第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(精練）一、單選題1．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則A在點B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°【答案】B【詳解】由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點A在點B的北偏西15°.故答案為B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖,設(shè)兩點在河的兩岸,在A所在河岸邊選一定點C,測量的距離為50m,,,則可以計算兩點間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A解:在三角形中,,,所以,由正弦定理:,所以.故選:A3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若點A在點C的北偏東60°方向上，點B在點C的南偏東30°方向上，且AC=BC，則點A在點B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上C．北偏東方向上 D．北偏西方向上【答案】A由題意，點A在點C的北偏東60°方向上，點B在點C的南偏東30°方向上，且AC=BC，可得幾何位置關(guān)系如下圖所示：則，所以,故點A在點B的北偏東方向上故選：A4．（2022·青海西寧·一模（文））某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測量，這塊三角形空地的兩邊長分別為32m和68m，它們的夾角是.已知改造費用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費用為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C由題意，三角形空地的面積為，改造費用為50元，這塊三角形空地的改造費用為：元.故選：C.5．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午時到達一座燈塔的南偏西距塔海里的處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的處，則這艘船航行的速度為A．海里/時 B．海里/時C．海里/時 D．海里/時【答案】A，在中有海里/時，選A.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見證了同學(xué)們的成長．某同學(xué)為了測量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點間的距離，除了觀測點C，D外，他又選了兩個觀測點，且，已經(jīng)測得兩個角，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（

）組①和；②和；③和.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D由，，∴可求出、，①和：△中，即可求；②和：可求、，則在△中求；③和：可求，則在△中，即可求；∴①②③都可以求.故選：D二、多選題7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市第九高級中學(xué)高一期中）為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認為不合理的有（

）A．與 B．與 C．，與 D．，與【答案】ABC因為A，C在河的同一側(cè)，所以可以測量，與，故選：ABC8．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為.貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西【答案】ABC在中，由已知得，，則，．由正弦定理得，所以處與處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以燈塔與處之間的距離為，故B正確，，，燈塔在處的西偏南，故C正確；燈塔在的南偏東，在燈塔的北偏西，故D錯誤；故選：ABC．9．（2022·全國·高一單元測試）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30°，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東60°，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是； B．燈塔與處之間的距離是；C．燈塔在處的西偏南60°； D．在燈塔的北偏西30°．【答案】AC由題意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正確；在中，由余弦定理得，即，故B錯誤；因為，所以，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；由，在燈塔的北偏西處，故D錯誤.故選：AC三、填空題10．（2022·河北深州市中學(xué)高一期末）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉.通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，為某區(qū)的一條健康步道，其中為線段，三點共線，是以為直徑的半圓，，.則該健康步道的長度為___________.【答案】連接，因為，所以，在中，，所以，由直角三角形三角函數(shù)的定義知，，所以，所以半圓的弧長為.在Rt中，，所以，在中，設(shè)，由余弦定理可得，，即，因為，所以，所以，解得：，所以健康步道的長度為.故答案為：11．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，無人機在離地面的高的A處，觀測到山頂M處的仰角為，山腳C處的俯角為，已知，則山的高度為___________.【答案】m在中，，由圖知，即，在中，由正弦定理得，∵，∴m，在中，.故答案為：m四、解答題12．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測量隧道口、間的距離，開車從點出發(fā)，沿正西方向行駛米到達點，然后從點出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達點，再從點出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達隧道口點處，測得間的距離為1000米.(1)若隧道口在點的北偏東度的方向上，求的值；(2)求隧道口間的距離.【答案】(1)(2)1000米.(1)在中，由正弦定理得，即，所以，由題可知，，所以，即.(2)由（1）可知，，在中，由余弦定理得，所以，故兩隧道口間的距離為1000米.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，對角線平分的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求線段的長.從下面①②中任選一個，補充在上面的空格中進行求解.①△ABC的面積；②.【答案】(1)；(2)選①；選②.(1)因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.(2)選①，因為的面積，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因為平分，所以，所以，選②，因為，在中，由余弦定理：，即，所以，因為，所以，因為平分，所以，因為，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.14．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，且滿足．(1)求角A的大?。?2