中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上，（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)；（2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AD的中點(diǎn)為S，求P'S的最小值．問題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)A，C'N交AD于點(diǎn)F．分別過點(diǎn)A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請(qǐng)直接寫出FH的長(zhǎng)．解析：?jiǎn)栴}情境：.理由見解析；問題探究：（1）；（2）的最小值為；問題拓展：.【分析】問題情境：過點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F，證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出NF＝MB，證明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出結(jié)論；問題探究：（1）連接AQ，過點(diǎn)Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)H、I，證出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PC，證明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性質(zhì)得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)S作SK⊥DO'，垂足為K，即可得出結(jié)果；問題拓展：延長(zhǎng)AG交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)FH交CD于P，則EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，證明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，證明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，證明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，證明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．【詳解】問題情境：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?過點(diǎn)作分別交于點(diǎn).所以四邊形為平行四邊形.所以.所以，所以，又因?yàn)?，所?，所以.因?yàn)?，所以，所?問題探究：（1）連接，過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn).易得四邊形矩形.所以且.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以.所以是等腰直角三角形，.所以.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以.所以.所以.所以.所以.所以是等腰直角三角形，，即.（2）如圖所示，連接交于點(diǎn)，由題意易得的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的落點(diǎn)為.易知.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).易證：，所以，因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以，易得，所以.所以.所以，故.所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則的最小值為.問題拓展：解：延長(zhǎng)AG交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)FH交CD于P，如圖4：則EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴，即，解得：，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴，解得：∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴，即，解得：FP＝，∴FH＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．在中，點(diǎn)D，E分別是邊上的點(diǎn)，．基礎(chǔ)理解：（1）如圖1，若，求的值；證明與拓展：（2）如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接；①求證：；②如圖3，若在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)恰好落在上時(shí)，連接，則的面積為________．解析：（1）；（2）①見詳解；②13.44【分析】（1）利用平行線分線段定理，直接求解即可；、（2）①先推出，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②先推出AE=AE1=8，DE=D1E1=10，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=3.6，D1E=2.8，再證明∠D1EE1=90°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴=；（2）①∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1，∵，∴，即，∴，∴，∴；②由①可知，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)恰好落在上，∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°，∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=D1M=AD×cos∠ADE=AD×=6×=3.6，∴D1E=10-3.6×2=2.8，∵∠D1AE1=∠DAE=90°，∴∠DAD1=∠EAE1，又∵AD1=AD，AE=AE1，∴∠ADE=，∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°，∴，∴的面積=D1E?EE1=×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（了解概念）在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．（理解運(yùn)用）（1）在鄰等四邊形中，，，若是這個(gè)鄰等四邊形的鄰等邊，則的度數(shù)為__________；（2）如圖，凸四邊形中，P為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形，并證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與x軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)P有且僅有1個(gè)，則m的值是__________．解析：（1）130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由見解析；（3）﹣5±4【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）由△ADP∽△PDC，可得，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，由P為AB的中點(diǎn)，可得AP＝BP，則，可證△BPC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B即可；（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，由AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，可證△ADP∽△BPC，可得＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），由等腰直角三角形可求∠BAD＝45°，可求B、C橫坐標(biāo)之差為3，B（m+3，0），將AP，BP，AD，BC，代入得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，可求得m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，可求得∠BAD＝135°，可證△ADP∽△BPC，可得＝，可求得B、C橫坐標(biāo)之差為3，，可求得m＝﹣5﹣4．【詳解】解：（1）∵CD為鄰等邊，∴∠C＝∠D，又∵，，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案為：130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（3）若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，∵AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵點(diǎn)C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)，∴m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，如圖，此時(shí)，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，∴，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴m＝﹣5﹣4；綜上所述：m＝﹣5±4．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．4．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)]（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍.請(qǐng)將下列的求解過程補(bǔ)充完整.解：∵∴∵∴.[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)，則的取值范圍.解析：（1）；（2）C；（3）4，4；（4）【詳解】試題分析：本題的⑴問抓住函數(shù)是由分式給定的，所以抓住是分母不為0,即可確定自變量的取值范圍.本題的⑵問結(jié)合第⑴問中的，即或進(jìn)行分類討論函數(shù)值的大致取值范圍，即可得到函數(shù)的大致圖象.本題的第⑶問根據(jù)函數(shù)的配方逆向展開即推出“（）”應(yīng)填寫“常數(shù)”部分，再根據(jù)配方情況可以得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，的取值范圍.本題的⑷問現(xiàn)將函數(shù)改寫為的形式，再按⑶的形式進(jìn)行配方變形即可求的取值范圍.試題解析：（1）由于函數(shù)是分式給定的，所要滿足分母不為0，所以.故填：.（2）即或；當(dāng)時(shí)，的值是正數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第一象限；當(dāng)時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第三象限；所以函數(shù)的圖象只在直角坐標(biāo)系的一、三象限.故其大致圖象應(yīng)選C.（3）∵，∴.故分別填：；（4）∵（這里隱含有首先是正數(shù)）∴∵∴.5．如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連結(jié)AD、AE，點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）觀察猜想①在求的值時(shí)，小明運(yùn)用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：如圖1，先由，得到，再由中位線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得出△PMN為等邊三角形，∴．②如圖2，當(dāng)，仿照小明的思路求的值；（2）探究證明如圖3，試猜想的值是否與的度數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，請(qǐng)用含的式子表示出，若無關(guān)，請(qǐng)說明理由；（3）拓展應(yīng)用如圖4，，點(diǎn)D、E分別是射線AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．解析：（1）②；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，；（3）MN的長(zhǎng)為或．【分析】（1）②先根據(jù)線段的和差求出，再根據(jù)中位線定理、平行線的性質(zhì)得出，從而可得出，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得；（2）參照題（1）的方法，得出為等腰三角形和的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖（見解析），先利用等腰三角形的性質(zhì)與判定得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC、CE的長(zhǎng)，由根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出，從而可得的值，最后分別利用（2）的結(jié)論即可得MN的長(zhǎng)．【詳解】（1）②∴∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)∴∴為等腰直角三角形，∴即；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，求解過程如下：由（1）可知，，即為等腰三角形如圖5，作則在中，，即則；（3）依題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)如圖6，作的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，并連結(jié)BP，，即設(shè)，則解得或（不符題意，舍去）即由（2）可知，點(diǎn)P是AC上的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）在中，，即②如圖7，當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)同理可得：綜上，MN的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分兩種情況，并結(jié)合題（2）的結(jié)論是解題關(guān)鍵．6．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．問題發(fā)現(xiàn)如圖，若四邊形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，______；拓展探究如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；解決問題如圖，若于G，請(qǐng)直接寫出的值．解析：（1）①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先一步證明△AED~△DFC，然后進(jìn)一步利用相似三角形性質(zhì)求解即可；（2）在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，通過證明△ADE~△DCM進(jìn)一步求解即可；（3）過C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，先證明△BAD≌△BCD，然后進(jìn)一步證明△BCM~△DCN，再結(jié)合勾股定理求出CN，最終通過證明△AED~△NFC進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED~△DFC，∴，∴①，②若四邊形ABCD為正方形，，故答案為：①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由如下：如圖，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A=∠CDM，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°，∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB，∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB，∴∠CMD=∠AED，∴△ADE~△DCM，∴，即：；（3），理由如下：過C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，設(shè)CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CAN=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD與△BCD中，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM~△DCN，∴，∴，∴，在Rt△CMB中，，BM=AM?AB=，由勾股定理可得：，∴，解得：（舍去）或，∴，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF，∴△AED~△NFC，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定和全等三角形性質(zhì)與判定及矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.7．問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點(diǎn)，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，求矩形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認(rèn)為葛叔叔的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出這個(gè)四邊形魚塘周長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說明理由．解析：（1）12；（2）9；（3）能實(shí)現(xiàn)；170（米）．【分析】（1）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大．（2）由題意矩形鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（3）由題意，AC＝100，∠ADC＝60°，即點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形魚塘面積和周長(zhǎng)達(dá)到最大值，此時(shí)△ACD為等邊三角形，計(jì)算出△ADC的面積和AD的長(zhǎng)即可得出這個(gè)四邊形魚塘面積和周長(zhǎng)的最大值．【詳解】（1）如圖①中，∵BC＝6，AD＝4，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，最大值＝×6×4＝12．故答案為12．（2）∵矩形的周長(zhǎng)為12，∴鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3時(shí)，S有最大值，最大值為9．（3）如圖③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫⊙O，∵∠ADC＝60°，∴點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D是優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD面積取得最大值，設(shè)D′是優(yōu)弧ADC上任意一點(diǎn)，連接AD′，CD′，延長(zhǎng)CD′到F，使得D′F＝D′A，連接AF，則∠AFC＝30°＝∠ADC，∴點(diǎn)F在D為圓心DA為半徑的圓上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此時(shí)四邊形ADCB的周長(zhǎng)最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．答：這個(gè)四邊形魚塘周長(zhǎng)的最大值為170（米）．【點(diǎn)睛】本題主要是最大值的考查，求最大值，常用方法為：（1）利用平方為非負(fù)的性質(zhì)求解；（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊求解，在求解過程中，關(guān)鍵在與將要求解的線段集中到一個(gè)三角形中8．如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接.將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．解析：（1）①；②；（2）不變，證明見解析；（3）2或2【分析】（1）①當(dāng)=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出BD、AE的比值；②中，圖形如下，與①有所變化，但求解方法完全相同；（2）證明△ECA∽△DCB，從而根據(jù)邊長(zhǎng)成比例得出比值；（3）存在2種情況，一種是當(dāng)時(shí)，；另一種是當(dāng)時(shí)，，分別利用勾股定理可求得．【詳解】（1）①∵在中，，，，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)∴CD=BD=2，在Rt△ABC中，AB=，AC=∴AE=∴；②圖形如下：同理可知：BC=4，AC=，DC=2，DE=，CE=∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC==∴；（2）不變，理由如下∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴；（3）情況一：當(dāng)時(shí)，，圖形如下，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∵ED∥AC，∴∠ACD=∠EDC=90°∵∠ACB=∠ECD=30°∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60°∵CD=2∴在Rt△DCF中，CF=1，F(xiàn)D=∴FB=FC=CB=1+4=5∴在Rt△FDB中，DB=2；情況二：當(dāng)時(shí)，，圖形如下，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC于點(diǎn)F∵DE∥AC，∴∠ACD=90°∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°∵CD=2，∴在Rt△CDF中，CF=1，DF=∴FB=CB－CF=4－1=3∴在Rt△FDB中，DB=2綜上得：DB的長(zhǎng)為2或2．【點(diǎn)睛】此題屬于旋轉(zhuǎn)的綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．9．（1）（問題背景）如圖1，在中，，，D是直線BC上的一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：；（2）（嘗試應(yīng)用）如圖2，在（1）的條件下，延長(zhǎng)DE，AC交于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F．求證：；（3）（拓展創(chuàng)新）如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，直接寫出的面積為_____________．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）【問題背景】如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長(zhǎng)線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DE＝即可．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CE＝BD，CE⊥BD，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）【問題背景】證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴．（2）【嘗試應(yīng)用】證明：如圖2，過點(diǎn)D作交FB的延長(zhǎng)線于K．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過點(diǎn)A作交BD于E，連接CE．∵，，∴與都是等腰直角三角形，同法可證，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．10．問題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若，，DE與BC間的距離為．請(qǐng)證明．拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試?yán)茫?）中的結(jié)論求△ABC的面積．解析：（1），，；（2）見解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)，分別求出S1、S2即可解決問題．（3）過點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結(jié)論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案為6，9，1．（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：過點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面積為5+3=8．由（2）得，□DBHG的面積為．∴△ABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題型，屬于中考?jí)狠S題，11．在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)，①求證：；②填空：的值為______；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)．探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運(yùn)用：在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．解析：（1）①見解析；②1；（2），見解析；（3）【分析】（1）①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)，證明，即可得出的值；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，設(shè)，則，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：（1）①證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．由折疊得．∴．∵，∴．②當(dāng)，即時(shí)，可知AC=BC，在和中，，∴(AAS)，∴，∴．故答案為：1；（2）解：．理由：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊得．∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：由折疊得，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，，由（2）知，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查折疊的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.（一）猜測(cè)探究在中，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．（1）如圖1，若是線段上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．（二）拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．求線段長(zhǎng)度的最小值．解析：（一）（1）結(jié)論：，．理由見解析；（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由見解析；（二）的最小值為．【分析】（一）①結(jié)論：，．根據(jù)證明≌即可．②①中結(jié)論仍然成立．證明方法類似．（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．理由全等三角形的性質(zhì)證明，推出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，求出的值即可解決問題．【詳解】（一）（1）結(jié)論：，．理由：如圖1中，∵，∴，∴，∵，，∴≌（），∴．故答案為，．（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由：∵，∴，∴，∵，，∴≌（），∴．（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．∵，∴，∵，，∴≌（），∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，在中，∵，，∴，∵，∴，∴，在，∵，∴，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．13．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．解析：（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，，連接，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若，求的長(zhǎng)．解析：（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過勾股定理求出，最后進(jìn)一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜邊CE的中點(diǎn)，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F為的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在與中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.15．（1）（閱讀與證明）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．①完成證明：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）（類比與探究）把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）（歸納與拓展）如圖3，點(diǎn)A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．解析：（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，即可總結(jié)出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當(dāng)∠BAC=60°時(shí)BF=AF+2FG=；由（2）得：當(dāng)∠BAC=90°時(shí)BF=AF+2FG=；以此類推，當(dāng)當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖1，在等腰三角形中，點(diǎn)分別在邊上，連接點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)求出面積的最大值．解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點(diǎn)分別為的中點(diǎn)＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵M(jìn)NBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．解析：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結(jié)論；（3）在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽R(shí)t△EBC，∴；（2）如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（證明體驗(yàn)）（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G．若，，，求的長(zhǎng)．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長(zhǎng)．解析：（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明，得，進(jìn)而即可求解；（3）在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)，可得，從而得，可得，，最后證明，即可求解．【詳解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)