試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁期中（第1-2章）重難點檢測卷-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊蘇科版學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個多邊形是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形3．已知關(guān)于的一元二次方程的兩根是和，且，則的值是（

）A． B．2.25 C．或 D．或2.254．課堂上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)各自寫出一個一元二次方程：甲、乙兩位同學(xué)分別給出自己的結(jié)果：甲：；乙：，其中正確的是（

）A．甲對 B．乙對C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對5．用符號表示，兩實數(shù)中較大的數(shù)，如，若，則的值是（

）A．1或或2或0 B．1或 C．2或0 D．1或06．已知，點滿足，作射線，使得，作于點，則長的最大值是（

）A．3 B． C． D．7．如圖，是的直徑，，點A在上，，為的中點，是直徑上一動點，則的最小值為（）A． B． C．1 D．28．據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2024年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2022年和2024年全國居民人均可支配收入分別為3.7萬元和4.1萬元．設(shè)2022年至2024年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，在中，，，以為直徑的交于點，若點恰好為的中點，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．10．如圖，是的互相垂直的直徑，點P在上，且不與點A，M重合，過點P作的垂線，垂足分別是D，C．當(dāng)點P在上移動時，矩形的形狀、大小隨之變化，則的值（

）A．逐漸變大 B．逐漸變小 C．不變 D．不能確定二、填空題11．關(guān)于的方程有實數(shù)根．則整數(shù)的最大值是．12．已知關(guān)于的方程（，，為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解是．13．在一次同學(xué)聚會時，大家一見面就相互握手(每兩人只握一次手)，大家一共握了次手，則參加聚會的人數(shù)為人．14．如圖，在中，，，則的度數(shù)是．15．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，為的直徑，弦于E，寸，寸，求直徑的長．”則的長是寸．16．如圖，已知是圓O的直徑，弦于點H，過點B作圓O的切線交的延長線于點E，連接，F(xiàn)為的中點，連接．若圓O的半徑為2，，則，．三、解答題17．解方程．(1)(2)18．已知的直徑，是的弦，，垂足為M．若，求弦的長．19．某文具專柜銷售一種進(jìn)價為元的書包，當(dāng)售價為元時，日銷售量為個，國慶期間，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種書包的單價每降低元，日銷售量可增加個．現(xiàn)準(zhǔn)備降價銷售，若該專柜銷售這種書包要想平均每天獲利元．(1)每個書包應(yīng)售價多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該專柜銷售這種書包的利潤率是多少？20．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論實數(shù)取何值，此方程一定有兩個實數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．21．如圖，是的直徑，A為延長線上一點，點E在上，，交于點B，且，求的度數(shù)．22．如圖所示，中．，點從點開始沿邊向以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果點分別從同時出發(fā)，當(dāng)其中某一個點到達(dá)終點時，另外一點也隨之停止．(1)經(jīng)幾秒，使的面積等于？(2)經(jīng)幾秒，兩點間的距離是？23．如圖，是的直徑，弦垂足為，半徑上有兩點和，，射線，射線分別交于點、，連接交于點，過點作的平行線．(1)證明：直線是的切線；(2)當(dāng)時，若，，求的長．24．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和點給出如下規(guī)定：如果將點沿直線翻折后得到點，再將點沿直線翻折后得到點，點就是點關(guān)于點的“相關(guān)點”．(1)點關(guān)于點的“相關(guān)點”為________；關(guān)于點的“相關(guān)點”為________．(2)如果點，點滿足，①在點，，中，是點關(guān)于點的“相關(guān)點”的是________；②點關(guān)于點的“相關(guān)點”與點的距離最小值為________．(3)如圖，的半徑和等邊的邊長均為1（與軸平行），點，點和點都在上，如果在的邊上存在點關(guān)于點的“相關(guān)點”，直接寫出的取值范圍：________．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《期中（第1-2章）重難點檢測卷-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊蘇科版》參考答案題號12345678910答案ACCBDCBBBC1．A【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.方程是一元二次方程，故本選項符合題意；B.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C.當(dāng)時，方程不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：A2．C【分析】本題考查圓與正多邊形，根據(jù)正n邊形的中心角為計算即可．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，經(jīng)檢驗，是該分式方程的解．∴這個多邊形是正五邊形．故答案為：C．3．C【分析】本題考查了一元二次方程根．熟練掌握一元二次方程的根的定義、根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，是解題的關(guān)鍵．分情況分析條件的含義，當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況解答．【詳解】解：∵∴或．當(dāng)時，，代入原方程，得．化簡，得．即．∴．此時，，符合．當(dāng)時，，∴．解得．此時原方程為．即．根為?．滿足，符合條件．∴k的值為或．4．B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義判定即可．【詳解】解：甲：，是一元一次方程；乙：，是一元二次方程．所以甲不對，乙對．故選：B5．D【分析】此題考查了新定義題，準(zhǔn)確理解題意、熟練掌握乘法公式、一元一次不等式解法、一元二次方程的解法是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：解：時，，時，得，得，時，得，得，時，；時，；時，；∵，①當(dāng)時，，不可能得出最大值為，②當(dāng)時，，則，解得：或（不合題意，舍去），當(dāng)時，；③當(dāng)時，，則，，或（不合題意，舍去），故當(dāng)時，；則綜上所述：x的值為或．故選：D．6．C【分析】本題考查了含度角的直角三角形，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解．由四邊形是矩形，從而可得，再利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求得，從而可得，于是可得，從而可求得長的最大值．【詳解】解：作的外接圓，圓心為點，連結(jié)，∵，，∴是圓的直徑，∴，作于點，于點，則，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，，，∴的長的最大值是，故選：C．7．B【分析】此題考查了最短路線問題，勾股定理，圓周角、圓心角之間的關(guān)系，找出的值最小時點所在的位置是解答本題的關(guān)鍵．作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，此時的值最小，且等于的長，連接，得到，根據(jù)勾股定理求出的值即可得到答案．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，此時的值最小，且等于的長，連接，∵，∴．∵為的中點，∴．又∵點與點關(guān)于對稱，∴，∴．又∵，根據(jù)勾股定理得，即的最小值為．故選：B.8．B【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)年平均增長率的等量關(guān)系：，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)2022年至2024年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為，由題意，得：故選B．9．B【分析】本題考查了圓周角定理及其推論、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式，證明是等腰三角形，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．首先證明是等腰三角形，求出，然后根據(jù)圓周角定理求出，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：連接，如圖所示，是直徑，，即，為的中線，是等腰三角形，，，，半徑為2，，故選：B．10．C【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．連接，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，從而得到，，再結(jié)合勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵為的半徑，為定值，∴的值不變．故選：C．11．【分析】本題考查根的判別式，本題可分情況討論方程是一元一次方程和一元二次方程時的情況，根據(jù)方程有實數(shù)根的條件來確定整數(shù)的最大值，即可．【詳解】解：第一種情況：當(dāng)方程是一元一次方程時，，即時，原方程化為，這是一元一次方程，有唯一實數(shù)根符合題意；第二種情況：當(dāng)方程是一元二次方程時，，即時，原方程有實數(shù)根是一元二次方程，計算：，因為方程有實數(shù)根，所以，即，解得，又∵是整數(shù)且，∴此時的最大整數(shù)值為，當(dāng)時方程有實數(shù)根；當(dāng)時，最大整數(shù)值為；∵，∴整數(shù)的最大值是．12．，【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．可把方程看作關(guān)于的一元二次方程，從而得到或，然后解兩個一次方程即可．【詳解】解：把方程看作關(guān)于的一元二次方程，方程的解是，，方程可變形為，該方程的結(jié)構(gòu)與相同，∴的取值等于原方程中的取值，∴或，解得：，，故答案為：，．13．【分析】本題考查列一元二次方程解決實際問題．解題的關(guān)鍵在于分析題意，找出相等關(guān)系并建立方程，同時要注意方程的解是否滿足實際問題的情境．設(shè)這次聚會的同學(xué)共人，則每人需和除自己外的個人握手，而兩個人之間僅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這次聚會的同學(xué)共有人，由題意得，，整理得，，因式分解得，，解得，，，，，即這次參加聚會的人數(shù)為．故答案為：．14．【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理解答即可求解，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．15．10【分析】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題．連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由垂直得到點E為的中點，由可求出的長，再設(shè)出圓的半徑為x，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，且寸，∴寸，設(shè)的半徑的長為x，則，∵寸，∴寸，在中，根據(jù)勾股定理得：解得，∴寸．故答案為：10．16．【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì)．①連接，根據(jù)切線的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，求出相關(guān)邊長，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可；②過點作于點，判定出是等邊三角形，得出，判定是的中位線，得出相關(guān)線段的長度，最后利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵與相切，∴，∵，圓O的半徑為2，∴，由勾股定理得，∵，∴，，∴，∴；如圖，過點作于點，∵，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，又∵F為的中點，∴是的中位線，∴，，∴，由勾股定理得；故答案為：．17．(1)，；(2)，．【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法．常用的解一元二次方程的方法有：直接開方法、配方法、公式法、分解因式法．把看作整體，用因式分解法解方程即可；用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，提公因式可得：，可得：或，解得：，；（2）解：，其中，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，解得：，．18．弦的長為【分析】本題主要考查了圓的基本概念和勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理求直角三角形邊長是解題的關(guān)鍵．連接、，由直徑為10得出半徑為5，根據(jù)線段比得出、長，由，由勾股定理得出長，再用勾股定理求長．【詳解】解：如圖，連接、，∵直徑，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．故弦的長為．19．(1)每個書包應(yīng)售價元或元(2)該專柜銷售這種書包的利潤率是【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)每個書包應(yīng)降價元，根據(jù)銷售這種書包平均每天獲利元列出方程，解方程即可；（2）在（1）中盈利不變的前提下，要想盡可能地讓利于顧客，得出每個書包應(yīng)降價6元，再根據(jù)利潤率計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個書包應(yīng)降價元，由題意可得：，整理得：．解得，．所以售價元或元答：每個書包應(yīng)售價56元或54元．（2）要想盡可能地讓利于顧客，則每個書包應(yīng)降價6元，此時，每個書包的售價為54元，利潤為（元），利潤率為．答：該專柜銷售這種書包的利潤率是．20．(1)見解析(2)或【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)題意證明，即可證明方程一定有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)，，把變形為：，進(jìn)而解一元二次方程即可．【詳解】（1）證明：，．無論實數(shù)取何值，此方程一定有兩個實數(shù)根．（2）此方程的兩個實數(shù)根分別為，，，．，，，或答：或．21．【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)（同圓半徑相等），等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理，正確作出輔助線，利用圓的半徑相等得到等腰三角形，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)，將已知角與所求角建立聯(lián)系，通過方程求解是解題的關(guān)鍵．連接，由，得到，則，得，由得，由得，由，代入即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故的度數(shù)為．22．(1)或(2)【分析】考查了一元二次方程的應(yīng)用，此題要能夠正確找到點所經(jīng)過的路程，熟練運用直角三角形的面積公式列方程求解．（）根據(jù)題意表示出的長，再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可．（）設(shè)經(jīng)過秒，兩點間的距離為，先根據(jù)點的運動表示出，，再根據(jù)勾股定理，列方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過秒，使的面積等于，已知點的速度是，則，∴，點的速度是，則，∵，根據(jù)三角形的面積公式，得，，解得或．故經(jīng)過秒或秒，能使的面積等于．（2）設(shè)經(jīng)過秒，兩點間的距離是，由()知∴，，∵，根據(jù)勾股定理，即：，整理，得，根據(jù)求根公式，解得：或（時間不能為負(fù)，舍去），∴經(jīng)過秒，兩點間的距離是．23．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)與交于點K，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而由圓周角定理得出，然后根據(jù)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得，由可得，即可得證；（2）連接，先根據(jù)證明，可得是等邊三角形，得到．根據(jù)垂徑定理得到，從而在中，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而，因此在中，根據(jù)與勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：連接，設(shè)與交于點K，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，即．∵，∴，∴∵是的半徑，∴直線l是的切線；（2）解：連接，∵，∴，即．∵，∴．∵，∴，即是等邊三角形，∴，∴．∵，∴，由（1）有，且是半徑，∴，∵在中，，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理等，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．(1)；(2)①，②(3)或【分析】（1）根據(jù)定義，得點與點關(guān)于點對稱，利用中點坐標(biāo)公式解答即可．（2）①設(shè)點關(guān)于點的“相關(guān)點”為，根據(jù)點滿足，得到，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，確定點H的軌跡，計算驗證解答即可．②根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合非負(fù)性求最值解答即可．（3）點關(guān)于點的“相關(guān)點”為H，根據(jù)定義，得點H與點P關(guān)于點Q對稱，其實質(zhì)就是繞點Q旋轉(zhuǎn)得到點H，當(dāng)點Q固定，點P是動