專題18函數(shù)中的新定義問題一、單選題1．，表示不超過的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，函數(shù)被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，則（

）A．0 B．1 C．7 D．82．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)與函數(shù)即為“同族函數(shù)”．請你找出下面哪個函數(shù)解析式也能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，滿足（M是R的非空子集），在R上有兩個非空真子集A，B，且，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)存在一個點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動點(diǎn)函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．5．四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達(dá)式為，常用于競爭系統(tǒng)和免疫檢測，它的圖象是一個遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如），還可以是一條S形曲線，當(dāng)，，，時，該擬合函數(shù)圖象是（

）A．類似遞增的雙曲線 B．類似遞增的對數(shù)曲線C．類似遞減的指數(shù)曲線 D．是一條S形曲線6．在函數(shù)區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為.若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”.已知實(shí)數(shù)m為常數(shù)，，若對滿足的任何一個實(shí)數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大值為（

）A．4 B．3 C．2 D．17．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其姓名命名的“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)，令函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得，其中為整數(shù)，則稱函數(shù)為定義域上的“階局部奇函數(shù)”，若是上的“階局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．如圖所示的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們把這樣的曲線叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點(diǎn)，其對應(yīng)的方程為（，其中為不超過x的最大整數(shù)，）．若該葫蘆曲線上一點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋瑒t稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)（其中）為“倍縮函數(shù)”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（

）A． B． C． D．12．對于函數(shù)，若，則稱是的不動點(diǎn)：若，則稱是的穩(wěn)定點(diǎn)，則下列函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．13．華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對于R，令，若存在正整數(shù)k使得，且當(dāng)0<j<k時，，則稱是的一個周期為k的周期點(diǎn).若，下列各值是周期為2的周期點(diǎn)的有（

）A．0 B． C． D．114．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€圓的周長和面積同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”.則下列說法中正確的有（

）A．對于一個半徑為1的圓，其“優(yōu)美函數(shù)”僅有1個B．函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”C．若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形D．函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”15．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，其解析式為為有理數(shù)，為無理數(shù)），關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）．A．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)B．，C．是周期函數(shù)D．，使得16．函數(shù)滿足條件：①對定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)，恒有；②對定義域內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)，都有成立，則稱為函數(shù)，下列函數(shù)為函數(shù)的是（

）A． B．C．， D．，17．已知函數(shù)，如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得，稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的包容數(shù)，下列數(shù)中可以為函數(shù)的包容數(shù)的是（

）A． B． C． D．18．若正整數(shù)，只有1為公約數(shù)，則稱，互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．，三、填空題19．若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立（或和恒成立），則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)，，若函數(shù)和之間存在隔離直線，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．20．如果函數(shù)在其定義域上有且僅有兩個不同的數(shù)，滿足，那么就稱函數(shù)為“單值函數(shù)”，則下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中為“單值函數(shù)”的是______．(寫出所有符合題意的函數(shù)的序號)21．若函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足如下兩個條件：①在內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)槟敲淳头Q函數(shù)為“希望函數(shù)”，若函數(shù)是“希望函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.22．若函數(shù)在區(qū)間上，對，，，為一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____四、解答題23．函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在唯一常?shù)，使得對于任意的x總有，成立．(1)若，求；(2)求證：函數(shù)符合題設(shè)條件．24．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的，都恰好存在n個不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷下面兩組函數(shù)中，是否為的“n重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；①，，“4重覆蓋函數(shù)”；②，，“2重覆蓋函數(shù)”；(2)若，為，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的最大值.25．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).已知函數(shù)，(1)求的伴隨向量，并求.(2)關(guān)于x的方程在內(nèi)恒有兩個不相等實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把整個圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，已知，，在函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由.26．若函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，和均在任意的區(qū)間上不恒為0，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，存在非空區(qū)間，滿足：，均有，則稱區(qū)間A為和的“區(qū)間”(1)寫出和在上的一個“區(qū)間”，并說明理由；(2)若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，是和的“區(qū)間”，證明：在區(qū)間上存在零點(diǎn).27．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，t，使得成立，稱是“t躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“t躍點(diǎn)”．(1)若函數(shù)，x∈R是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若函數(shù)，x∈R，求證：“”是“對任意t∈R，為‘t躍點(diǎn)’函數(shù)”的充要條件；(3)是否同時存在實(shí)數(shù)m和正整數(shù)n使得函數(shù)在上有2021個“躍點(diǎn)”？若存在，請求出所有符合條件的m和n的值；若不存在，請說明理由．28．對于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“同比不減函數(shù)”？并說明理由；(2)若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.29．若函數(shù)自變量的取值區(qū)間為[a,b]時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間[a,b]為的一個“和諧區(qū)間”．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在內(nèi)的“和諧區(qū)間”；(3)若以函數(shù)在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖像作為函數(shù)的圖像，求函數(shù)的值域30．對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②當(dāng)定義域是時，的值域是，則稱是該函數(shù)的“翻倍區(qū)間”．(1)證明：是函數(shù)的一個“翻倍區(qū)間”；(2)判斷函數(shù)是否存在“翻倍區(qū)間”？若存在，求出所有“翻倍區(qū)間”；若不存在，請說明理由；(3)已知函數(shù)有“翻倍區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．31．根據(jù)人教2019版必修一P87頁的13題介紹：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．題：設(shè)函數(shù)，且，(其中是常數(shù))，函數(shù)．(1)求的值，

并證明