2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)跨界化技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）人工智能與函數(shù)模型某AI語音助手的響應(yīng)延遲時間(t)（單位：秒）與用戶提問復(fù)雜度(x)（單位：字符數(shù)）的關(guān)系滿足函數(shù)模型(t(x)=0.01x+\frac{1}{x+1})。當提問復(fù)雜度為100字符時，該函數(shù)在區(qū)間([99,101])上的平均變化率為（）A.0.0102B.0.0098C.0.01D.0.005衛(wèi)星軌道與橢圓方程北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的運行軌道可近似為橢圓，其近地點距離地球表面約200公里，遠地點距離約36000公里。若地球半徑為6400公里，以地心為橢圓的左焦點，建立平面直角坐標系(xOy)，則該橢圓的離心率(e)為（）A.(\frac{36000}{42800})B.(\frac{36000-200}{42800})C.(\frac{36000+200}{42800})D.(\frac{36000-200}{2\times42800})疫情傳播與概率統(tǒng)計某地區(qū)新冠疫情傳播模型中，單個感染者在潛伏期內(nèi)傳染(k)人的概率(P(k))服從參數(shù)為(\lambda=0.8)的泊松分布，即(P(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!})。則該地區(qū)“連續(xù)出現(xiàn)2個潛伏期感染者均未傳染他人”的概率為（）A.(e^{-1.6})B.(e^{-0.8})C.((1-e^{-0.8})^2)D.(e^{-0.8}\times(1-e^{-0.8}))元宇宙與空間幾何在元宇宙虛擬展廳中，一個正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為4，側(cè)棱長為(2\sqrt{5})。若在其內(nèi)部嵌入一個半徑最大的球體（內(nèi)切球），則該球的表面積為（）A.(4\pi)B.(8\pi)C.(16\pi)D.(32\pi)新能源汽車與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某品牌電動汽車的電池剩余電量(S)（單位：%）與行駛時間(t)（單位：小時）的關(guān)系滿足(S(t)=100-20t+2t^2)（(0\leqt\leq5)）。則電池電量下降速度最快的時刻為（）A.(t=2)B.(t=2.5)C.(t=3)D.(t=4)量子通信與復(fù)數(shù)運算量子比特的狀態(tài)可用復(fù)數(shù)表示，若某量子態(tài)(|\psi\rangle=a+bi)滿足(|a+bi|=1)且((a+bi)(1+i)=\sqrt{2}i)，則(a+b=)（）A.0B.1C.(\sqrt{2})D.(-\sqrt{2})城市規(guī)劃與線性規(guī)劃某城市規(guī)劃中，需在矩形區(qū)域(0\leqx\leq10)，(0\leqy\leq8)內(nèi)布局兩個功能區(qū)，分別滿足約束條件：商業(yè)區(qū)：(x+2y\leq16)，(2x+y\leq18)居民區(qū)：(x+y\geq5)，(x\leq7)則兩個功能區(qū)重疊區(qū)域的面積為（）A.12B.15C.18D.21區(qū)塊鏈與數(shù)列求和區(qū)塊鏈中，某加密算法的哈希值生成規(guī)則為：初始值(a_1=1)，后續(xù)值(a_{n+1}=2a_n+1)。則該數(shù)列前10項的和(S_{10}=)（）A.(2^{11}-11)B.(2^{11}-10)C.(2^{10}-11)D.(2^{10}-10)VR游戲與立體幾何在VR射擊游戲中，某虛擬目標為棱長為2的正方體，其中心坐標為((0,0,0))。若玩家在點((3,0,0))處發(fā)射沿向量((-1,1,1))方向的射線，則射線與正方體表面的交點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3金融科技與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某理財產(chǎn)品的年化收益率(r)（單位：%）與投資期限(t)（單位：年）的關(guān)系為(r(t)=5+2\ln(t+1))。若某投資者計劃投資5年，且希望提前1年贖回時收益損失不超過0.5%，則該模型的誤差允許范圍為（）A.(|r(5)-r(4)-r'(4)|\leq0.5)B.(|r(5)-r(4)|\leq0.5)C.(|r'(5)-r'(4)|\leq0.5)D.(|\int_4^5r(t)dt|\leq0.5)生物遺傳與排列組合某種植物的花色由3對獨立遺傳的等位基因控制，每對基因有2種等位形式（A/a,B/b,C/c），顯性基因數(shù)量決定花色深度：0個顯性基因開白花，1-2個開粉花，3-4個開紅花，5-6個開紫花。則該植物雜交后代中開紅花的概率為（）A.(\frac{C_6^3+C_6^4}{4^3})B.(\frac{C_6^3+C_6^4}{2^6})C.(\frac{C_3^3+C_3^4}{2^6})D.(\frac{C_3^3+C_3^4}{4^3})航天工程與二項式定理火箭推進劑燃燒效率公式為(\eta=(1+p)^n)，其中(p)為燃料純度提升率，(n)為發(fā)動機級數(shù)。若(p=0.1)，(n=3)，則(\eta)的近似值（精確到0.01）為（）A.1.33B.1.30C.1.331D.1.35二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）5G通信與三角函數(shù)5G信號的載波頻率為(f=3.5\times10^9)Hz，其波形可近似為(y=A\sin(2\pift+\varphi))。若信號在傳輸過程中相位偏移(\varphi=\frac{\pi}{3})，則該函數(shù)的最小正周期為______秒，初相為______（第一空3分，第二空2分）。環(huán)境監(jiān)測與數(shù)據(jù)分析某湖泊水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)顯示，pH值(X)服從正態(tài)分布(N(7.2,0.1^2))。則(P(7.0<X<7.3)=)______（參考數(shù)據(jù)：(\Phi(1)=0.8413)，(\Phi(2)=0.9772)）。智能交通與線性回歸某城市早高峰時段車流量(y)（單位：輛/小時）與氣溫(x)（單位：℃）的線性回歸方程為(\hat{y}=1200+15x)。若某天早高峰氣溫為10℃，且實際車流量為1380輛/小時，則殘差為______。建筑設(shè)計與立體幾何某體育館屋頂為半球形，半徑為20米。若要在屋頂安裝一圈燈帶，使其到地面的距離為16米，則燈帶的長度為______米。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）智能家居與函數(shù)應(yīng)用某智能恒溫系統(tǒng)的制熱功率(P(t))（單位：W）與時間(t)（單位：小時，(0\leqt\leq24)）的關(guān)系為分段函數(shù)：[P(t)=\begin{cases}1000\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)+1500,&0\leqt<12,\2000-50t,&12\leqt\leq24.\end{cases}]（1）求該系統(tǒng)在(t=6)時的制熱功率；（2）計算一天內(nèi)系統(tǒng)的總耗電量（單位：kW·h，1kW·h=3.6×10^6J）。（12分）無人機測繪與三角測量某無人機在距地面300米的高度沿水平方向飛行，測繪地面兩點A、B。當無人機位于點C時，測得A、B兩點的俯角分別為30°和45°；繼續(xù)飛行100米至點D時，測得A點的俯角為60°。（1）求A、B兩點之間的水平距離；（2）若無人機飛行速度為20米/秒，求從C到D的過程中，測繪視角∠ACB的變化率（精確到0.01度/秒）。（12分）電商物流與線性規(guī)劃某電商倉庫需將1000件商品分配給A、B兩個配送中心，A中心每處理1件商品利潤為2元，B中心為3元。A中心最大處理量為600件，B中心為800件，且A、B兩中心的總運輸成本(C=0.5x+0.3y)（(x,y)分別為A、B中心處理量）不得超過500元。（1）建立利潤最大化的線性規(guī)劃模型；（2）求解該模型，確定最優(yōu)分配方案及最大利潤。（12分）基因測序與概率分布某種病毒的基因序列由2000個堿基對組成，其中A-T堿基對出現(xiàn)的概率為0.4，G-C堿基對為0.6，且各堿基對獨立分布。（1）求該基因序列中A-T堿基對數(shù)量的期望與方差；（2）用正態(tài)分布近似計算A-T堿基對數(shù)量在780~820之間的概率（參考數(shù)據(jù)：(\Phi(1)=0.8413)）。（12分）新能源電網(wǎng)與微分方程某區(qū)域智能電網(wǎng)的儲能容量(E(t))（單位：kWh）滿足微分方程(\frac{dE}{dt}=10-0.05E)，初始條件(E(0)=100)。（1）求解該微分方程，得到(E(t))的表達式；（2）若電網(wǎng)負荷為8kWh/小時，問儲能何時耗盡？（12分）人工智能與算法優(yōu)化某AI推薦系統(tǒng)的準確率(A(n))與訓(xùn)練樣本量(n)的關(guān)系為(A(n)=0.9-\frac{100}{n+100})（(n\geq0)）。（1）當樣本量從1000增加到2000時，準確率的提升量為多少？（2）若每增加1個樣本的成本為(C(n)=0.1+\frac{1000}{n+1000})元，求準確率達到0.85時的最小成本。四、開放探究題（本大題共1小題，共10分）元宇