宜興市新街中學(xué)八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．現(xiàn)給出一個結(jié)論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則．請結(jié)合上述結(jié)論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系____________；QE與QF的數(shù)量關(guān)系是__________（2）如圖3，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(3)如圖4，當(dāng)點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．2．（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．（延伸應(yīng)用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．3．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點A、B分別在CM、CN上，分別過點A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．4．在等腰中，,為邊上的高，點在的外部且，,連接交直線于點，連接．(1)如圖①，當(dāng)時，求證：；(2)如圖②，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)如圖③，當(dāng)時,求證：．5．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；（3）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（4）若點Q以（3）中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇？6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐為，點的坐標(biāo)為，在中，軸交軸于點．（1）求和的度數(shù)；（2）如圖，在圖的基礎(chǔ)上，以點為一銳角頂點作，，交于點，求證：；（3）在第（）問的條件下，若點的標(biāo)為，求四邊形的面積．7．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．8．已知：如圖1，直線，EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，，的平分線相交于點K．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，，的平分線相交于點，問與的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；（3）在圖2中作，的平分線相交于點，作，的平分線相交于點，依此類推，作，的平分線相交于點，請用含的n式子表示的度數(shù)．（直接寫出答案，不必寫解答過程）9．直角三角形中，，直線過點．（1）當(dāng)時，如圖1，分別過點和作直線于點，直線于點，與是否全等，并說明理由；（2）當(dāng)，時，如圖2，點與點關(guān)于直線對稱，連接，點是上一點，點是上一點，分別過點作直線于點，直線于點，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運動，終點為，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運動，終點為，點同時開始運動，各自達到相應(yīng)的終點時停止運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)為等腰直角三角形時，求的值．10．在我們認識的多邊形中，有很多軸對稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸．回答下列問題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對稱軸，非正方形的長方形有________條對稱軸，等邊三角形有___________條對稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實線畫出），它們的共同點是只有1條對稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，并用實線畫出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長方形，圖2中是他沒有完成的圖形，請用實線幫他補完整個圖形；（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標(biāo)出對稱軸．11．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以O(shè)C，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點O勻速移動，Q點從O點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結(jié)束．AC的中點D的坐標(biāo)是（4，3），設(shè)運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當(dāng)點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．12．小敏與同桌小穎在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進行了如下解答：（1）取特殊情況，探索討論：當(dāng)點為的中點時，如圖（2），確定線段與的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論：_____（填“”，“”或“”），并說明理由．（2）特例啟發(fā)，解答題目：解：題目中，與的大小關(guān)系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：如圖（3），過點作EF∥BC，交于點．（請你將剩余的解答過程完成）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題：在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且，若△的邊長為，，求的長（請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）．13．在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．例：已知：，求代數(shù)式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當(dāng)變形解決問題．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則根據(jù)材料回答問題：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．14．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，的內(nèi)角的平分線和外角的平分線相交于點。①當(dāng)時，則②當(dāng)時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）﹔（2）應(yīng)用：如圖2，直線與直線垂直相交于點，點在射線上運動（點不與點重合），點在射線上運動（點不與點重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個角是另一個角的倍，請直接寫出的度數(shù).15．如圖，在中，為的中點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，運動時間是．（1）在運動過程中，當(dāng)點位于線段的垂直平分線上時，求出的值；（2）在運動過程中，當(dāng)時，求出的值；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．16．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點在一條直線上，連接，相交于點，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說明理由．18．直線與相互垂直，垂足為點，點在射線上運動，點在射線上運動，點、點均不與點重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點、在運動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．19．已知ABCD，點E是平面內(nèi)一點，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點F．（1）若點E的位置如圖1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，則∠F=°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是．（3）若點E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且，設(shè)∠F=α，則α的取值范圍為．20．探索發(fā)現(xiàn)：……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：（3）利用規(guī)律解方程：【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結(jié)論成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS得到，得到、QE=QF，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長EQ交BF于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長EQ交FB的延長于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．【詳解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF證明：延長EQ交BF于D，,（3）當(dāng)點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結(jié)論成立證明：延長EQ交FB的延長于D因為AE//BF所以EQ=QF【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質(zhì)，根據(jù)P點位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關(guān)鍵．2．（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．3．探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡單的綜合題．4．（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得AE垂直平分BC，F(xiàn)為垂直平分線AE上點，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據(jù)外角性質(zhì)可得計算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F(xiàn)在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由詳見解析；（3）；（4）經(jīng)過s點P與點Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和時間相乘可得BP、CQ的長；（2）利用SAS可證三角形全等；（3）三角形全等，則可得出BP=PC，CQ=BD，從而求出t的值；（4）第一次相遇，即點Q第一次追上點P，即點Q的運動的路程比點P運動的路程多10+10=20cm的長度．【詳解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，點Q的運動速度與點P的運動速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，點D為AB的中點，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS)（3）∵點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，∴BP與CQ不是對應(yīng)邊，即BP≠CQ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點P，點Q運動的時間t=s，∴cm/s；（4）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇．由題意，得x=3x+2×10，解得∴經(jīng)過s點P與點Q第一次相遇．【點睛】本題考查動點問題，解題關(guān)鍵還是全等的證明和利用，將動點問題視為定點問題來分析可簡化思考過程．6．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）證明見解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）通過“ASA”可證得△ODB≌△OAP，進而可得BO=OP；（3）過點P作PF⊥x軸于點F，延長FP交BC于N，過點A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可證△OBM≌△OPF，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面積和差關(guān)系可求四邊形BOPC的面積．【詳解】（1）∵點A的坐為（2，0），點D的坐標(biāo)為（0，-2），∴OA=OD，∵∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ODB=135°=∠OAP，在△ODB和△OAP中，，∴△ODB≌△OAP（ASA），∴BO=OP；（3）如圖，過點P作PF⊥x軸于點F，延長FP交BC于N，過點A作AQ⊥BC于Q，∵BC∥x軸，AQ⊥BC，PF⊥x軸，∴AQ⊥x軸，PN⊥BC，∠AOM=∠BMO=90°，∴點Q橫坐標(biāo)為2，∵∠BAC=90°，AB=AC，AQ⊥BC，∴BQ=QC，∵點B的標(biāo)為（-2，-4），∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC，∵PF⊥x軸，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM和△OPF中，，∴△OBM≌△OPF（AAS），∴PF=BM=2，OF=OM=4，∵BC∥x軸，AQ⊥x軸，NF⊥x軸，∴OM=AQ=FN=4，∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∴CN=PN=2，∵四邊形BOPC的面積=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，∴四邊形BOPC的面積=×2×4+×4×（2+4）+×2×2=18．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，難度較大，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．7．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由詳見解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由詳見解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四邊形的內(nèi)角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；(4)利用三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設(shè)DP與BE的交點為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設(shè)PE與AC的交點為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，平角的定義，解本題的關(guān)鍵是將∠1，∠2，α轉(zhuǎn)化到一個三角形或四邊形中，是一道比較簡單的中考?？碱}．8．（1）；（2），證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）過作KG∥AB，交于，證出∥KG，得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)求出，根據(jù)求出答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律解答即可.【詳解】（1）過作KG∥AB，交于，∵，∴∥KG，，，，分別為與的平分線，，，∵，，，，則；（2），理由為：，的平分線相交于點，，，，即，，，，；（3）由（2）知；同理可得=，∴.【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行公理的推論：平行于同一直線的兩直線平行；角平分線的性質(zhì)；(3)是難點，注意總結(jié)前兩問的做題思路得到規(guī)律進行解答.9．（1）全等，理由見解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；（2）分點F沿C→B路徑運動和點F沿B→C路徑運動兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計算即可；【詳解】解：（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直線l，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t，點N在BC上時，△CMN為等腰直角三角形，當(dāng)點N沿C→B路徑運動時，由題意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，當(dāng)點N沿B→C路徑運動時，由題意得，8-t=18-3t，解得，t=5，綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒時，△CMN為等腰直角三角形；【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．10．（1）1，2，3；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進行畫圖即可；（3）長方形具有兩條對稱軸，在長方形的右側(cè)補出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎(chǔ)上加以修改，即可得到恰好有3條對稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對稱軸，非正方形的長方形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對稱軸的凸六邊形如圖所示．11．（1）6；8；24；（2）存在時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，見解析【解析】【分析】（1）利用非負性即可求出a，b即可得出結(jié)論,即可求出△ABC的面積；（2）先表示出OQ，OP，利用那個面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由時,∴存在時,使得△ODP與△ODQ的面積相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析；（3）3或1【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△≌△即可；（3）注意區(qū)分當(dāng)點在的延長線上時和當(dāng)點在的延長線上時兩種情況，不要遺漏．【詳解】解：（1），理由如下：，∵△是等邊三角形，，點為的中點，，，，，，；故答案為：；（2），理由如下：如圖3：∵△為等邊三角形，且EF∥BC，，，；；，，，在△與△中，，∴△≌△（AAS），，∴△為等邊三角形，，．（3）①如圖4，當(dāng)點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：則，；，；∵△為等邊三角形，，，，；而，，；在△和△中，，∴△≌△（AAS），；∵△為等邊三角形，，，；②如圖5，當(dāng)點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：類似上述解法，同理可證：，，．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造合適的全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（1）5；（2）；（3）【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒數(shù)，再約分，利用等式的性質(zhì)求解即可；（2）仿照材料二，設(shè)＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本題介紹兩種解法：解法一：（3）解法一：設(shè)＝＝＝（k≠0），化簡得：①，②，③，相加變形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，從而得結(jié)論；解法二：取倒數(shù)得：＝＝，拆項得，從而得x＝，z＝，代入已知可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；（2）∵設(shè)＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；（3）解法一：設(shè)＝＝＝（k≠0），∴①，②，③，①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：＝，，k＝4，∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；解法二：∵，∴，∴，∴，∴，將其代入中得：＝＝，y＝，∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．【點睛】本題考查了以新運算的方式求一個式子的值，題目中涉及了求一個數(shù)的倒數(shù)，約分，等式的基本性質(zhì)，求代數(shù)式的值，解決本題的關(guān)鍵是正確理解新運算的內(nèi)涵，確定一個數(shù)的倒數(shù)并能夠根據(jù)等式的基本性質(zhì)將原式變?yōu)槟軌蜻M一步運算的式子.14．（1）①25°；②；（2）．【解析】【分析】（1）①利用外角和性質(zhì)∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，再利用角平分線的定義進行等量代換即可；②與①同理可得；（2）根據(jù)題意分情況進行討論，用到（1）的結(jié)論計算即可【詳解】（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，故填：25°；②，且平分平分（2）的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，符合題意的情況有兩種：①根據(jù)（1）可知：②根據(jù)（1）可知：【點睛】本題考查三角形外角和的性質(zhì)、角平分線的定義，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵．15．（1）時，點位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計算；（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點位于線段的垂直平分線上時，，∴，解得，，則當(dāng)時，點位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時刻，使．【點睛】本題考查的是幾何動點運動問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．16．（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點記作點Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫出兩個三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點，可知，又因為，兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵是的一個外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．18．（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】靈活運用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和；（1）求出，，根據(jù)，即可解決問題；（2）①求出，，根據(jù)，即可求出的值；②根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）首先證明，，再分四種情況討論①當(dāng)時，②時，③時，④時，分別計算，符合題意得保留即可．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，又平分，平分，，，，（2）如圖2中：①（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和），平分，平分，，，，；②結(jié)論：點A、B在運動過程中，，理由：點A、B在運動過程中，的角度不變，；（3）如圖3中，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，，，又為平角，，，，又在中：，﹤，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，則：①當(dāng)時，，此時，②時，，，此時（不符合題意舍去），③時，，此時，④時，，此時（不符合題意舍去），綜上所述，當(dāng)或時，在中，有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍．【點睛】本題主要考查角平分線的定