專題02平方根重難點題型專訓（4個知識點+10大題型+4拓展訓練+自我檢測）題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個數(shù)的平方根題型七求代數(shù)式的平方根題型八已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)題型九平方根的應用題型十利用平方根解方程拓展訓練一平方根的新定義問題拓展訓練二算術(shù)平方根的雙重非負性運用拓展訓練三平方根中的幾何問題拓展訓練四平方根的規(guī)律探究問題知識點一、平方根1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根.（1）在中，因為，所以；（2）檢驗x是不是a的平方根，只需驗證是不是等于a就可以了.2.平方根的表示：正數(shù)a的正的平方根記作，負的平方根記作，正數(shù)a的兩個平方根記作，讀作“正、負根號a”.3.一個數(shù)的平方根平方后仍然等于這個數(shù).4.求一個非負帶分數(shù)的平方根時，要先化成假分數(shù)，再求平方根.【即時訓練】1．（24-25七年級下·吉林·階段練習）下列各數(shù)中沒有平方根的是（

）A． B． C． D．02．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期末）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則這個正數(shù)是（

）A．1 B．4 C．9 D．25知識點二、平方根的性質(zhì)1.一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；2.0的平方根還是0（平方根等于本身的只有0）；3.負數(shù)沒有平方根；4.；5..【即時訓練】3．（24-25七年級下·海南省直轄縣級單位·期末）若，則的平方根是（

）A．9 B． C．3 D．4．（24-25八年級下·云南昆明·期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．知識點三、開平方求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方.1.開平方時，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)；2.開平方是求一個非負數(shù)的平方根.3.平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣，是求平方根的過程；4.平方和開平方互為逆運算，我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果表是否正確.知識點四、算術(shù)平方根1.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根；2.算術(shù)平方根的表示：正數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作“根號a”；3.算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，負數(shù)沒有算術(shù)平方根.4.算術(shù)平方根具有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)，即；②算術(shù)平方根是非負數(shù)，即.5.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系平方根算術(shù)平方根區(qū)別個數(shù)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個表示方法非負數(shù)a的平方根表示為非負數(shù)a的算術(shù)平方根表示為取值范圍正數(shù)的平方根是一正一負正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)聯(lián)系包含條件平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是正的平方根（0除外）0.存在條件平方根和算術(shù)平方根都是只有非負數(shù)才有，0的平方根和算術(shù)平方根都是0.PS：算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0和1.【即時訓練】5．（24-25七年級下·甘肅平?jīng)觥るA段練習）下列說法正確的有（

）①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；②一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；③的算術(shù)平方根是a；④的算術(shù)平方根是；⑤算術(shù)平方根不可能是負數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（24-25七年級下·山東德州·階段練習）如果x，y為實數(shù)，且滿足，那么的值是（

）A．6 B． C．0 D．5【經(jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】【例1】（24-25七年級下·甘肅平?jīng)觥るA段練習）下列說法正確的有（

）①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；②一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；③的算術(shù)平方根是a；④的算術(shù)平方根是；⑤算術(shù)平方根不可能是負數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．（24-25八年級上·河南鄭州·階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①；②；③的平方根是；④的算術(shù)平方根是；⑤是的平方根A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25七年級下·安徽銅陵·期末）已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，則這個正數(shù)是．3．（24-25七年級下·安徽黃山·期中）老師給同學們布置了這樣一道練習題：一個數(shù)的算術(shù)平方根為，它的平方根為，求這個數(shù)．小張的解法如下：解：依據(jù)題意可知：是和兩個數(shù)中的一個．當時，解得………………①這個數(shù)是…………②當時，解得……………③這個數(shù)是………④綜上可得：這個數(shù)為或．(1)王老師看后說小張的解法是錯誤的，請你指出以上序號標注的步驟中錯誤的有：__________（填寫序號）；(2)請你幫助小張寫出正確過程．【經(jīng)典例題二求一個數(shù)的算術(shù)平方根】【例2】（24-25七年級下·重慶·期中）若，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．31．（24-25七年級下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知，則的值是（

）A．3.142 B．31.42 C．314.2 D．2．（24-25七年級下·安徽阜陽·階段練習）三個互不相等的負整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”．例如：，，這三個數(shù)，，，，其結(jié)果6，9，18都是整數(shù)，所以，，這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．若三個數(shù)，，是“完美組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為20，則的值為（

）A． B． C．或 D．80或203．（24-25七年級下·湖北黃石·階段練習）已知，．則．若，則．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負性解題】【例3】（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）已知，則（

）A． B． C． D．1．（24-25八年級上·四川樂山·期末）已知△ABC的三邊長分別為，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級下·福建廈門·階段練習）已知，則．3．（24-25九年級下·浙江臺州·期末）已知實數(shù)、、滿足，求的值．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】【例4】（24-25七年級上·浙江溫州·期中）如圖，一塊面積為16平方米的正方形墻上鑲嵌著一塊正方形石雕，石雕四個角恰好分別在墻的四邊的中點，請估計石雕邊長的整數(shù)部分為（）

A．1 B．2 C．3 D．41．（24-25七年級下·四川南充·階段練習）的小數(shù)部分是m，則；2．（2021·河南·一模）如圖，面積分別為5和10的兩個長方形，通過剪、拼后恰好組成一個正方形，并且正方形的邊長為a，則的整數(shù)部分為．3．（24-25七年級上·浙江湖州·期中）如圖，在甲、乙兩個4×4的方格圖中，每個小正方形的邊長都為1．（1）求圖甲中陰影正方形的面積和邊長；（2）請在圖乙中畫一個與圖甲陰影部分面積不相等的正方形，要求它的邊長為無理數(shù)，并求出它的邊長，及邊長的整數(shù)部分和小數(shù)部分（答案直接寫在橫線上即可）．解：（1）甲：面積______；邊長______．（2）乙：邊長______，該邊長的整數(shù)部分為______該邊長的小數(shù)部分為______．【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】【例5】（24-25七年級下·河北邢臺·期末）嘉淇發(fā)現(xiàn)，，根據(jù)嘉淇的發(fā)現(xiàn)解決問題：已知，，則的值是（

）A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.31．（24-25七年級下·山東臨沂·期末）下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：第一行

1

第二行

2

第三行

3

第四行

4

……

……根據(jù)數(shù)陣規(guī)律，第八行第十五個數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級下·福建龍巖·期末）根據(jù)表中的信息判斷，下列語句正確的是（

）nA． B．C．只有3個正整數(shù)n滿足 D．3．（24-25八年級上·上?！卧獪y試）化簡下列各數(shù)：，，解：∵，，，∴，，．請利用上述給出的解題方式，化簡下列各題：，，．請從以上的解題過程中，總結(jié)出其中的規(guī)律：．【經(jīng)典例題六求一個數(shù)的平方根】【例6】（24-25七年級下·湖北省直轄縣級單位·期中）的平方根是（

）A．4 B． C． D．21．（24-25七年級下·安徽六安·階段練習）已知，則的平方根是（

）A． B．1 C．2025 D．2．（24-25九年級上·天津武清·階段練習）若，則．3．（24-25七年級下·陜西安康·階段練習）已知的平方根為它本身，的算術(shù)平方根是3．(1)求，的值；(2)求的平方根．【經(jīng)典例題七求代數(shù)式的平方根】【例7】（24-25八年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）若，則的平方根為（

）A．7 B． C． D．491．（24-25八年級上·廣東東莞·階段練習）已知，則的值是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級下·全國·期中）已知正實數(shù)x的平方根分別是n和．若則的平方根為．3．（24-25八年級上·四川成都·期中）已知，求的平方根．【經(jīng)典例題八已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)】【例8】（24-25七年級下·福建莆田·階段練習）已知一個正數(shù)的兩個平方根是和，則這個正數(shù)的值是（）A．7 B．3 C．49 D．49或1（24-25七年級下·江西宜春·期末）若一個正數(shù)的兩個平方根是和，則的值為（

）A．3 B．7 C． D．492．（24-25七年級下·湖北隨州·期末）中國清代學者華衡芳和英國人傅蘭雅合譯英國瓦里斯的《代數(shù)學》，卷首有“代數(shù)之法，無論何數(shù)，皆可以任何記號代之”，說明了所謂“代數(shù)”，就是用符號來代表數(shù)的一種方法．若一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則a的值是．3．（24-25七年級下·福建福州·期中）已知一個正數(shù)的兩個平方根是與．(1)求這個正數(shù)的值；(2)求關(guān)于的方程的解．【經(jīng)典例題九平方根的應用】【例9】（24-25八年級下·江蘇無錫·期末）物體從靜止狀態(tài)自由下落的高度h（單位：m）與所需時間t（單位：s）滿足公式：（g為重力加速度，取g的值為）．現(xiàn)有兩個物體分別從離地面和處，同時由靜止自由落到地面，則它們落到地面時間相差s．1．（24-25七年級下·河南商丘·期中）如圖，計劃建一個面積為50米的長方形苗圃，一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成，并且它的長與寬之比為．(1)求的長；(2)求出苗圃所用籬笆總長．2．（24-25七年級上·浙江·周測）全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開始在巖石上生長．每一個苔蘚都會長成近似的圓形，苔蘚的直徑和其生長年限近似地滿足如下的關(guān)系式：，其中d表示苔蘚的直徑，單位是厘米，t代表冰川消失的時間（單位：年）(1)計算冰川消失21年后苔蘚的直徑為多少厘米？(2)如果測得一些苔蘚的直徑是35厘米，問冰川約是在多少年前消失的？3．（24-25七年級下·福建莆田·期中）公元3世紀初，東吳數(shù)學家趙爽用著名的“勾股圓方圖”找出了直角三角形中求斜邊的方法．李明同學在數(shù)學思維拓展課上效仿趙爽，如圖1，先將一個邊長為2的正方形紙片沿兩對邊中點處剪開，得到兩個長方形，再分別沿對角線剪開，得到四個一模一樣的直角三角形，再將它們按圖2所示無重疊、無縫隙擺放，形成一個外部輪廓為正方形，內(nèi)部缺口（陰影部分）也是正方形的圖形．(1)圖1中每個直角三角形的面積是_________，圖2中內(nèi)部缺口正方形的邊長為_________．(2)求圖1中直角三角形的斜邊長．【經(jīng)典例題十利用平方根解方程】【例10】（24-25七年級下·廣東江門·階段練習）計算：(1)；(2)．1．（24-25七年級下·湖北武漢·階段練習）求下列式子中的x的值：(1)(2)．2．（24-25七年級下·湖南長沙·期末）學習完平方根之后，我們可以解一些簡單的二次方程．以下是自信同學給出的解法示范，請你類比思路完成另外兩題的解答例如：求分析：要求，也就是找出一個數(shù)，使得它的平方等于解答：因為，所以這個數(shù)是，即題目：求下列各式中x的值(1)(2)3．（24-25七年級下·北京·階段練習）求下列各式中的值．(1)；(2)．【拓展訓練一平方根的新定義問題】1．（24-25八年級上·重慶·階段練習）喜歡探索數(shù)學知識的小明遇到了一個新的定義∶對于三個正整數(shù)，若任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”，例如：這三個數(shù)，，其結(jié)果分別為，都是整數(shù)，所以三個數(shù)為“和諧組合”，其中最小的算術(shù)平方根是，最大的算術(shù)平方根是．則三個數(shù)（是或否）“和諧組合”．已知三個數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的倍，則的值．2．（24-25七年級上·浙江湖州·期中）對于有理數(shù)，b，定義min{，b}的含義為：當＜b時，min{，b}＝，當>b時，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{，}＝，min{，b}＝b，且和b為兩個連續(xù)正整數(shù)，則+b的平方根為.3．（24-25七年級下·吉林·期末）本學期學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：平方根立方根定義一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)．【類比探索】（1）探索定義：填寫下表11681x類比平方根和立方根，給四次方根下定義：________．（2）探究性質(zhì)：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“沒有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：________；【拓展應用】（1）________（2）比較大?。篲_______．4．（24-25七年級下·河南信陽·期末）某數(shù)學興趣小組在學習“算術(shù)平方根”之后進行了拓展研究．新定義：對于三個互不相等的負整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“組合平方數(shù)”．例如：，，這三個數(shù)，，，其結(jié)果2，3，6都是整數(shù)，所以，，這三個數(shù)稱為“組合平方數(shù)”．(1)，，這三個數(shù)是“組合平方數(shù)”嗎？請說明理由．(2)若三個數(shù)，m，是“組合平方數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為10，求m的值．(3)寫出兩組含有的“組合平方數(shù)”．【拓展訓練二算術(shù)平方根的雙重非負性運用】1．（24-25八年級下·湖北孝感·階段練習）若滿足，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．22．（24-25八年級上·四川資陽·期末）已知，則的值為（

）A．1 B． C．5 D．3．（24-25七年級下·山東德州·階段練習）已知，的平方根是，，求的平方根．4、（24-25七年級下·安徽銅陵·期中）已知：，求的值.【拓展訓練三平方根中的幾何問題】【例3】（24-25七年級下·山東濟寧·期中）為宣傳某地旅游資源，促進旅游業(yè)發(fā)展，某中學課外活動小組制作了精美的景點卡片，并為每一張卡片制作了一個特色的包裝封皮．A小組成員制作正方形卡片，B小組成員制作長方形封皮．課題某景點卡片及封皮制作圖示相關(guān)數(shù)據(jù)及說明正方形卡片的面積為，長方形封皮的長與寬的比為2∶1，面積為．結(jié)果判斷請通過計算，判斷卡片能否直接裝進長方形封皮中．1．（24-25八年級上·遼寧大連·期中）“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微．數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個代數(shù)恒等式．如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個大正方形．(1)【知識生成】請用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積（直接用含，的代數(shù)式表示）：方法一：______；方法二：______；(2)【得出結(jié)論】根據(jù)（1）中的結(jié)論，請你寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為______；(3)【知識遷移】根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知實數(shù)，滿足：，，求的值．2．（24-25七年級下·湖北武漢·階段練習）一塊長方形空地面積為1500平方米，其長寬之比為．(1)求這塊長方形空地的周長；(2)如圖，在空地內(nèi)修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為），花壇的總面積為1176平方米，寬度為米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行？3．（24-25七年級下·安徽銅陵·期中）將一個正方形紙片如圖1所示擺放在平面直角坐標系中，使正方形紙片的四個頂點恰好都落在坐標軸上，其中落在軸正半軸上的頂點坐標為，經(jīng)探究可以發(fā)現(xiàn)，若把正方形紙片沿軸和軸剪開，可拼成如圖2所示的兩個小正方形．（1）當時，正方形的邊長是__________．（2）當時，是否能用正方形紙片，沿著邊的方向裁出一個面積為的長方形，使它的長與寬的比是？如果能，求出長方形的長和寬；如果不能，請說明理由．【拓展訓練四平方根的規(guī)律探究問題】1、（24-25七年級下·廣西南寧·階段練習）先觀察下列等式，再回答問題：第一個等式：；第二個等式：；第三個等式：．(1)根據(jù)上述三個等式提供的信息填空，=；(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第n個等式（n為正整數(shù)）；(3)對于任何實數(shù)a，表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值．2．（24-25七年級下·廣西南寧·期末）（1）填表：01100100000______1______100（2）規(guī)律歸納：①若正數(shù)的小數(shù)點向左（或右）移動______位，則的小數(shù)點就相應地______移動______位；②當時，若正數(shù)越大，則也越大．（3）嘗試運用：已知，，求的值；（4）靈活應用：當時，比較和的大?。?．（24-25七年級下·湖北孝感·期中）學習《實數(shù)》之后，在數(shù)學活動課上，丁老師出示了一組有規(guī)律的算式．閱讀觀察下列算式，探求規(guī)律：…【實踐探究】（1）按照此規(guī)律，①計算：________；②第n個式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整數(shù)）；（2）計算：；【遷移應用】（3）若符合上述規(guī)律，請求出x的值．4．（24-25七年級下·河南商丘·階段練習）探索與應用．(1)先填寫下表，通過觀察后再回答問題：．．．0.00010.01110010000．．．．．．0.011100．．．①表格中________；_________；②從表格中探究與的數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：已知，若，則___________．已知，則___________．(2)閱讀例題，然后回答問題：例題：設是有理數(shù)，且滿足，求的值．解：由題意得，因為都是有理數(shù)，所以也是有理數(shù)，由于是無理數(shù)，所以，所以，所以．問題：設都是有理數(shù)，且滿足，求的值．1．（24-25七年級下·天津·期末）估算的值在（

）A．2.1和2.2之間 B．2.2和2.3之間 C．2.3和2.4之間 D．2.4和2.5之間2．（24-25九年級下·云南曲靖·階段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．3．（24-25七年級下·貴州黔東南·階段練習）下表是利用計算器算出的正數(shù)的算術(shù)平方根：x334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.2136118.318.418.518.618.718.818.919根據(jù)上表，求的值，若結(jié)果四舍五入到整數(shù)位，則值為（

）A．17 B．18 C．19 D．204．（24-25七年級下·甘肅平?jīng)觥るA段練習）下列說法正確的有（

）①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；②一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；③的算術(shù)平方根是a；④的算術(shù)平方根是；⑤算術(shù)平方根不可能是負數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（24-25七年級下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則的值是（

）A． B．5 C． D．256．（24-25八年級下·廣東惠州·開學考試）如果二次三項式是完全平方式，那么的值是（）A． B． C． D．7．（24-25七年級下·福建廈門·期中）小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如表，下面有四個推斷：①；②一定有3個整數(shù)的算術(shù)平方根在之間；③對于大于16的兩個正數(shù)，若它們的差等于0.1，則它們的平方的差一定大于3.19；④與更接近的整數(shù)是15，所有合理推斷的序號是（

）x1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256A．② B．②③ C．①②③ D．②③④8．（24-25七年級下·福建福州·期中）大、中、小三個正方形擺放如圖所示，若大正方形的面積為6，小正方形的面積為1，則正方形的邊長可能是（

）A．1 B．1.3 C． D．9．（24-25七年級下·西藏昌都·期末）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是．10．（24-25七年級下·湖南永州·階段練習）利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根據(jù)以上規(guī)律，若，，則．11．（24-25七年級下·山東臨沂·階段練習）觀察下列等式：，，依此類推，第n個等式為．12．（24-25八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知實數(shù)滿足，那么的平方根是．13．（24