2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽資源整合試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（一）抽象函數(shù)性質(zhì)探究設(shè)函數(shù)$f(x)$在定義域$(-∞,+∞)$上滿足$f(1+x)=f(1-x)$，且當(dāng)$x≥1$時(shí)，$f(x)=e^{x-1}+\lnx$，試解答下列問題：證明函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(-∞,1]$上單調(diào)遞減，在$[1,+∞)$上單調(diào)遞增；若不等式$f(x)+f(2-x)≥2a$對(duì)任意$x∈R$恒成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；設(shè)$g(x)=f(x)-kx$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1,x_2(x_1<x_2)$，證明：$g(x_1)+g(x_2)>2-2\ln2$。解題思路提示：第1問需利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；第2問可通過構(gòu)造新函數(shù)$h(x)=f(x)+f(2-x)$，求其最小值；第3問需結(jié)合極值點(diǎn)偏移技巧，注意$x_1+x_2=2$這一隱含條件。（二）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一種新型節(jié)能設(shè)備，已知生產(chǎn)$x$臺(tái)設(shè)備的總成本$C(x)=x^3-6x^2+24x+10$（萬(wàn)元），該設(shè)備的市場(chǎng)售價(jià)為每臺(tái)$P(x)=60-0.5x$（萬(wàn)元），且生產(chǎn)的設(shè)備能全部售出。求利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$的表達(dá)式，并確定最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；若政府對(duì)每臺(tái)設(shè)備征收$t$萬(wàn)元環(huán)保稅，為保證企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量不變，求$t$的取值范圍；在第2問的條件下，當(dāng)$t=3$時(shí)，若企業(yè)計(jì)劃在上半年每月生產(chǎn)設(shè)備數(shù)量成等比數(shù)列，且前三個(gè)月總產(chǎn)量為21臺(tái)，求后三個(gè)月的總利潤(rùn)。關(guān)鍵公式：利潤(rùn)函數(shù)$L(x)=xP(x)-C(x)$等比數(shù)列求和公式$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}(q≠1)$二、立體幾何與空間向量（一）空間幾何體體積計(jì)算在棱長(zhǎng)為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$、$F$分別為棱$BB_1$、$D_1C_1$的中點(diǎn)，過$A$、$E$、$F$三點(diǎn)作正方體的截面，試解答：畫出截面與正方體各面的交線，并求出截面多邊形的周長(zhǎng)；求該截面將正方體分成的兩部分體積之比；設(shè)點(diǎn)$P$為截面多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，求點(diǎn)$P$到平面$ABCD$距離的取值范圍。輔助線作法：延長(zhǎng)$AE$交$A_1B_1$延長(zhǎng)線于點(diǎn)$G$，連接$GF$交$B_1C_1$于點(diǎn)$H$，則五邊形$AEB_1HF$為所求截面。（二）空間角與距離計(jì)算如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$∠BAC=90°$，$AB=AC=AA_1=2$，$M$為$A_1C_1$中點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求異面直線$BM$與$AC_1$所成角的余弦值；求二面角$B-AM-C$的正弦值；在線段$BC$上是否存在點(diǎn)$N$，使得點(diǎn)$N$到平面$ABM$的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$？若存在，求出$\frac{BN}{NC}$的值；若不存在，說明理由?？臻g向量工具：異面直線夾角公式$\cosθ=|\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}|$點(diǎn)面距公式$d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$（其中$\vec{n}$為平面法向量）三、解析幾何綜合題（一）圓錐曲線性質(zhì)探究已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$P(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，左右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$。求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；過$F_2$的直線$l$與橢圓交于$A,B$兩點(diǎn)，若$\triangleAF_1B$的內(nèi)切圓半徑為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，求直線$l$的方程；設(shè)動(dòng)直線$y=kx+m$與橢圓$C$有且只有一個(gè)公共點(diǎn)$Q$，且與直線$x=4$交于點(diǎn)$R$，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)$M$，使得以$QR$為直徑的圓恒過點(diǎn)$M$？若存在，求出點(diǎn)$M$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。核心知識(shí)點(diǎn)：橢圓離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$三角形面積公式$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$為內(nèi)切圓半徑）（二）圓與直線綜合在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓$O:x^2+y^2=4$，點(diǎn)$A(2,0)$，$B(1,\sqrt{3})$，$P$為圓上異于$A$的動(dòng)點(diǎn)。求直線$PB$的斜率的取值范圍；設(shè)$∠APB$的平分線交$AB$于點(diǎn)$Q$，求點(diǎn)$Q$的軌跡方程；過點(diǎn)$P$作圓$O$的切線$l$，若直線$l$與拋物線$y^2=4x$交于$C,D$兩點(diǎn)，求$|CD|$的最小值。軌跡方程求法：可利用角平分線定理$\frac{|AQ|}{|QB|}=\frac{|AP|}{|BP|}$，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法求解。四、數(shù)列與不等式證明（一）遞推數(shù)列求通項(xiàng)已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}(n∈N^*)$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2^{n+1}-2$。求數(shù)列${a_n}$和${b_n}$的通項(xiàng)公式；設(shè)$c_n=\frac{b_n}{a_n}$，求數(shù)列${c_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$；證明：$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b_k}<\frac{5}{3}$對(duì)任意$n∈N^*$恒成立。解題技巧：對(duì)遞推式取倒數(shù)可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列錯(cuò)位相減法求和公式：若$c_n=a_n·b_n$（等差×等比），則$T_n=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$（二）不等式證明綜合設(shè)函數(shù)$f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}(n∈N^*)$，求證：當(dāng)$n≥2$時(shí)，$f(2^n)>\frac{n+2}{2}$；對(duì)任意正整數(shù)$n$，$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{25}{36}$；設(shè)$a_n=f(n)-\lnn$，證明數(shù)列${a_n}$收斂（提示：利用單調(diào)有界定理）。重要不等式：調(diào)和級(jí)數(shù)性質(zhì)：$f(n)=\lnn+\gamma+\varepsilon_n$（其中$\gamma$為歐拉常數(shù)，$\lim_{n→∞}\varepsilon_n=0$）積分放縮：$\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{k}<\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx(k≥2)$五、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模（一）復(fù)雜概率計(jì)算某高校舉辦數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，共有來自10個(gè)學(xué)院的200支隊(duì)伍參賽，其中甲學(xué)院有15支隊(duì)伍，乙學(xué)院有20支隊(duì)伍。比賽采用分層抽樣的方式抽取20支隊(duì)伍進(jìn)行首輪展示。求甲、乙學(xué)院至少各有1支隊(duì)伍被抽中的概率；若被抽中的20支隊(duì)伍中，有12支來自理工科專業(yè)，8支來自文科專業(yè)，現(xiàn)從中任選3支隊(duì)伍進(jìn)行成果匯報(bào)，記$X$為理工科專業(yè)隊(duì)伍的數(shù)量，求$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；比賽最終設(shè)置一等獎(jiǎng)3名，二等獎(jiǎng)6名，三等獎(jiǎng)9名，已知甲學(xué)院獲得一等獎(jiǎng)的概率為0.1，獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.2，獲得三等獎(jiǎng)的概率為0.3，且各獎(jiǎng)項(xiàng)獲得相互獨(dú)立，求甲學(xué)院至少獲得兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的概率。概率公式：超幾何分布$P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$數(shù)學(xué)期望$E(X)=n\frac{M}{N}$（二）回歸分析建模某科研團(tuán)隊(duì)研究城市居民日均步數(shù)與肥胖率的關(guān)系，收集了8個(gè)城市的數(shù)據(jù)如下表：城市編號(hào)日均步數(shù)（千步）肥胖率（%）16.218.525.820.337.515.248.113.854.924.166.817.679.211.485.521.7根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立肥胖率$y$關(guān)于日均步數(shù)$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hat{a}+\hatx$；利用殘差分析判斷模型擬合效果，計(jì)算相關(guān)指數(shù)$R^2$；若某城市日均步數(shù)為7.0千步，預(yù)測(cè)該城市的肥胖率，并給出95%置信區(qū)間（附：當(dāng)$n=8$時(shí)，$t_{0.025}(6)=2.447$）。回歸公式：回歸系數(shù)$\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$相關(guān)指數(shù)$R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}$六、數(shù)論與組合數(shù)學(xué)（一）整除性問題證明：對(duì)任意正整數(shù)$n$，$n^5-5n^3+4n$能被120整除；求所有正整數(shù)$x,y$，使得$3^x+4^y=5^z$；設(shè)$p$為奇素?cái)?shù)，證明：$2^{p-1}≡1\modp$（費(fèi)馬小定理），并由此證明$2^{100}+3^{100}$能被13整除。數(shù)論定理：歐拉定理：若$(a,m)=1$，則$a^{\phi(m)}≡1\modm$因式分解公式：$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$（二）組合計(jì)數(shù)問題求$(x^2+\frac{2}{x})^9$展開式中$x^6$的系數(shù)；某班有30名學(xué)生，其中10名男生，20名女生，現(xiàn)從中選5人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有2名男生且女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，有多少種不同的選法？證明組合恒等式：$\sum_{k=0}^nC_n^kC_m^k=C_{m+n}^n$（范德蒙德卷積），并利用該恒等式計(jì)算$\sum_{k=0}^5C_5^kC_7^k$的值。組合技巧：多限制條件下的分類加法計(jì)數(shù)原理母函數(shù)法：$(1+x)^n(1+x)^m=(1+x)^{m+n}$參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（一）抽象函數(shù)性質(zhì)探究單調(diào)性證明（6分）當(dāng)$x≥1$時(shí)，$f'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}>0$，故$f(x)$在$[1,+∞)$遞增；當(dāng)$x<1$時(shí)，令$t=2-x>1$，則$f(x)=f(t)=e^{t-1}+\lnt=e^{1-x}+\ln(2-x)$，$f'(x)=-e^{1-x}-\frac{1}{2-x}<0$，故$f(x)$在$(-∞,1]$遞減。恒成立問題（8分）構(gòu)造$h(x)=f(x)+f(2-x)=e^{x-1}+\lnx+e^{1-x}+\ln(2-x)$，求導(dǎo)得$h'(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}-e^{1-x}+\frac{1}{2-x}$，當(dāng)$x=1$時(shí)，$h'(x)=0$，且$h(x)≥2h(1)=2(e^0+\ln1)=2$，故$2a≤2\Rightarrowa≤1$，取值范圍$(-∞,1]$。二、立體幾何與空間向量（一）空間幾何體體積計(jì)算體積之比（10分）正方體體積$V=8$，截面下方幾何體體積$V_1=V_{AEB_1H}-V_{AA_1G}+V_{HFD_1D}$，計(jì)算得$V_1=\frac{11}{6}$，故體積比為$\frac{11}{37}$（或$\frac{37}{11}$）。（注：完整參考答案含詳細(xì)解題步驟及評(píng)分細(xì)則，限于篇幅此處僅展示部分內(nèi)容）命題說明難度梯度：試卷按易（30%）、中（50%）、難（20%）比例設(shè)計(jì)，覆蓋聯(lián)賽一試核心知