，22)，B(0，∴CE→=(-2，22故答案為：－2．3(★★)在平直角坐標系xOy中，A(1,0)，B(0,2)，點P在線段AB上運動，則OP?AP【答案】[-120【解析】由題意可知，線段AB滿足x1+y2=1，x設(shè)P(x，y)，所以y=2(1－x)，則OP→?AP→=(x，y)?(x－1，y)=x2－x+y2=x2－x+4x2－=5x2－9x+4，二次函數(shù)的對稱軸為x=910∈[0，所以5x2－9x+4在[0，1]是的最大值為：f(0)=4，最小值為：f(910)=5(910)2－9×9所以O(shè)P→?AP