第06講雙曲線(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：雙曲線的定義及辨析類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類型三：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題角度1：焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)問(wèn)題角度2：焦點(diǎn)三角形的面積角度3：焦點(diǎn)三角形的其他問(wèn)題類型四：雙曲線中線段和、差最值類型五：與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題類型六：雙曲線的離心率問(wèn)題角度1：求雙曲線的離心率或離心率取值范圍角度2：由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍類型七：雙曲線漸近線問(wèn)題類型八：雙曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題角度1：求雙曲線中的弦長(zhǎng)角度2：根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)類型九：雙曲線中三角形（四邊形）面積問(wèn)題角度1：定值問(wèn)題角度2：最值問(wèn)題類型十：雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題角度1：點(diǎn)差法角度2：韋達(dá)定理法類型十一：雙曲線中定點(diǎn)問(wèn)題類型十二：雙曲線中定值問(wèn)題類型十三：雙曲線中定直線問(wèn)題類型十四：雙曲線中向量問(wèn)題類型一：雙曲線的定義及辨析典型例題例題1．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5【答案】A【詳解】依題意得，，，因此，由于，故知點(diǎn)只可以在雙曲線的左支上，因此，即，所以，故選:A．例題2．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可得點(diǎn)Q在雙曲線的左支上，且，由可知，，∴.故選：C.例題3．如圖，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則______．【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)與，關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，又雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，根據(jù)雙曲線的定義可得.故答案為：.同類題型歸類練1．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，其一條漸近線傾斜角為，若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則______．【答案】13【詳解】由題意，，故，雙曲線，，因?yàn)樾∮诘接翼旤c(diǎn)的距離，故在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得，解得故答案為：132．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，已知點(diǎn)在雙曲線右支上且在第一象限，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，則________.【答案】2【詳解】由雙曲線定義可知：，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上且在第一象限，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，所以點(diǎn)到三角形三邊的距離相等均為，所以.故答案為：2類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例題1．－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1() B．－＝1()C．－＝1() D．－＝1()【答案】C【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，表示動(dòng)點(diǎn)到與的距離之差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合.根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點(diǎn)在y軸上，所以，且到點(diǎn)的距離比較大，所以即曲線方程為故選：C.例題2．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B．C．或 D．【答案】C【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，而恒成立，所以，解得或，故選：C．例題3．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在的漸近線上，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榻咕酁?，故半焦距為，故，因?yàn)樵谝粭l漸近線上，故，解得，故雙曲線方程為：.故選：A.例題4．南非雙曲線大教堂由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成．若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為，則此雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，所以雙曲線的方程為．故選：A．例題5．已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：，解得，所以曲線的方程為，故選：C同類題型歸類練1．一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．【答案】D【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4．動(dòng)圓與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，所以，，所以，所以動(dòng)圓的軌跡方程是．故選：D.2．已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由方程表示雙曲線，可得，解得或，則為或的充分不必要條件，故選：B.3．已知?jiǎng)訄AM與圓，圓都外切，則動(dòng)圓M的圓心軌跡方程是________；【答案】【詳解】由題意，圓，圓都外切，可得兩圓的圓心分別是、，半徑分別為1和2．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)，半徑為r，

因?yàn)樗髨A與兩個(gè)圓都外切，所以，兩式相減得，根據(jù)雙曲線定義可知M點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線中的一支，

故有，即，則，故圓心M的軌跡方程是

故答案為：

4．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)軸上，且過(guò)點(diǎn)，.【答案】(1)；(2)．（1）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，將代入，得．又點(diǎn)在雙曲線上，有，由此得，不合題意，舍去．當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為0)，∵a=4，故，把點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得．故所求雙曲線方程為．（2）設(shè)雙曲線方程為，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得．∴所求方程為．類型三：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題角度1：焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)問(wèn)題典型例題例題1．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，，為雙曲線右支上的點(diǎn)，若的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在線段上，則的周長(zhǎng)為（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【詳解】如圖所示：∵雙曲線的左焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，又，∴虛軸長(zhǎng)為2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周長(zhǎng)．故選：C例題2．設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，若?為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意知，由雙曲線定義知，又，的周長(zhǎng)為：.故選：A.例題3．已知雙曲線，直線l過(guò)其上焦點(diǎn)，交雙曲線上支于，兩點(diǎn)，且，為雙曲線下焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為18，則值為（

）A．8 B．9 C．10 D．【答案】D【詳解】由題意知．又，所以．根據(jù)雙曲線的定義可知，所以，解得，所以．故選：D同類題型歸類練1．已知，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)作一條直線l與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】由雙曲線定義得，，則，得，則的周長(zhǎng)為，故選：C.2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為5，若，那么的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．18 C．21 D．26【答案】D【詳解】∵，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．故選：D3．已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)20，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【詳解】解：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為，則，．因?yàn)殡x心率，則，所以，，由雙曲線的定義知，，，則，所以的周長(zhǎng)，，故選：D．角度2：焦點(diǎn)三角形的面積典型例題例題1．設(shè)，，滿足，且，則的面積為（

）A．3 B． C．9 D．【答案】A【詳解】解：依題意，，所以，又，即，所以，所以；故選：A例題2．已知P是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】解：如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上．設(shè)，．則，，，即，所以，又，所以．又，，解得，所以．．故答案為：．例題3．已知為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)_______．【答案】8【詳解】由題意得，，由雙曲線的對(duì)稱性以及可知，四邊形為矩形，所以，解得，所以四邊形的面積為．故答案為：．同類題型歸類練1．已知雙曲線C：的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在雙曲線C上．若的周長(zhǎng)為14a，則的面積是________.【答案】【詳解】不妨令在雙曲線右支，依題意可得，，，解得，，又，由余弦定理即，解得，所以，所以的面積．故答案為：2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足PF1＝2PF2，則△PF1F2的面積為_(kāi)___．【答案】8【詳解】由題意：a2＝4，b2＝8，c2＝a2+b2＝12，因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|，而|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，而|F1F2|＝2c＝4，因?yàn)閨PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，所以∠PF2F1，所以S|F1F2|?|PF2|4＝8．故答案為：8．3．已知?是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】【詳解】因?yàn)?是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以；設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn)，且，所以；在△中，由余弦定理可得：；聯(lián)立上述兩式可得：，所以的面積.角度3：焦點(diǎn)三角形的其他問(wèn)題典型例題例題1．已知雙曲線：的離心率為2，的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，的中點(diǎn)在圓：上，其中為半焦距，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接，則有是的中位線，因?yàn)椋运杂呻p曲線的定義可得因?yàn)殡p曲線：的離心率為2，所以所以，在中由余弦定理可得所以故選：A例題2．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)位于第一象限的雙曲線上，的角平分線與軸的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，，即，由角平分線定理得，，又，故，結(jié)合由，則．故選：C同類題型歸類練1．已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．20 B．-20 C．40 D．-40【答案】B【詳解】因?yàn)?，的周長(zhǎng)為16，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選：B.2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2-y2=2的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=________.【答案】【詳解】雙曲線C：x2-y2=2，即，其實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距c有，由雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a=，而|PF1|=2|PF2|，則|PF1|=，|PF2|=，而|F1F2|=4，則cos∠F1PF2==.故答案為：類型四：雙曲線中線段和、差最值典型例題例題1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【詳解】由，所以有，設(shè)圓的圓心為，半徑為，設(shè)該雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，因此當(dāng)點(diǎn)依次共線時(shí)，有最小值，即，故選：B例題2．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故選：A例題3．雙曲線的漸進(jìn)線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B．10 C． D．【答案】B【詳解】解：由焦點(diǎn)可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的方程為：，可得漸近線的方程為：，由題意可得，可得，因?yàn)椋钥傻?，，所以雙曲線的方程為：；由雙曲線的方程可得下焦點(diǎn)，，設(shè)上焦點(diǎn)，所以，故選：B．同類題型歸類練1．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，

對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與雙曲線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

直線與雙曲線的漸近線方程為重合或平行，

，得，為，，，

，的最小值為，

故選：A2．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．5【答案】A【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以．故選：A3．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為?，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】##【詳解】由雙曲線方程知：，，，則，，由雙曲線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取等號(hào)），又，.故答案為：.4．已知雙曲線的方程為，如圖所示，點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為其圓心，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為_(kāi)_____【答案】.【詳解】由雙曲線，可得，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義，可得，所以，又由是圓上的點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為.故答案為：.類型五：與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題典型例題例題1．動(dòng)圓M與圓：，圓：，都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓：，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.設(shè)，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓，都外切，所以，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，的雙曲線左支.所以，，解得，即的軌跡方程為：.故選：D例題2．表示的曲線方程為A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)幾何意義，表示動(dòng)點(diǎn)到與的距離之差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點(diǎn)在y軸上，所以，且到點(diǎn)的距離比較大所以即曲線方程為所以選C例題3．一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓，均內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是______.【答案】【詳解】設(shè)，圓的半徑為，因?yàn)閳A，圓心，半徑為，圓，圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓，圓都內(nèi)切，所以圓，，即.所以的軌跡是雙曲線的右支.雙曲線的中心為，，，所以，所以的軌跡為方程為：.故答案為：.例題4．已知，，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是什么，并求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.【詳解】當(dāng)時(shí)，易知，即點(diǎn)在的垂直平分線上，故P點(diǎn)的軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，由，知P點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，又知，故軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，由知P點(diǎn)的軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，顯然滿足的點(diǎn)不存在.綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.同類題型歸類練1．如圖所示，已知定圓：，定圓：，動(dòng)圓與定圓，都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【答案】【詳解】圓：，圓心，半徑；圓：，圓心，半徑．設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，，∴．∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，于是．∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．2．如圖所示，已知定圓F1：(x+5)2+y2=1，定圓F2：(x-5)2+y2=42，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.【答案】=1.【詳解】圓F1：(x+5)2+y2=1，圓心F1(-5，0)，半徑r1=1；圓F2：(x-5)2+y2=42，圓心F2(5，0)，半徑r2=4.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|=R+1，|MF2|=R+4，∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a=，c=5，于是b2=c2-a2=.∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為=1.3．設(shè)，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_____．【答案】

l【詳解】解：因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支．因?yàn)?，，所以，，，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．故P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為．故答案為：；；類型六：雙曲線的離心率問(wèn)題角度1：求雙曲線的離心率或離心率取值范圍典型例題例題1．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以離心率，故選：D例題2．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】依題意得，雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式：，于是，離心率.故選：C例題3．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，，則．依題意不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為，則，，所以．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則．因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，即，則，所以，故，故選:A．例題4．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，，，此時(shí)，解得，又，∴．故選：C．例題5．已知雙曲線，，是實(shí)軸頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，是虛軸端點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】以，為直徑的圓與線段BF有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，，解得；且圓心到直線BF：的距離，化簡(jiǎn)得，所以，，又，解得，所以雙曲線離心率的取值范圍是．故選：B同類題型歸類練1．（已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈囊粋€(gè)焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，不妨取漸近線方程為，即，所以，兩邊平方得.又，所以，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.2．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，所以，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，又點(diǎn)是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以，即，.故選：C．3．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【詳解】設(shè)，，，，則，，則，，，則，，點(diǎn)在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：．角度2：由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍典型例題例題1.已知圓錐曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【詳解】該圓錐曲線是雙曲線方程可化為，∴，解得．故選:A.例題2．已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，雙曲線的離心率為，可得，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線、的漸近線重合，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)橹本€與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則.故選：B.例題3．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足：其中，且

已知點(diǎn)的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率不大于，則雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)，因，則，又，于是得點(diǎn)的軌跡方程為，由消去y并整理得，而，則，設(shè)，，因以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，，于是，從而有，，而離心率，即，整理得，此時(shí)，因此，，，所以雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍為.故選：D例題4．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，雙曲線的離心率，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【詳解】由題意可知：點(diǎn)F到漸近線的距離等于，從而即，又，所以，則，又，所以，解得.故答案為：.同類題型歸類練1．雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．2 C． D．3【答案】B【詳解】解：由雙曲線，得a2＝m，b2＝4，∴a，c，則e，解得m＝2．故選：B．2．雙曲線的離心率的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意有，，則，解得：．故選：C.3．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2，雙曲線的離心率，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：取雙曲線的漸近線為，即的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，又解得的取值范圍為故選：D.4．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)______．【答案】【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接．則．由知，，又因?yàn)辄c(diǎn)到漸近線的距離，所以，即，又，代入化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），故．故答案為：類型七：雙曲線漸近線問(wèn)題典型例題例題1．若直線與雙曲線：的一條漸近線平行；則的值為（

）A． B． C．4 D．16【答案】A【詳解】解：雙曲線：的漸近線方程為：直線的斜率為：，由題意得，所以.故選：A.例題2．實(shí)軸在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為12，一條漸近線的方程為的雙曲線方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】將變型為：，所以，實(shí)軸長(zhǎng)為12，即，，得，所以雙曲線方程為：.故答案為：例題3．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，是雙曲線下支上的一點(diǎn)，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________.【答案】【詳解】由得，則該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)，可知，由，解得：，，∴，由，得，得：，代入雙曲線，整理得：.雙曲線的漸近線方程為.故答案為：同類題型歸類練1．橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為漸近線的雙曲線方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】橢圓中，，并且焦點(diǎn)在軸，雙曲線中：，所以，解得：，，所以雙曲線方程為：.故答案為：2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若，，則此雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，，又，所以，所以，所以，又，，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：.3．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為_(kāi)_____，_______.【答案】

##

##【詳解】因?yàn)闄E圓：與雙曲線：的離心率之積為1，，，因此雙曲線的漸近線方程為：，，和.故答案為：；.類型八：雙曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題角度1：求雙曲線中的弦長(zhǎng)典型例題例題1．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（，0）．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】(1)y2＝1(2)2(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以雙曲線C的方程為y2＝1．(2)由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,,∴|AB|2．例題2．已知曲線：.(1)若曲線是雙曲線，求的取值范圍；(2)設(shè)，已知過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)(1)要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.(2)當(dāng)m=0時(shí),曲線C的方程為,可得，所以右焦點(diǎn)，由題意可得直線l的方程為:.設(shè),聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長(zhǎng)，所以例題3．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且雙曲線過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).(1)設(shè)雙曲線：，由題意可得：，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得：，因?yàn)榕c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以且，解得：且，所以且①，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，又因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即，解得：或②，結(jié)合①②可知，此時(shí)，，，所以，即線段的長(zhǎng)為．同類題型歸類練1．已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，斜率為，與雙曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)6（1）解：設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得：，即，雙曲線方程為，即；（2）解：由（1）知：，，即直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，滿足，且，，由弦長(zhǎng)公式得.2．已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題可得，解得，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為所以經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線的方程為.聯(lián)立得．設(shè)，，則，．所以.角度2：根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)典型例題例題1．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，給出以下2個(gè)條件：①離心率為2，②與雙曲線有相同的漸近線．(1)選一個(gè)條件，求出雙曲線的方程．(2)直線與直線平行，被截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或．(1)解：若選①，則，解得，所以雙曲線的方程為；若選②，設(shè)雙曲線方程為，依題意可得，即，所以雙曲線的方程為；(2)解：由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．由，解得或．設(shè)交于，，則，，，解得．直線的方程為或．例題2．已知雙曲線，直線與交于、兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率．【答案】(1)(2)或(1)∵點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；(2)設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.同類題型歸類練1．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為2的直線交雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求雙曲線方程，知道，；（2）設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，求出直線方程.試題解析：（1）由，得，又，∴，∴雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，∴，得，∴弦長(zhǎng)，解得，∴直線的方程為或.2．已知雙曲線C：與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線C過(guò)點(diǎn)．(1)若雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上有一點(diǎn)P，使得，求△的面積；(2)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)作直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，若△的周長(zhǎng)是，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或.【詳解】解：(1)設(shè)雙曲線C：，點(diǎn)代入得：

∴雙曲線C：在△PF1F2中，設(shè)

，∴

，由②得：，，

，∴；(2)∵

∴

，1°當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，，不符合題意（舍）2°當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：

，聯(lián)立：

，∴，解得：，此時(shí)

，∴直線l方程：或.類型九：雙曲線中三角形（四邊形）面積問(wèn)題角度1：定值問(wèn)題典型例題例題1．已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于.(1)求與雙曲線共漸近線且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程；(2)若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程和三角形面積.【答案】(1)(2)，12（1）設(shè)所求雙曲線為，點(diǎn)代入得，（2）設(shè)，，，，點(diǎn)在雙曲線上，所以，相減得，即所以所求的直線的方程為設(shè)，，，，則由得所以，代入的所以.例題2．已知曲線：及直線：．且直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1){k|k，且k≠±1}(2)（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即，所以k的取值范圍為{x|k，且k≠±1}；（2）由（1）可知x1+x2，x1x2，所以弦長(zhǎng)|AB|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d，所以S△AOB|AB|d，由題意，解得：k＝±符合題意，所以實(shí)數(shù)k的值為．同類題型歸類練1．設(shè)P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)P分別做兩條漸近線的垂線，垂足分別是E、F，求的值；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線與兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，求的面積．【答案】(1)；(2)9.(1)設(shè)，則，雙曲線的漸近線方程為，所以點(diǎn)P到直線的距離為，點(diǎn)P到直線的距離為，有；(2)雙曲線的漸近線方程為，設(shè)()，則，所以，因?yàn)榈葍r(jià)與P為的內(nèi)分點(diǎn)，故A、B、P在y軸右側(cè)，設(shè)()，則，所以，又，由，得且，有，代入，得，即，所以，故，即的面積為9.角度2：最值問(wèn)題典型例題例題1．設(shè)雙曲線，其右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)．(1)求直線傾斜角的取值范圍；(2)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最小值，并求此時(shí)的方程．【答案】(1)(2)最小值為；直線l的方程為.（1）由雙曲線得，則右焦點(diǎn)，顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，由得，因?yàn)橹本€l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線l傾斜角，當(dāng)時(shí)，直線l的斜率或，綜上，直線l傾斜角的取值范圍為（2）因?yàn)镺是AB中點(diǎn)，所以，令，則，其中，且又在單調(diào)減，所以，當(dāng)，即時(shí)求得，此時(shí)直線l的方程為例題2．已知雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為，為右焦點(diǎn)，，，且為等邊三角形.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)焦距為，因?yàn)?，，且為等邊三角形，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，消去得到，設(shè)，，則，，因?yàn)橹本€與的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，所以，解得，（或由雙曲線的漸近線方程為得）.，，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最小為4.即.同類題型歸類練1．在一張紙上有一圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)曲線上一點(diǎn)N，點(diǎn)A、B分別為直線：在第一象限上的點(diǎn)與：在第四象限上的點(diǎn)，若，，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)解：依題意可得點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，則，∴.則點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，∴，，又，故，，，所以雙曲線方程為；(2)解：由題意知，，分別為雙曲線：的漸近線，設(shè)，，，且，，由得，，∴，.∴，整理得，即又，同理，設(shè)的傾斜角為，則.∴因?yàn)?，易知函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；∴面積取值范圍是.類型十：雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題角度1：點(diǎn)差法典型例題例題1．已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡(jiǎn)得，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即所以，即，由，得.故選：B.例題2．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過(guò)，兩點(diǎn)，且離心率為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即．故選：D．例題3．已知斜率為1的直線與雙曲線：相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的離心率是______．【答案】2【詳解】設(shè)，則，兩式作差可得：，即，因?yàn)闉锽D中點(diǎn)，所以，又直線BD斜率為1，所以，代入可得，，所以C的離心率.故答案為：2例題4．雙曲線的離心率為2，經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)垂直于軸的直線被所截得的弦長(zhǎng)為12.(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)(1)因?yàn)镃的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.(2)設(shè)，，則，.因此，即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.同類題型歸類練1．不垂直于坐標(biāo)軸的直線與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，和的斜率滿足，則頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，相減得，，所以，即，所以，．由題意設(shè)拋物線方程是，則．于是所求拋物線方程是．故選：C．2．已知雙曲線，直線l交雙曲線兩條漸近線于點(diǎn)A、B，M為線段的中點(diǎn)，設(shè)直線l、的斜率分別為，若，則漸近線方程為_(kāi)_______．【答案】【詳解】設(shè)，則，可得，設(shè)分別為雙曲線的漸近線方程分是的點(diǎn)，所以有，從而有，又，，所以，則，所以漸近線方程為.故答案為：.3．設(shè)直線與橢圓相交于A?B兩點(diǎn).(1)求弦長(zhǎng)；(2)已知橢圓具有性質(zhì)：設(shè)A?B為橢圓上任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB?OM的斜率都存在，并記為?，則為定值.試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明.【答案】(1)(2)設(shè)雙曲線上任意兩點(diǎn)A.B，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB?OM的斜率都存在，并記為?，則為定值.證明見(jiàn)解析（1）設(shè)，聯(lián)立，得，所以，所以.（2）設(shè)A?B為雙曲線上任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB?OM的斜率都存在，并記為?，則為定值.證明：設(shè)，則，則，因?yàn)?，所以得，?為定值，定值為.角度2：韋達(dá)定理法典型例題例題1．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，一條漸近線方程為(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程．【答案】(1)(2)(1)由題，，由得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(2)直線斜率，設(shè)直線為，聯(lián)立得得，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則，直線方程為.例題2．已知雙曲線，求過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.【答案】3x＋4y－5＝0.【詳解】解法一由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴.∵A(3，－1)為MN的中點(diǎn)，∴，即，解得.當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意，∴所求直線MN的方程為，即3x＋4y－5＝0.同類題型歸類練1．已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)？并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或．當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無(wú)解．當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）不能是線段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在．所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)．2．已知，如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)F1，F(xiàn)2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3，F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，F(xiàn)2（2，0），F(xiàn)4（6，0）.(1)求曲線的方程；(2)如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點(diǎn)A，B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上.【答案】(1)和(2)證明見(jiàn)解析（1），，，解得，則曲線的方程為：和.（2）由題意曲線C2的漸近線為：，不妨令直線l平行于漸近線，設(shè)，，由，得，，解得：所以有，設(shè)點(diǎn)，，，則，，，，，即中點(diǎn)M在另一條漸近線上.類型十一：雙曲線中定點(diǎn)問(wèn)題典型例題例題1．已知為橢圓的右焦點(diǎn)且為雙曲線的右頂點(diǎn)，橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是．若點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．【答案】過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程是，雙曲線的方程是，則=，∴，，橢圓的方程是，由點(diǎn)在雙曲線上得：，得，所以雙曲線的方程是，設(shè)，則，直線的方程為得，又左焦點(diǎn)，，∴以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．同類題型歸類練1．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)，垂直于軸的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線和曲線交于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析（1）解：由題設(shè)得，即，整理得；（2）解：設(shè)，，，顯然直線斜率不為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由題設(shè)且，化簡(jiǎn)得且，由韋達(dá)定理可得，，直線的方程是，令得，所以直線過(guò)定點(diǎn).類型十二：雙曲線中定值問(wèn)題典型例題例題1．已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為.直線過(guò)點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，(1)由題可得，∴；(2)顯然直線斜率存在，所以設(shè)直線：，，，，聯(lián)立得，∴，，，，∴，∴，.例題2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線離心率為，若點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，直線交雙曲線于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別與雙曲線交于兩點(diǎn).(1)若，求證：；(2)若直線的斜率都存在，且依次設(shè)為.試判斷是否為定值，如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)為定值，7（1）證明：由雙曲線離心率，，及，可得，所以雙曲線方程為，.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，直線的斜率存在時(shí)，，，整理得，綜上所述，成立；（2）依題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線并化簡(jiǎn)得：，①由于，則代入①并化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，，代入，得，即，同理可得，所以，所以是定值.例題3．已知雙曲線（，）的焦距為，且雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線，的距離之積為．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線是曲線在點(diǎn)處的切線，且分別交兩條漸近線，于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：面積為定值，并求出該定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；定值2．【詳解】解：（1）雙曲線（，）的漸近線方程為和，由動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線，的距離之積為，則，又，即，解得，，則雙曲線的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得，直線與雙曲線的右支相切，可得，可得，設(shè)直線與軸交于，則，，又雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，可得，同理可得，則．即有面積為定值2．同類題型歸類練1．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率為2，過(guò)點(diǎn)斜率不為0的直線l與交于P、Q兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)記直線、的斜率分別為、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.（1）設(shè)雙曲線的半焦距為c，由題設(shè)，，，

雙曲線的方程為，故漸近線方程為．（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為和，所以，當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)，，l為，將直線l代入雙曲線方程得，所以，，

因?yàn)?，所以，即，綜上，為定值，得證．2．已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.(1)求，的方程；(2)求證：直線和的斜率之積為定值；(3)求證：為定值.【答案】(1)：；