2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法發(fā)展試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值為$\sqrt{2}$，則$b-a$的最小值為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$\frac{3\pi}{2}$D.$2\pi$在等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，若$b_n=\log_2a_n$，則數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的最大值為（）A.15B.21C.28D.36已知向量$\vec{a}=(1,m)$，$\vec=(m,2)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$B.$(\sqrt{2},+\infty)$C.$(-\sqrt{2},0)\cup(0,\sqrt{2})$D.$(-\infty,-\sqrt{2})\cup(0,\sqrt{2})$某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.$12\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$24\pi$已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$，則橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$函數(shù)$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$的部分圖像大致為（）A.B.C.D.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases}$若$f(a)=f(b)=f(c)$，且$a<b<c$，則$a+b+c$的取值范圍是（）A.$(-\infty,2)$B.$(2,3)$C.$(3,4)$D.$(4,+\infty)$在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，若$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{5}$，則$\triangleABC$的內(nèi)切圓半徑為（）A.1B.$\frac{3}{2}$C.2D.$\frac{5}{2}$執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的$x=1$，則輸出的$y$的值為（）A.2B.4C.8D.16已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，則曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線方程為（）A.$y=2x-1$B.$y=2x+1$C.$y=-2x+3$D.$y=-2x+5$從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知定義在$\mathbf{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=-f(x)$，且當(dāng)$x\in[0,2]$時(shí)，$f(x)=x^2-2x$，則$f(2025)$的值為（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)$z=\frac{2+i}{1-i}$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|=$________。已知函數(shù)$f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的圖像過(guò)點(diǎn)$(0,1)$，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，則$\omega=$，$\varphi=$。已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，準(zhǔn)線為$l$，過(guò)點(diǎn)$F$的直線交拋物線于$A,B$兩點(diǎn)，若$|AF|=3$，則$|BF|=$________。在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-1$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）若$b_n=a_n\cdot\log_2a_n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，且滿足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大??；（2）若$b=\sqrt{7}$，$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求$a+c$的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AB=2$，$AD=4$，$E$是$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求平面$AEC$與平面$PBC$所成銳二面角的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價(jià)為60元，每月可銷售300件。為了提高利潤(rùn)，工廠決定改進(jìn)生產(chǎn)工藝，降低成本。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若每件產(chǎn)品的成本降低$x$元（$0<x<20$），則月銷售量$y$（件）與$x$（元）之間的函數(shù)關(guān)系為$y=300+20x$。（1）寫(xiě)出月利潤(rùn)$L$（元）關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)$x$為何值時(shí)，月利潤(rùn)$L$最大？最大月利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)$(3,\sqrt{3})$。（1）求雙曲線$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與雙曲線$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，求證：點(diǎn)$O$到直線$l$的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x$（$a\in\mathbf{R}$）。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）求證：對(duì)任意的$n\in\mathbf{N}^*$，都有$\ln(n+1)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}$。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.C3.D4.B5.A6.C7.B8.A9.D10.B11.A12.C二、填空題$\frac{\sqrt{10}}{2}$14.2，$\frac{\pi}{6}$15.$\frac{3}{2}$16.$26\pi$三、解答題（1）當(dāng)$n=1$時(shí)，$S_1=2a_1-1$，解得$a_1=1$。當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)$，即$a_n=2a_{n-1}$。所以數(shù)列${a_n}$是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，$a_n=2^{n-1}$。（5分）（2）$b_n=2^{n-1}\cdot\log_22^{n-1}=(n-1)\cdot2^{n-1}$。$T_n=0\cdot2^0+1\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}$，$2T_n=0\cdot2^1+1\cdot2^2+\cdots+(n-2)\cdot2^{n-1}+(n-1)\cdot2^n$，兩式相減得$-T_n=2+2^2+\cdots+2^{n-1}-(n-1)\cdot2^n=2^n-2-(n-1)\cdot2^n$，所以$T_n=(n-2)\cdot2^n+2$。（10分）（1）由正弦定理得$\sinB\cosC=(2\sinA-\sinC)\cosB$，即$\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosB$，$\sin(B+C)=2\sinA\cosB$。因?yàn)?A+B+C=\pi$，所以$\sinA=2\sinA\cosB$，解得$\cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{\pi}{3}$。（6分）（2）由面積公式得$\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即$ac=6$。由余弦定理得$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，即$7=(a+c)^2-3ac$，解得$a+c=5$。（12分）（1）取$PC$的中點(diǎn)$F$，連接$EF,BF$。因?yàn)?E,F$分別為$PD,PC$的中點(diǎn)，所以$EF\parallelCD$且$EF=\frac{1}{2}CD$。又因?yàn)?AB\parallelCD$且$AB=CD$，所以$EF\parallelAB$且$EF=AB$，四邊形$ABFE$為平行四邊形，所以$AE\parallelBF$，又$BF\subset$平面$PBC$，$AE\not\subset$平面$PBC$，所以$AE\parallel$平面$PBC$。（6分）（2）以$A$為原點(diǎn)，$AB,AD,AP$所在直線為$x,y,z$軸建立空間直角坐標(biāo)系，$A(0,0,0),C(2,4,0),E(0,2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,4,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$。設(shè)平面$AEC$的法向量為$\vec{n}=(x,y,z)$，則$\begin{cases}2x+4y=0\2y+z=0\end{cases}$，取$\vec{n}=(2,-1,2)$。平面$PBC$的法向量為$\vec{m}=(1,0,1)$，則$\cos\langle\vec{n},\vec{m}\rangle=\frac{2+0+2}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。（12分）（1）$L=(60-(40-x))(300+20x)=(20+x)(300+20x)=20x^2+700x+6000$。（6分）（2）$L=20(x+\frac{35}{2})^2-\frac{1225}{2}+6000$，當(dāng)$x=10$時(shí)，$L_{\text{max}}=20(10+17.5)^2-612.5+6000=8000$元。（12分）（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=2$，得$c=2a$，$b^2=c^2-a^2=3a^2$。將點(diǎn)$(3,\sqrt{3})$代入雙曲線方程得$\frac{9}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=24$，所以雙曲線方程為$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{24}=1$。（6分）（2）聯(lián)立$\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{24}=1\end{cases}$，得$(3-k^2)x^2-2kmx-m^2-24=0$。設(shè)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=\frac{2km}{3-k^2}$，$x_1x_2=\frac{-m^2-24}{3-k^2}$。由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$得$x_1x_2+y_1y_2=0$，即$(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，代入化簡(jiǎn)得$m^2=6(k^2+1)$，所以點(diǎn)$O$到直線$l$的距離$d=\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{6}$（定值）。（12分）（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=x\lnx-x^2+x$，$f'(x)=\lnx-2x+2$。令$g(x)=\lnx-2x+2$，則$g'(x)=\frac{1}{x}-2$，當(dāng)$x\in(0,\frac{1}{2})$時(shí)，$g'(x)>0$；當(dāng)$x\in(\frac{1}{2},+\infty)$時(shí)，$g'(x)<0$。$g(x){\text{max}}=g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0$，又$g(1)=0$，$g(\frac{1}{4})=-2\ln2+\frac{3}{2}<0$，所以$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(\frac{1}{4},1)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,\frac{1}{4}),(1,+\infty)$。（4分）（2）$f'(x)=\lnx-2ax+2a$，由題意得$f'(x)\leq0$在$(1,+\infty)$上恒成立，即$\lnx\leq2a(x-1)$，當(dāng)$x>1$時(shí)，$2a\geq\frac{\lnx}{x-1}$。令$h(x)=